Hol. Funktion/Nullstellen < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Sei G [mm] \in \IC [/mm] ein Gebiet und f: G [mm] \to \IC [/mm] \ {0} eine holomorphe Funktion ohne Nullstellen.
a) Zeigen Sie, dass [mm] \bruch{1}{2 \pi i} \integral_{\gamma}{ \bruch{f'(z)}{f(z)} dz} \in \IZ [/mm] für jede geschlossene Kurve [mm] \gamma [/mm] in G.
b) Für jedes n [mm] \in \IN [/mm] gebe es eine holomorphe Funktion [mm] q_{n}: [/mm] G [mm] \to \IC [/mm] mit f = [mm] q_{n}^{n}. [/mm] Zeige, dass es eine holomorphe Funktion g: G [mm] \to \IC [/mm] gibt, so dass f = [mm] e^{g}.
[/mm]
Hinweis: [mm] \bruch{f'(z)}{f(z)} [/mm] = n [mm] \bruch{q'_{n}(z)}{g_{n}(z)} [/mm] und verwende a) |
Hallo Forenmitglieder,
Ich komm nicht wirklich weiter und brauche wieder mal Hilfe.
Erstmal hab ich eine Frage zur a):
Ist nicht jedes Integral über eine geschlossene Kurve immer 0?
Also ich meine, ist [mm] \integral_{\gamma}{ \bruch{f'(z)}{f(z)} dz} [/mm] = 0?
Dann wäre das Ergebnis ja immer 0, ich soll aber zeigen, dass es [mm] \in \IZ [/mm] ist.
Ich versteh das nicht so so ganz, wie das sein kann.
Kann mir das vielleicht jemand erklären?
Wäre sehr nett.... :)
Gruß, wetterfrosch
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:04 Di 11.07.2006 | | Autor: | statler |
Hallo Wetterfrosch!
> Sei G [mm]\in \IC[/mm] ein Gebiet und f: G [mm]\to \IC[/mm] \ {0} eine
> holomorphe Funktion ohne Nullstellen.
> a) Zeigen Sie, dass [mm]\bruch{1}{2 \pi i} \integral_{\gamma}{ \bruch{f'(z)}{f(z)} dz} \in \IZ[/mm]
> für jede geschlossene Kurve [mm]\gamma[/mm] in G.
> Erstmal hab ich eine Frage zur a):
> Ist nicht jedes Integral über eine geschlossene Kurve
> immer 0?
> Also ich meine, ist [mm]\integral_{\gamma}{ \bruch{f'(z)}{f(z)} dz}[/mm]
> = 0?
Das hängt vom Gebiet G und der Kurve ab und ist dann so, wenn die Kurve 0-homotop ist.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
|
|
|
| |
|
Hallo,
danke für deine Antwort, aber ich versteh nicht so ganz, was du meinst...
Was bedeutet, dass eine Kurve 0-homotop?
Und wie kann ich das auf meine Aufgabe anwenden, um zu zeigen, dass [mm] \bruch{1}{2 \pi i} \integral_{\gamma}{ \bruch{f'(z)}{f(z)} dz} \in \IZ [/mm] ist?
Ich hoffe, du kannst es mir genauer erklären.
Danke,
wetterfrosch
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:00 Mi 12.07.2006 | | Autor: | statler |
> Hallo,
> danke für deine Antwort, aber ich versteh nicht so ganz,
> was du meinst...
> Was bedeutet, dass eine Kurve 0-homotop?
Wenn die Kurve innerhalb des Gebietes auf einen Punkt zusammenziehbar ist, dann ist das Integral 0. In Gebieten mit Löchern ist das nicht unbedingt so.
> Und wie kann ich das auf meine Aufgabe anwenden, um zu
> zeigen, dass [mm]\bruch{1}{2 \pi i} \integral_{\gamma}{ \bruch{f'(z)}{f(z)} dz} \in \IZ[/mm]
> ist?
>
> Ich hoffe, du kannst es mir genauer erklären.
Am besten ist, hier steigt ein gelernter Funktionentheoretiker ein, der kann das schneller und besser und vor allen Dingen richtig.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:20 Fr 14.07.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
