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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:55 Do 28.05.2009 | | Autor: | mona85 |
| Aufgabe | a)Sei f: [mm] \IC \to \IC [/mm] holomorph mit [mm] f(\IR) \subset \IR
[/mm]
Zeige, dass [mm] f(\overline{z}) [/mm] = [mm] \overline{f(z)} [/mm] für alle z [mm] \in \IC
[/mm]
b) Sei f: [mm] \IC \backslash \{0\} \to \IC, [/mm] f(z) =1- [mm] e^{\bruch{1}{z}}. [/mm] Finde eine injektive Folge [mm] (z_{n}), [/mm] so dass [mm] f(z_{n}) [/mm] = 0 für alle n [mm] \in \IN. [/mm] Ist dies ein Widerspruch zum Identitätssatz?
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Zu a) weiß ich, dass das für die Ableitung gilt, kann ich das hier irgendwo verwenden??
bei der b) weiß ich leider keinen Ansatz, kann mir da jemand beim Start helfen??
Vielen Dank schonmal
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a) Was, wenn man die Taylorentwicklung betrachtet? Sagen wir um die Null?
b) Was, wenn man [mm] z_n [/mm] gegen [mm] \infty [/mm] gehen lässt, ohne dass die Folge einen Häufungspunkt hat?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:12 Do 28.05.2009 | | Autor: | fred97 |
Zu a)
Es gilt:
$f(z) = [mm] \summe_{n=0}^{\infty}a_nz^n$ [/mm] für jedes z [mm] \in \IC
[/mm]
Zu zeigen ist: [mm] a_n \in \IR [/mm] für n [mm] \ge [/mm] 0.
Dazu sei [mm] $a_n [/mm] = [mm] b_n +ic_n$ [/mm] mit [mm] b_n,c_n \in \IR
[/mm]
Für x [mm] \in \IR [/mm] ist nach Vor.
$f(x) = [mm] \summe_{n=0}^{\infty}(b_n+ic_n)x^n [/mm] = [mm] \summe_{n=0}^{\infty}b_nx^n [/mm] + [mm] i\summe_{n=0}^{\infty}c_nx^n \in \IR$ [/mm]
Also ist
[mm] $\summe_{n=0}^{\infty}c_nx^n [/mm] = 0$ für jedes x [mm] \in \IR
[/mm]
Der Identitätssatz für Potenzreihen liefert nun: [mm] c_n [/mm] = 0 für jedes n [mm] \ge [/mm] 0
Zu b) Es ist
$f(z) = 0 [mm] \gdw e^{1/z}= [/mm] 1 [mm] \gdw$ [/mm] es ex. $k [mm] \in \IZ [/mm] : 1/z = 2k [mm] \pi [/mm] i [mm] \gdw [/mm] $ es ex. $k [mm] \in \IZ [/mm] : z = [mm] \bruch{1}{2k \pi i }$
[/mm]
Für k [mm] \in \IZ [/mm] , k [mm] \not= [/mm] 0, setze [mm] $z_k [/mm] = [mm] \bruch{1}{2k \pi i }$
[/mm]
Dann: [mm] $f(z_k) [/mm] = 0$ und [mm] $z_k \to [/mm] 0$ $(|k| [mm] \to \infty$)
[/mm]
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:21 Mo 01.06.2009 | | Autor: | mona85 |
Zu a)
Ich habe da noch ein paar kleine Verständnisprobleme... also man kann sagen, dass
>
> Es gilt:
>
> [mm]f(z) = \summe_{n=0}^{\infty}a_nz^n[/mm] für jedes z [mm]\in \IC[/mm]
wegen dem Potenzreihenentwicklungssatz, oder??
> Zu zeigen ist: [mm]a_n \in \IR[/mm] für n [mm]\ge[/mm] 0.
>
> Dazu sei [mm]a_n = b_n +ic_n[/mm] mit [mm]b_n,c_n \in \IR[/mm]
>
> Für x [mm]\in \IR[/mm] ist nach Vor.
