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Holomorphie: erfrischende Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:03 Mi 21.07.2010
Autor: fred97

Unser  Mitglied gfm bat mich gestern um eine "erfrischende" Aufgabe. Hier ist sie:

Aufgabe
Sei $G [mm] \subseteq \IC$ [/mm] ein Gebiet und $f:G [mm] \to \IC$ [/mm] eine nichtkonstante Funktion. Weiter seien [mm] f^2 [/mm] und [mm] f^3 [/mm] auf G holomorph. Man zeige, dass f auf G holomorph ist.


Vielleicht ist einer der Moderatoren oder eine der Moderatorinnen so freundlich und deklariert diese Aufgabe als Übungsaufgabe.

Grüße FRED

        
Bezug
Holomorphie: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:27 Do 22.07.2010
Autor: fred97

Die Aufgabe ist wohl doch nicht so erfrischend ....


FRED

Bezug
                
Bezug
Holomorphie: Dummyfrage
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:13 Do 22.07.2010
Autor: Herby

Hi Fred,

wie schon oft praktiziert :-)


Lg
Herby

Bezug
                        
Bezug
Holomorphie: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:19 Do 22.07.2010
Autor: fred97


> Hi Fred,
>  
> wie schon oft praktiziert :-)
>  
>
> Lg
>  Herby

Hi Herby,

danke

FRED


Bezug
                
Bezug
Holomorphie: Schade
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:08 Do 05.08.2010
Autor: gfm

Danke Fred, hab sie schliecht und ergreifend nicht mit bekommen. Und ich denke einfach nicht daran, dass man hier ja auch ein internes Postfach hat...

Mach ruhig weiter.

LG

gfm

Bezug
        
Bezug
Holomorphie: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:53 Do 22.07.2010
Autor: zorin


> Sei [mm]G \subseteq \IC[/mm] ein Gebiet und [mm]f:G \to \IC[/mm] eine
> nichtkonstante Funktion. Weiter seien [mm]f^2[/mm] und [mm]f^3[/mm] auf G
> holomorph. Man zeige, dass f auf G holomorph ist.

Es sind [mm]g=f\cdot f[/mm] und [mm]h=f\cdot g[/mm] holomorph. [mm]g[/mm] ist nicht die Nullfunktion.
Somit ist [mm]f=h/g[/mm] meromorph in [mm]G[/mm]. Da [mm]f[/mm] keine Polstellen hat, ist [mm]f[/mm] holomorph.



Bezug
                
Bezug
Holomorphie: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:51 Do 22.07.2010
Autor: fred97


> > Sei [mm]G \subseteq \IC[/mm] ein Gebiet und [mm]f:G \to \IC[/mm] eine
> > nichtkonstante Funktion. Weiter seien [mm]f^2[/mm] und [mm]f^3[/mm] auf G
> > holomorph. Man zeige, dass f auf G holomorph ist.
>  
> Es sind [mm]g=f\cdot f[/mm] und [mm]h=f\cdot g[/mm] holomorph. [mm]g[/mm] ist nicht
> die Nullfunktion.
>  Somit ist [mm]f=h/g[/mm] meromorph in [mm]G[/mm]. Da [mm]f[/mm] keine Polstellen hat,



Und genau das ist zu begründen ! Ist Z die Menge der Nullstellen von f , so ist Z die Nullstellenmenge von [mm] f^2. [/mm] Somit ist Z diskret in G und f:G / Z [mm] \to \IC [/mm] holomorph. Daher hat f in jedem [mm] z_0 \in [/mm] Z eine isolierte Singularität.

Jetzt ist zu zeigen: f hat in einem solchen [mm] z_0 [/mm] eine hebbare Singularität.


FRED

> ist [mm]f[/mm] holomorph.
>  
>  


Bezug
                        
Bezug
Holomorphie: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:19 Do 22.07.2010
Autor: zorin


>  >  Somit ist [mm]f=h/g[/mm] meromorph in [mm]G[/mm]. Da [mm]f[/mm] keine Polstellen
> hat,

Hätte [mm]h/g[/mm] Polstellen, dann könnte nicht [mm]f=h/g[/mm],
dann müßte ja [mm]f[/mm] dort einen anderen Wert annehmen.
  

> Jetzt ist zu zeigen: f hat in einem solchen [mm]z_0[/mm] eine
> hebbare Singularität.

Wäre [mm]f[/mm] nicht beschränkt in einer Umgebung von [mm]z_0\in Z[/mm], dann auch [mm]g[/mm] nicht, obwohl [mm]g[/mm] holomorph/stetig ist und dort eine Nullstelle hat.



