www.vorhilfe.de
Vorhilfe

Kostenlose Kommunikationsplattform für gegenseitige Hilfestellungen.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Vorhilfe
  Status Geisteswiss.
    Status Erdkunde
    Status Geschichte
    Status Jura
    Status Musik/Kunst
    Status Pädagogik
    Status Philosophie
    Status Politik/Wirtschaft
    Status Psychologie
    Status Religion
    Status Sozialwissenschaften
  Status Informatik
    Status Schule
    Status Hochschule
    Status Info-Training
    Status Wettbewerbe
    Status Praxis
    Status Internes IR
  Status Ingenieurwiss.
    Status Bauingenieurwesen
    Status Elektrotechnik
    Status Maschinenbau
    Status Materialwissenschaft
    Status Regelungstechnik
    Status Signaltheorie
    Status Sonstiges
    Status Technik
  Status Mathe
    Status Schulmathe
    Status Hochschulmathe
    Status Mathe-Vorkurse
    Status Mathe-Software
  Status Naturwiss.
    Status Astronomie
    Status Biologie
    Status Chemie
    Status Geowissenschaften
    Status Medizin
    Status Physik
    Status Sport
  Status Sonstiges / Diverses
  Status Sprachen
    Status Deutsch
    Status Englisch
    Status Französisch
    Status Griechisch
    Status Latein
    Status Russisch
    Status Spanisch
    Status Vorkurse
    Status Sonstiges (Sprachen)
  Status Neuerdings
  Status Internes VH
    Status Café VH
    Status Verbesserungen
    Status Benutzerbetreuung
    Status Plenum
    Status Datenbank-Forum
    Status Test-Forum
    Status Fragwürdige Inhalte
    Status VH e.V.

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Uni-Komplexe Analysis" - Holomorphe Gebiete
Holomorphe Gebiete < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Uni-Komplexe Analysis"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Holomorphe Gebiete: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:30 So 21.06.2009
Autor: jaruleking

Aufgabe
Bestimmen Sie ein Gebit [mm] \Omega \supseteq [/mm] D(0,1) mit den folgenden Eigenschaften:

In [mm] \Omega [/mm] existiert eine holomorfe Quadratwurze g von [mm] \bruch{1}{1-z^2}, [/mm] die eine Stammfunktion G in [mm] \Omega [/mm] besitzt.

Zeige weiterhin, dass man die Quadratwurzel g und ihre Stammfunktion G so wählen kann, dass G eine analytische Verlängerung von f ist, mit cos(G(z))=z für alle z [mm] \in \Omega. [/mm]

Hi,

Also könnte man [mm] \Omega=\IC [/mm] \ [mm] \{z | |z|\ge1 \} [/mm] so wählen mit g(z)= [mm] \bruch{1}{\wurzel{1-z^2}}??? [/mm] Denn jetzt existiert in [mm] \Omega [/mm] ja dieses g und darüber hinaus auch eine Stammfunktion G(z) mit G(z)=arcsin(z). Aber reicht das schon aus als Begründung, oder müsste man da noch was hinschreiben???

Aber den zweiten Teil, da weiß ich ehrlich gesagt noch nicht, wie ich den anpacken kann, kann mir da vielleicht jemand helfen? Weil ich weiß auch nicht, [mm] cos(arcsin(z))=\wurzel{1-z^2}\not=z. [/mm] Und die andere Sache zu dem f, wird nicht viel gesagt. Nur der Teilaufgabe vorher: Benutze das Theorem über die Inverse um die Existenz einer Kreisscheibe D(0,r) und einer Funktion f [mm] \in [/mm] H(D(0,r)) mit cos(f(z))=z, für alle z [mm] \in [/mm] D(0,r) und [mm] f(0)=\pi/2, [/mm] zu zeigen.

Hilfe wäre super nett.

Gruß

        
Bezug
Holomorphe Gebiete: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:40 Mo 22.06.2009
Autor: jaruleking

Hat hier wirklich keiner eine Idee??