>
> [mm]f(x) = \summe_{n=0}^{\infty}(b_n+ic_n)x^n = \summe_{n=0}^{\infty}b_nx^n + i\summe_{n=0}^{\infty}c_nx^n \in \IR[/mm]
>
>
> Also ist
>
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}c_nx^n = 0[/mm] für jedes x [mm]\in \IR[/mm]
>
> Der Identitätssatz für Potenzreihen liefert nun: [mm]c_n[/mm] = 0
> für jedes n [mm]\ge[/mm] 0
>
Das verstehe ich soweit...man zeigt, dass [mm] a_n [/mm] in [mm] \IR [/mm] ist, weil dann die Konjugation von z das Gleiche ist wie z? Habe ich das so richtig verstanden?
>
> Zu b) Es ist
>
> [mm]f(z) = 0 \gdw e^{1/z}= 1 \gdw[/mm] es ex. [mm]k \in \IZ : 1/z = 2k \pi i \gdw[/mm]
> es ex. [mm]k \in \IZ : z = \bruch{1}{2k \pi i }[/mm]
>
> Für k [mm]\in \IZ[/mm] , k [mm]\not=[/mm] 0, setze [mm]z_k = \bruch{1}{2k \pi i }[/mm]
>
> Dann: [mm]f(z_k) = 0[/mm] und [mm]z_k \to 0[/mm] [mm](|k| \to \infty[/mm])
>
Ich müsste noch zeigen, dass [mm] z_k [/mm] injektiv ist, richtig?
Vielen Dank schonmal, das hat mir bisher sehr weitergeholfen!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:11 Di 02.06.2009 | | Autor: | fred97 |
> Zu a)
> Ich habe da noch ein paar kleine Verständnisprobleme...
> also man kann sagen, dass
> >
> > Es gilt:
> >
> > [mm]f(z) = \summe_{n=0}^{\infty}a_nz^n[/mm] für jedes z [mm]\in \IC[/mm]
>
> wegen dem Potenzreihenentwicklungssatz, oder??
Ja
>
> > Zu zeigen ist: [mm]a_n \in \IR[/mm] für n [mm]\ge[/mm] 0.
> >
> > Dazu sei [mm]a_n = b_n +ic_n[/mm] mit [mm]b_n,c_n \in \IR[/mm]
> >
> > Für x [mm]\in \IR[/mm] ist nach Vor.
> >
> > [mm]f(x) = \summe_{n=0}^{\infty}(b_n+ic_n)x^n = \summe_{n=0}^{\infty}b_nx^n + i\summe_{n=0}^{\infty}c_nx^n \in \IR[/mm]
> >
> >
> > Also ist
> >
> > [mm]\summe_{n=0}^{\infty}c_nx^n = 0[/mm] für jedes x [mm]\in \IR[/mm]
> >
> > Der Identitätssatz für Potenzreihen liefert nun: [mm]c_n[/mm] = 0
> > für jedes n [mm]\ge[/mm] 0
> >
> Das verstehe ich soweit...man zeigt, dass [mm]a_n[/mm] in [mm]\IR[/mm] ist,
> weil dann die Konjugation von z das Gleiche ist wie z?
Unsinn
> Habe ich das so richtig verstanden?
Nein
Da [mm] a_n \in \IR:
[/mm]
[mm] \overline{f(z)} [/mm] = [mm] \summe_{n=0}^{\infty}\overline{a_n}\overline{z}^n= \summe_{n=0}^{\infty}a_n\overline{z}^n [/mm] = f( [mm] \overline{z})
[/mm]
> >
> > Zu b) Es ist
> >
> > [mm]f(z) = 0 \gdw e^{1/z}= 1 \gdw[/mm] es ex. [mm]k \in \IZ : 1/z = 2k \pi i \gdw[/mm]
> > es ex. [mm]k \in \IZ : z = \bruch{1}{2k \pi i }[/mm]
> >
> > Für k [mm]\in \IZ[/mm] , k [mm]\not=[/mm] 0, setze [mm]z_k = \bruch{1}{2k \pi i }[/mm]
>
> >
> > Dann: [mm]f(z_k) = 0[/mm] und [mm]z_k \to 0[/mm] [mm](|k| \to \infty[/mm])
> >
> Ich müsste noch zeigen, dass [mm]z_k[/mm] injektiv ist, richtig?
Ja
FRED
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> Vielen Dank schonmal, das hat mir bisher sehr
> weitergeholfen!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:23 Di 02.06.2009 | | Autor: | mona85 |
Danke, jetzt ist alles klar soweit!!
Sorry, wenn ich auf dem Schlauch stand!! 
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