Holomorphie- Identitätssatz < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:30 Sa 21.07.2007 | | Autor: | Mathec |
| Aufgabe | | Untersuchen Sie,ob es eine Funktion $f: [mm] \{z:|z| < 2\} \to \IC$ [/mm] mit den angegebenen Eigenschaften gibt [mm] f(\bruch{1}{n}) = \bruch{1}{n^2}*\exp\left(\bruch{(-1)^n}{n}\right) [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Meine Idee: Ich bilde mir eine Menge [mm] A:=\left\{\bruch{1}{n}, \text{n ist ganze Zahl}\right\}[/mm] und eine Funktion g, die auf diesem Gebiet A mit f übereinstimmt. Die Menge A hat den Häufungspunkt 0 in [mm] \{z:|z|<2\} [/mm] , somit sind doch nach dem Identitätssatz f und g auch gleich und es existiert eine derartige Funktion f...g kann man doch einfach wählen als:
[mm]g(n)=n^2*\exp\left(\bruch{(-1)^{\bruch{1}{n}}}{1/n}\right)[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:13 Sa 21.07.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo Mathec!
> Untersuchen Sie,ob es eine Funktion [mm]f: \{z:|z| < 2\} \to \IC[/mm]
> mit den angegebenen Eigenschaften gibt [mm]f(\bruch{1}{n}) = \bruch{1}{n^2}*\exp\left(\bruch{(-1)^n}{n}\right)[/mm]
Ich wuerde sagen, dass es eine solche Funktion nicht gibt.
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Meine Idee: Ich bilde mir eine Menge
> [mm]A:=\left\{\bruch{1}{n}, \text{n ist ganze Zahl}\right\}[/mm] und
> eine Funktion g, die auf diesem Gebiet A mit f
> übereinstimmt. Die Menge A hat den Häufungspunkt 0 in
> [mm]\{z:|z|<2\}[/mm] , somit sind doch nach dem Identitätssatz f und
> g auch gleich und es existiert eine derartige Funktion
...wenn es ein solches $f$ oder $g$ gibt. Du hast also bisher gezeigt: wenn es ein solches $f$ gibt, dann ist es eindeutig bestimmt.
> f...g kann man doch einfach wählen als:
> [mm]g(n)=n^2*\exp\left(\bruch{(-1)^{\bruch{1}{n}}}{1/n}\right)[/mm]
Das ist erstmal fuer $n = 0$ nicht definiert, du musst die Funktion dort schon sinnvoll fortsetzen. (Falls das ueberhaupt geht.)
Und was genau soll [mm] $(-1)^{1/n}$ [/mm] sein? Mit [mm] $\ln(-1) [/mm] := [mm] \pi [/mm] i$ kannst du natuerlich [mm] $(-1)^{1/n} [/mm] := [mm] \exp(\frac{1}{n} \pi [/mm] i)$ setzen. Das ist jedoch auch wieder fuer $n = 0$ nicht definiert.
Das Problem ist also, zu ueberpruefen, ob die so definierte Funktion ueberhaupt fuer $n = 0$ holomorph fortgesetzt werden kann.
Was wahrscheinlich nicht der Fall ist.
Betrachte doch erstmal die ``einfachere'' Funktion $g(z) := [mm] z^2 \exp(z)$. [/mm] Diese ist offensichtlich auf [mm] $\{ z \mid |z| < 2 \}$ [/mm] definiert und dort holomorph. Und wenn das obige $f$ existiert, so stimmen $f$ und $g$ auf der Menge [mm] $\{ \frac{1}{2 n} \mid n \in \IN \}$ [/mm] ueberein.
Nach dem Identitaetssatz waer damit $f = g$ ueberall auf [mm] $\{ z \mid |z| < 2 \}$. [/mm] Aber was fuer Werte nimmt $g$ in den Punkten [mm] $\frac{1}{2 n + 1}$, [/mm] $n [mm] \in \IN$ [/mm] an?
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:36 Sa 21.07.2007 | | Autor: | Mathec |
Ok! Danke erstmal für die Hilfe! Die Argumentation ist also diese, dass g in diesem Fall nicht mit f übereinstimmt wegen dem [mm] (-1)^{n} [/mm]... das ist soweit auch klar, aber wie führe ich den Beweis, der sagt, dass gar kein g gefunden werden kann, das mit f übereinstimmt?
Danke schonmal im Voraus!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:02 Sa 21.07.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Ok! Danke erstmal für die Hilfe! Die Argumentation ist also
> diese, dass g in diesem Fall nicht mit f übereinstimmt
> wegen dem [mm](-1)^{n} [/mm]... das ist soweit auch klar, aber wie
> führe ich den Beweis, der sagt, dass gar kein g gefunden
> werden kann, das mit f übereinstimmt?
Der steht doch da schon. Wegen dem Identitaetssatz muss $f = g$ sein, was jedoch nicht stimmt. Damit hast du einen Widerspruch, womit die Annahme, dass $f$ existiert, falsch sein muss.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:40 Sa 21.07.2007 | | Autor: | Mathec |
Nein eben nicht! Wir haben doch jetzt nur gezeigt, dass für dieses spezielle g gilt: f und g stimmen auf dieser Menge nicht überein...Wer sagt aber, dass kein anderes (vielleicht sehr kompliziertes) g existiert, so dass dieses mit f auf der geforderten Menge übereinstimmt????
Steh ich jetzt total aufm Schlauch ???
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> Nein eben nicht! Wir haben doch jetzt nur gezeigt, dass für
> dieses spezielle g gilt: f und g stimmen auf dieser Menge
> nicht überein...Wer sagt aber, dass kein anderes
> (vielleicht sehr kompliziertes) g existiert, so dass dieses
> mit f auf der geforderten Menge übereinstimmt????
>
> Steh ich jetzt total aufm Schlauch ???
Ich fürchte ja: denn felixf hat doch gezeigt, dass, falls es ein solches $f$ gäbe, es wegen des Identitätssatzes mit $g(z) := [mm] z^2 \mathrm{e}^z$ [/mm] identisch sein müsste. Aber in den Punkten [mm] $\frac{1}{2n+1}$ [/mm] stimmen die beiden Funktionen ja nicht überein: Widerspruch. Es kann eine solche, in einer Umgebung von $0$ holomorphe Funktion $f$ nicht geben.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:48 Sa 21.07.2007 | | Autor: | Mathec |
Ok, ich glaub ich habs jetzt verstanden! Danke nochmal für die ausführliche Hilfe!!!!
LG
Mathec
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