Wäre über Hilfe echt dankbar.

Grüße

Bezug
        
Bezug
Holomorphe Gebiete: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:30 Sa 27.06.2009
Autor: Leopold_Gast

[mm]\Omega[/mm] sei das Gebiet aller komplexen Zahlen [mm]z = x + \operatorname{i}y[/mm] mit [mm]x,y[/mm] reell und [mm]x^2 - y^2 < 1[/mm]. Damit ist [mm]\Omega[/mm] diejenige durch die Hyperbel [mm]x^2 - y^2 = 1[/mm] bestimmte Zusammenhangskomponente von [mm]\mathbb{C}[/mm], die den Einheitskreis enthält.

[Dateianhang nicht öffentlich]

Für [mm]z \in \Omega[/mm] gilt: [mm]\Re (z^2) = x^2 - y^2 < 1[/mm], also [mm]\Re (1 - z^2) > 0[/mm]. Da die Kehrwertfunktion die rechte Halbebene auf sich abbildet, folgt weiter:

[mm]\Re \left( \frac{1}{1 - z^2} \right) > 0[/mm]

Definiert man nun [mm]\sqrt{w}[/mm] als denjenigen Zweig der Wurzel, für den [mm]\Re ( \sqrt{w} ) < 0[/mm] gilt, so ist durch

[mm]g(z) = \frac{1}{\sqrt{1 - z^2}} \ \ \mbox{für} \ z \in \Omega[/mm]

eine wohldefinierte holomorphe Funktion gegeben. Vorsicht! Es gilt gemäß der Wahl des Zweiges der Wurzel z.B. [mm]g(0) = -1[/mm].

Da [mm]\Omega[/mm] einfach zusammenhängend (ja sogar sternförmig) ist, besitzt [mm]g[/mm] eine Stammfunktion [mm]G[/mm], etwa

[mm]G(z) = \frac{\pi}{2} + \int_0^z \frac{\mathrm{d}\zeta}{\sqrt{1 - \zeta^2}} \ \ \mbox{für} \ z \in \Omega[/mm]

Hierbei ist über irgendeinen [mm]0[/mm] und [mm]z[/mm] verbindenden Weg zu integrieren. Da [mm]\Omega[/mm] sternförmig ist, kann man dafür immer die Strecke nehmen.

Speziell für reelle [mm]x[/mm] mit [mm]-1 < x < 1[/mm] folgt:

[mm]G(x) = \frac{\pi}{2} + \int_0^x \frac{\mathrm{d}\zeta}{\sqrt{1 - \zeta^2}} = \frac{\pi}{2} - \int_0^x \frac{\mathrm{d}t}{\sqrt{1 - t^2}} = \frac{\pi}{2} - \arcsin x = \arccos x[/mm]

Dabei steht im ersten Integral das Wurzelzeichen für den oben definierten Zweig. Das zweite Integral ist ein reelles Integral, hier ist die gewöhnliche positive reelle Wurzel gemeint.

Für reelle [mm]x[/mm] ist [mm]G(x)[/mm] also die reelle Arcuscosinusfunktion. Für [mm]z \in \Omega[/mm] ist [mm]G(z)[/mm] somit die holomorphe Fortsetzung des reellen Arcuscosinus.

Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: GIF) [nicht öffentlich]
Bezug
                
Bezug
Holomorphe Gebiete: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:08 So 28.06.2009
Autor: jaruleking

Danke die für die erklärung.

Gruß

Bezug
                        
Bezug
Holomorphe Gebiete: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:59 So 28.06.2009
Autor: Leopold_Gast

Du kannst übrigens das Gebiet noch größer wählen:

[mm]\Omega = \mathbb{C} \setminus \{ \, t \in \mathbb{R} \, : \, |t| \geq 1 \, \}[/mm]

Mehr ist aber wohl nicht drin.

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Uni-Komplexe Analysis"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.vorhilfe.de