Bezug
                                
Bezug
Holomorphie: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:28 Do 22.07.2010
Autor: fred97


> >  >  Somit ist [mm]f=h/g[/mm] meromorph in [mm]G[/mm]. Da [mm]f[/mm] keine Polstellen

> > hat,
>
> Hätte [mm]h/g[/mm] Polstellen, dann könnte nicht [mm]f=h/g[/mm],
>  dann müßte ja [mm]f[/mm] dort einen anderen Wert annehmen.

Den Satz verstehe ich nicht.


>    
> > Jetzt ist zu zeigen: f hat in einem solchen [mm]z_0[/mm] eine
> > hebbare Singularität.
>  
> Wäre [mm]f[/mm] nicht beschränkt in einer Umgebung von [mm]z_0\in Z[/mm],
> dann auch [mm]g[/mm] nicht, obwohl [mm]g[/mm] holomorph/stetig ist und dort
> eine Nullstelle hat.

Damit ist das Problem gelöst. Glückwunsch

FRED

>  
>  


Bezug
                                        
Bezug
Holomorphie: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:59 Do 22.07.2010
Autor: zorin


> > Hätte [mm]h/g[/mm] Polstellen, dann könnte nicht [mm]f=h/g[/mm],
>  >  dann müßte ja [mm]f[/mm] dort einen anderen Wert annehmen.
>  
> Den Satz verstehe ich nicht.

Ja, das ist wohl etwas schwammig formuliert.
Wegen [mm]|f(z)|^2=|g(z)|\to0[/mm] für [mm]z\to z_0[/mm] ist [mm]f[/mm] stetig in [mm]z_0[/mm], und ebenso [mm]h/g:G\to\hat\IC[/mm].
Nun ist [mm]h(z)/g(z)=f(z)[/mm] und [mm]f:G\to\IC[/mm] bzw. sogar [mm]f(z_0)=0[/mm].

> > Wäre [mm]f[/mm] nicht beschränkt in einer Umgebung von [mm]z_0\in Z[/mm],
> > dann auch [mm]g[/mm] nicht, obwohl [mm]g[/mm] holomorph/stetig ist und dort
> > eine Nullstelle hat.


Bezug
                                        
Bezug
Holomorphie: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:26 Do 05.08.2010
Autor: felixf

Moin,

> > > Jetzt ist zu zeigen: f hat in einem solchen [mm]z_0[/mm] eine
> > > hebbare Singularität.
>  >  
> > Wäre [mm]f[/mm] nicht beschränkt in einer Umgebung von [mm]z_0\in Z[/mm],
> > dann auch [mm]g[/mm] nicht, obwohl [mm]g[/mm] holomorph/stetig ist und dort
> > eine Nullstelle hat.
>  
> Damit ist das Problem gelöst. Glückwunsch

das verstehe ich jetzt nicht ganz. Wenn $f = [mm] \frac{h}{g}$ [/mm] in einer Umgebung von [mm] $z_0$ [/mm] unbeschraenkt ist, muss dass doch nicht aussagen, dass $g$ in einer Umgebung von [mm] $z_0$ [/mm] unbeschraenkt ist? Betrachte z.B. [mm] $z_0 [/mm] = 0$, $h(z) = 1$, $h(z) = z$.

LG Felix


Bezug
                                                
Bezug
Holomorphie: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:35 Fr 06.08.2010
Autor: zorin


> > > Wäre [mm]f[/mm] nicht beschränkt in einer Umgebung von [mm]z_0\in Z[/mm],  dann auch [mm] g [/mm] nicht,

> das verstehe ich jetzt nicht ganz. Wenn [mm]f = \frac{h}{g}[/mm] in
> einer Umgebung von [mm]z_0[/mm] unbeschraenkt ist, muss dass doch
> nicht aussagen, dass [mm]g[/mm] in einer Umgebung von [mm]z_0[/mm]
> unbeschraenkt ist?

Es gilt aber auch: [mm] g=f\cdot f [/mm].


Bezug
                                                        
Bezug
Holomorphie: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:29 Fr 06.08.2010
Autor: felixf

Moin,

> > > > Wäre [mm]f[/mm] nicht beschränkt in einer Umgebung von [mm]z_0\in Z[/mm],  
> dann auch [mm]g[/mm] nicht,
>  
> > das verstehe ich jetzt nicht ganz. Wenn [mm]f = \frac{h}{g}[/mm] in
> > einer Umgebung von [mm]z_0[/mm] unbeschraenkt ist, muss dass doch
> > nicht aussagen, dass [mm]g[/mm] in einer Umgebung von [mm]z_0[/mm]
> > unbeschraenkt ist?
>  
> Es gilt aber auch: [mm]g=f\cdot f [/mm].

ja, genau. Das las sich fuer mich aber so, als wenn es eine Aussage ueber beliebige Quotienten holomorpher Funktionen waer :)

LG Felix


Bezug
                                                                
Bezug
Holomorphie: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:27 Fr 06.08.2010
Autor: zorin


> > > das verstehe ich jetzt nicht ganz. Wenn [mm]f = \frac{h}{g}[/mm]

> > Es gilt aber auch: [mm]g=f\cdot f [/mm].
>  
> ja, genau. Das las sich fuer mich aber so, als wenn es eine
> Aussage ueber beliebige Quotienten holomorpher Funktionen
> waer :)

;) Ich muss zugeben, als ich das heute morgen las, habe ich im ersten Augenblick auch nicht mehr gewusst, wie das gemeint war. Fiel mir dann aber doch noch ein. Damals über die Antworten verteilt schien es wohl klar.

