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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:07 Mi 11.10.2006 | | Autor: | stevib |
| Aufgabe | | Sei f holomorph auf [mm]\IC\setminus\left\{ 0 \right\}[/mm], und es gelte [mm]\left| f(x) \right| \le \left| z \right|^2+\frac{1}{\wurzel{\left| z \right|}[/mm] für alle [mm]z\in\IC\setminus\left\{ 0 \right\}[/mm]. Zeige, dass f ein Polynom vom Grad[mm]\le 2[/mm] ist! |
Hallo,
Habe hier eine Aufgabe, die ich mehr oder weniger gelöst habe. Meine Argumentation hängt aber an zwei Punkten.
Der erste Punkt ist folgender: ich weiß, dass f holomorph fortsetzbar sein muss im Punkt 0. Dazu muss ich zeigen, dass die Singularität hebbar ist. Dies hab ich mit dem Ansatz [mm]\lim_{z\to \ 0}zf(z)=0[/mm] probiert. Aber wie komme ich drauf, das die Gleichung aufgrund der gegebenen Abschätzung erfüllt ist?
Um diese Aufgabe zu lösen, möchte ich zuerst m.H. der Cauchy- Abschätzung zeigen, dass für [mm]m\ge 3[/mm] die m- te Ableitung gleich 0 ist. Anschließend komme ich mit dem Identitätssatz zu dem gewünschten Ergebnis.
Mein 2. Problem: bei der Abschätzung [mm]\left| z \right|^2+\frac{1}{\wurzel{\left| z \right|}}\le \left( \left| z-m \right|+\left| m \right| \right)^2+\frac{1}{\wurzel{?}}[/mm] bräuchte ich für "?" einen Ausdruck, der [mm]\left| z-m \right|[/mm] enthält und sonst kein z mehr. Letztendlich hätte ich dann eine Abschätzung, in der auf der rechten Seite kein z mehr vorkommt. z liegt nämlich auf einer Kreislinie mit Radius r und Mittelpunkt m.
Ich würde mich sehr freun, wenn mir jemand weiterhelfen könnte.
Beste Grüße,
Stevib
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo stevib,
> Habe hier eine Aufgabe, die ich mehr oder weniger gelöst
> habe. Meine Argumentation hängt aber an zwei Punkten.
> Der erste Punkt ist folgender: ich weiß, dass f holomorph
> fortsetzbar sein muss im Punkt 0. Dazu muss ich zeigen,
> dass die Singularität hebbar ist. Dies hab ich mit dem
> Ansatz [mm]\lim_{z\to \ 0}zf(z)=0[/mm] probiert. Aber wie komme ich
> drauf, das die Gleichung aufgrund der gegebenen Abschätzung
> erfüllt ist?
eigentlich müsste [mm] $|zf(z)|=|z||f(z)|\le \left| z \right|^2+\frac{1}{\wurzel{\left| z \right|} }*|z|=|z|^3+\sqrt{|z|}$ [/mm] doch ausreichen, oder?
Das diese Majorante mit [mm] $z\to [/mm] 0$ gegen $0$ konvergiert, ist auch [mm] $\lim_{z\to 0}zf(z)=0$.
[/mm]
Gruß, banachella
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:57 Mi 11.10.2006 | | Autor: | stevib |
Hallo Banachella,
Vielen Dank für die schnelle Antwort. Da hab ich wohl über 7 Ecken gedacht:)
Hast mir sehr weitergeholfen!
Viele Grüße
stevib
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:51 Fr 13.10.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo Stevib!
> Um diese Aufgabe zu lösen, möchte ich zuerst m.H. der
> Cauchy- Abschätzung zeigen, dass für [mm]m\ge 3[/mm] die m- te
> Ableitung gleich 0 ist. Anschließend komme ich mit dem
> Identitätssatz zu dem gewünschten Ergebnis.
Du brauchst nur die Ableitungen im Punkt 0 zu betrachten. Denn wenn die Potenzreihenentwicklung im Punkt 0 bereits ein Polynom von Grad [mm] $\le [/mm] 2$ ist, dann ist die Funktion ueberall gleich diesem Polynom (Identitaetssatz). Oder meintest du das schon?
> Mein 2. Problem: bei der Abschätzung [mm]\left| z \right|^2+\frac{1}{\wurzel{\left| z \right|}}\le \left( \left| z-m \right|+\left| m \right| \right)^2+\frac{1}{\wurzel{?}}[/mm]
Wozu brauchst du diese Abschaetzung?
