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| Aufgabe | Sei G [mm] \in \IC [/mm] ein Sterngebiet und f: G [mm] \to \IC [/mm] \ {0} eine holomorphe Fkt. ohne Nullstellen. Zeige: Es gibt eine holomorphe Fkt. g: G [mm] \to \IC, [/mm] so dass f = [mm] e^{g}
[/mm]
Hinweis: [mm] \bruch{f'}{f} [/mm] ist integrabel |
Hallo Mathefreaks :)
vielleicht kann mir jemand bei der Aufgabe weiter helfen. Ich weiß grad nicht genau, wie ich das zeigen soll, dass es solch eine homolorphe Fkt. g gibt, so dass f = [mm] e^{g} [/mm] gelten soll.
Gilt aus dem Hinweis, dass [mm] \bruch{f'}{f} [/mm] = log(f) ? Wenn dann log(f) integrabel ist, dann ist g:= log(f) auch integrabel. Folgt auch aus integrabel auch holomorph?
Ich weiß nicht, genau wie ich da vorgehen soll.
Es wäre nett, wenn ihr mir eine kleine Hilfe geben könnt.
Vielen Dank schonmal,
Gruß, fabi
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Hallo,
ich hab versucht, die Aufgabe mal zu lösen, weiß aber nicht, ob das was ich da gemacht hab richtig ist. Kann man den Beweis auch "Rückwärts" machen?
Also ich hab das so gemacht und erhalte folgendes:
Sei f = [mm] e^{g}, [/mm] dann ist f' = [mm] e^{g} [/mm] g'
Dann ist [mm] \bruch{f'}{f} [/mm] = [mm] \bruch{e^{g} g'}{e^{g}} [/mm] = g' . Und das ist integrabel nach Voraussetzung. Wenn jetzt g' integrabel ist, dann hat es eine holomorphe Stammfunktion g.
Und das ist doch, was man zeigen musste oder?
Ich weiß nicht, wie ich das sonst zeigen kann. Vielleicht kann mich ja jemand korrigieren oder mir helfen, wie man die Aufgabe richtig löst.
Viele Grüße und Danke,
fabi
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:11 Do 13.07.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo Fabian!
> Sei G [mm]\in \IC[/mm] ein Sterngebiet und f: G [mm]\to \IC[/mm] \ {0} eine
> holomorphe Fkt. ohne Nullstellen. Zeige: Es gibt eine
> holomorphe Fkt. g: G [mm]\to \IC,[/mm] so dass f = [mm]e^{g}[/mm]
> Hinweis: [mm]\bruch{f'}{f}[/mm] ist integrabel
> Hallo Mathefreaks :)
>
> vielleicht kann mir jemand bei der Aufgabe weiter helfen.
> Ich weiß grad nicht genau, wie ich das zeigen soll, dass es
> solch eine homolorphe Fkt. g gibt, so dass f = [mm]e^{g}[/mm]
> gelten soll.
>
> Gilt aus dem Hinweis, dass [mm]\bruch{f'}{f}[/mm] = log(f) ? Wenn
Nein. Aber das hast du ja schon in deinem anderen Post bemerkt.
Du weisst, dass die Ableitung von $g$ gerade [mm] $\frac{f'}{f}$ [/mm] sein sollte. Also definierst du eine holomorphe Funktion [mm] $\hat{g}$ [/mm] als eine Stammfunktion von [mm] $\frac{f'}{f}$; [/mm] d.h. [mm] $\hat{g}$ [/mm] ist holomorph mit [mm] $\hat{g}' [/mm] = [mm] \frac{f'}{f}$. [/mm] Jetzt musst du [mm] $\exp(\hat{g})$ [/mm] mit $f$ vergleichen. Wenn sich beide um einen konstanten Faktor [mm] $\neq [/mm] 0$ unterscheiden, so kannst du diesen in [mm] $\exp$ [/mm] mit reinziehen und somit $g := [mm] \hat{g} [/mm] - c$ mit $c [mm] \in \IC$ [/mm] passend definieren, um $g$ mit [mm] $\exp(g) [/mm] = f$ zu erhalten.
Wie vergleichst du nun [mm] $\exp(\hat{g})$ [/mm] mit $f$? Schau dir den Bruch [mm] $\frac{\exp(\hat{g})}{f}$ [/mm] an. Damit die beiden Funktionen sich um einen konstanten Faktor unterscheiden, muss dieser Bruch konstant sein. Wie zeigst du nun, das der Bruch konstant ist? Leite ihn ab und zeige, dass die Ableitung gleich 0 ist.
Hilft dir das weiter?
LG Felix
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