Von Anfang an stellte sich die Frage, ob die vermeintlichen Polstellen von [mm]h/g[/mm] sich im Wert von [mm]f[/mm] unterscheiden können, das ja selbst keine Polstellen hat.


Bezug
        
Bezug
Holomorphie: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:44 Do 05.08.2010
Autor: felixf

Moin zusammen!

> Sei [mm]G \subseteq \IC[/mm] ein Gebiet und [mm]f:G \to \IC[/mm] eine
> nichtkonstante Funktion. Weiter seien [mm]f^2[/mm] und [mm]f^3[/mm] auf G
> holomorph. Man zeige, dass f auf G holomorph ist.

Die Funktion [mm] $f^2$ [/mm] kann nicht konstant sein: waere sie es (etwa mit dem Wert $z$), so muesste $f$ zwischen den Werten [mm] $\sqrt{z}$ [/mm] und [mm] $-\sqrt{z}$ [/mm] annehmen, womit aber [mm] $f^3 [/mm] = z f$ nicht mals stetig waere. Damit ist die Nullstellenmenge von [mm] $f^2$ [/mm] diskret, nennen wir sie $Z$. Ausserhalb von $Z$ ist $f = [mm] \frac{f^3}{f^2}$ [/mm] also holomorph.

Sei nun [mm] $z_0 \in [/mm] Z$; dann ist [mm] $f^2(z_0) [/mm] = 0$, und somit auch [mm] $f(z_0) [/mm] = [mm] f^3(z_0) [/mm] = 0$. Angenommen, $f$ hat in [mm] $z_0$ [/mm] keine hebbare Singularitaet; dann gibt es eine Folge [mm] $(z_n)_n$ [/mm] ausserhalb $Z$ mit [mm] $\lim_{n\to\infty} z_n [/mm] = [mm] z_0$ [/mm] und [mm] $\lim_{n\to\infty} f(z_n) [/mm] = [mm] \infty$. [/mm] Ohne Einschraenkung sei [mm] $|f(z_n)| \ge [/mm] n$. Dann gilt [mm] $|f(z_n)|^3 \ge [/mm] n [mm] |f(z_n)|^2$, [/mm] und somit [mm] $|f(z_n)| \ge [/mm] n$. Aber damit gilt auch [mm] $|f^2(z_n)| \ge n^2$, [/mm] womit [mm] $f^2$ [/mm] in [mm] $z_0$ [/mm] nicht stetig sein kann.

Damit muss $f$ in [mm] $z_0$ [/mm] eine hebbare Singularitaet haben. Sei [mm] $\hat{f}$ [/mm] die entsprechen auf [mm] $z_0$ [/mm] fortgesetzte holomorphe Funktion. Nach dem Identitaetssatz muss [mm] $\hat{f}^2 [/mm] = [mm] f^2$ [/mm] und [mm] $\hat{f}^3 [/mm] = [mm] f^3$ [/mm] sein. Waere [mm] $\hat{f}(z_0) \neq [/mm] 0$, so waer [mm] $f^2(z_0) \neq [/mm] 0$, also [mm] $z_0 \not\in [/mm] Z$, ein Widerspruch. Damit muss [mm] $\hat{f}(z_0) [/mm] = 0 = [mm] f(z_0)$ [/mm] sein.

Insgesamt folgt also, dass $f$ auf $G$ holomorph ist.



Ich vermute, man kann die Aufagbenstellung auch so erweitern: sind $n, m [mm] \in \IN$ [/mm] (oder sogar [mm] $\IZ$) [/mm] teilerfremd und ist $f : G [mm] \to \IC$ [/mm] nicht konstant, [mm] $f^n$, $f^m$ [/mm] holomorph, so ist $f$ auch holomorph. Der Trick ist, $1 = [mm] \lambda [/mm] n + [mm] \mu [/mm] m$ zu schreiben mit [mm] $\lambda, \mu \in \IZ$. [/mm]

LG Felix


Bezug
        
Bezug
Holomorphie: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:50 Do 05.08.2010
Autor: gfm