Es gilt doch [mm] $\frac{1}{m!} f^{(m)}(0) [/mm] = [mm] \frac{1}{2\pi i} \int_{\partial B_r(0)} \frac{f(\zeta)}{\zeta^{m+1}} \; d\zeta [/mm] = [mm] \frac{1}{2\pi i} \int_0^{2\pi} \frac{f(r e^{i t})}{(r e^{i t})^{m+1}} [/mm] i r [mm] e^{i t} \; [/mm] dt$ fuer jedes $r > 0$. Also gilt [mm] $|f^{(m)}(0)| \le \frac{k!}{2 \pi} \cdot [/mm] 2 [mm] \pi \cdot \max_{t \in [0, 2\pi]} \left| \frac{f(r e^{i t})}{(r e^{i t})^{m+1}} i r e^{i t} \right| [/mm] = k! [mm] \cdot \max_{t \in [0, 2\pi]} \frac{|f(r e^{i t})|}{r^m}$. [/mm] (Ist im wesentlichen die Cauchysche Integralformel gefolgt von einer Standard-Integralabschaetzung.)
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:37 Mo 16.10.2006 | | Autor: | stevib |
Hallo Felix,
> Du brauchst nur die Ableitungen im Punkt 0 zu betrachten. Denn wenn >die Potenzreihenentwicklung im Punkt 0 bereits ein Polynom von Grad $ [mm] \le [/mm] 2 $ >ist, dann ist die Funktion ueberall gleich diesem Polynom (Identitaetssatz). >Oder meintest du das schon?
Wohl so in etwa...
Aber wie zeige ich, dass die Potenzreihenentwicklung im Punkt 0 ein Polynom von Grad $ [mm] \le [/mm] 2 $ ist?
> Wozu brauchst du diese Abschaetzung?
ich setze mal [mm] $re^{it}=z$. [/mm] Dann bekomme ich $ [mm] |f^{(m)}(0)| \le [/mm] k! [mm] \cdot \max_{t \in [0, 2\pi]} \frac{|f(z)|}{r^m} [/mm] $
z liegt ja auf der Kreislinie um 0 mit Radius r. Somit ist $ | z |=r$
Also erhalte ich durch einsetzen in die Ungleichung unter Verwendung der Voraussetzung: $ [mm] |f^{(m)}(0)| \le \frac{k!}{r^k}(r^2+\frac{1}{\sqrt{r}})=\frac{k!(r^2\sqrt{r}+1)}{r^{k-2}r^2\sqrt{r}}$
[/mm]
für große r und $3 [mm] \le [/mm] k$ geht die rechte Seite gegen 0.
Das wollte ich durch die Abschätzung zeigen. Ich wollts allgemein für einen Mittelpunkt m zeigen. Hab aber dank dir erkannt, dass es für m=0 z reicht, zu zeigen.
Meine Probleme haben sich somit geklärt. Vielen Dank für die Hilfe!
Grüße, Stevib
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:57 Mo 16.10.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo Stevib!
> > Du brauchst nur die Ableitungen im Punkt 0 zu betrachten.
> Denn wenn >die Potenzreihenentwicklung im Punkt 0 bereits
> ein Polynom von Grad [mm]\le 2[/mm] >ist, dann ist die Funktion
> ueberall gleich diesem Polynom (Identitaetssatz). >Oder
> meintest du das schon?
>
> Wohl so in etwa...
> Aber wie zeige ich, dass die Potenzreihenentwicklung im
> Punkt 0 ein Polynom von Grad [mm]\le 2[/mm] ist?
Wenn du die Potenzreihenentwicklung [mm] $\sum_{k=0}^\infty a_k z^k$ [/mm] hast, und [mm] $a_k [/mm] = 0$ fuer $k [mm] \ge [/mm] 2$ ist, dann ist [mm] $\sum_{k=0}^\infty a_k z^k [/mm] = [mm] a_0 [/mm] + [mm] a_1 [/mm] z + [mm] a_2 z^2$ [/mm] ein Polynom von Grad [mm] $\le [/mm] 2$.
> > Wozu brauchst du diese Abschaetzung?
>
> ich setze mal [mm]re^{it}=z[/mm]. Dann bekomme ich [mm]|f^{(m)}(0)| \le k! \cdot \max_{t \in [0, 2\pi]} \frac{|f(z)|}{r^m}[/mm]
>
> z liegt ja auf der Kreislinie um 0 mit Radius r. Somit ist
> [mm]| z |=r[/mm]
> Also erhalte ich durch einsetzen in die
> Ungleichung unter Verwendung der Voraussetzung:
> [mm]|f^{(m)}(0)| \le \frac{k!}{r^k}(r^2+\frac{1}{\sqrt{r}})=\frac{k!(r^2\sqrt{r}+1)}{r^{k-2}r^2\sqrt{r}}[/mm]
>
> für große r und [mm]3 \le k[/mm] geht die rechte Seite gegen 0.
> Das wollte ich durch die Abschätzung zeigen. Ich wollts
> allgemein für einen Mittelpunkt m zeigen. Hab aber dank dir
> erkannt, dass es für m=0 z reicht, zu zeigen.
Okay :)
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:13 Di 17.10.2006 | | Autor: | stevib |
Alles klar, Danke!
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