> Unser  Mitglied gfm
> bat mich gestern um eine "erfrischende" Aufgabe. Hier ist
> sie:
>  
> Sei [mm]G \subseteq \IC[/mm] ein Gebiet und [mm]f:G \to \IC[/mm] eine
> nichtkonstante Funktion. Weiter seien [mm]f^2[/mm] und [mm]f^3[/mm] auf G
> holomorph. Man zeige, dass f auf G holomorph ist.
>  
> Vielleicht ist einer der Moderatoren oder eine der
> Moderatorinnen so freundlich und deklariert diese Aufgabe
> als Übungsaufgabe.
>  
> Grüße FRED

Geht das nicht etwa auch so: Überall dort wo [mm] f^2 [/mm] und damit auch [mm] f^3 [/mm] und umgekehrt keine Nullstelle besitzen, ist f holomorph. Jetzt mögen [mm] f^3 [/mm] und [mm] f^2 [/mm] in [mm] z_0 [/mm] eine Nullstelle mit jeweils endlicher Vielfachheit (unendlich geht nicht)haben. Dann sind sie in [mm] z_0 [/mm] in Potenzreihen nach [mm] (z-z_0) [/mm] entwickelbar und weiter: [mm] f^3 [/mm] und [mm] f^2 [/mm] haben dann dort die Darstellung [mm] f^2(z)=(z-z_0)^p*\phi(z) [/mm] und [mm] f^3(z)=(z-z_0)^q*\psi(z) [/mm] mit nullstellenfreien, holomorphen [mm] \psi [/mm] und [mm] \phi. [/mm] Damit ist dort [mm] f(z)=(z-z_0)^{q-p}*\xi(z) [/mm] mit einem nullstellenfreien holomorphen [mm] \xi. [/mm] Wäre p>q, widerspräche das der Darstellung von [mm] f^3 [/mm] und [mm] f^2. [/mm]

Oder vielleicht besser:

Wenn [mm] f^3(z)=(z-z_0)^q*\psi(z) [/mm] und [mm] f^2(z)=(z-z_0)^p*\phi(z) [/mm] in einer Umgebung um [mm] z_0 [/mm] herum ist, dann gilt

[mm] f(z)*(z-z_0)^p*\phi(z)=(z-z_0)^q*\psi(z) [/mm]

Wenn etwa [mm] q\ge [/mm] p, dann gilt

[mm] (z-z_0)^p*(f(z)*\phi(z)-(z-z_0)^{q-p}\psi(z))=0 [/mm]

Damit ist dort [mm] f(z)=(z-z_0)^{q-p}*\xi(z) [/mm] für jedes [mm] z\not=z_0 [/mm] in einer Umgebung um [mm] z_0 [/mm] ist f(z) holomorph und geht mit [mm] z\to z_0 [/mm] gegen null.

Oder so:

Wenn keine Nullstellen vorliegen, dann ist einfach [mm] f=f^3/f^2 [/mm] und holomorph. Sei nun [mm] z_0 [/mm] eine Nullstelle. Bei holomorphen Funkionen kann das kein Häufungspunkt anderer Nullstellen sein. Also gibt es eine Umgebung um [mm] z_0 [/mm] herum, die nullstellenfrei ist.
Da [mm] f^3 [/mm] und [mm] f^2 [/mm] holomorph sind, haben sie an der Nullstelle [mm] z_0 [/mm] die Darstellung
[mm] f^3=(z-z_0)^q*\phi [/mm] und [mm] f^2=(z-z_0)^p*\psi [/mm] mit holomorphen Funktionen [mm] \phi [/mm] und [mm] \psi [/mm] , die in [mm] z_0 [/mm] keine Nullstelle haben. Daraus folgt [mm] (z-z_0)^{2q}*\phi^2-(z-z_0)^{3p}*\psi^3=0. [/mm] Wenn p=q gelte, würde folgen [mm] (z-z_0)^{2p}(\phi^2-(z-z_0)^p*\psi^3)=0. [/mm] Dann hätte [mm] \phi [/mm] aber doch eine Nullstelle in [mm] z_0. [/mm] Wenn q<p wäre, würde gelten [mm] (z-z_0)^q*(\phi-f*(z-z_0)^{p-q}*\psi)=0 [/mm] und f hätte bei [mm] z_0 [/mm] keine Nullstelle. Also ist q>p und es gilt [mm] f=(z-z_0)^{q-p}*\xi [/mm] mit einem holomorphen [mm] \xi, [/mm] welches bei [mm] z_0 [/mm] keine Nullstelle hat. Damit ist dann [mm] (f(z)-f(z_0)/(z-z_0)=(z-z_0)^{q-p}*\xi(z)/(z-z_0)=(z-z_0)^{q-p-1}*\xi(z). [/mm] Der Grenzwert existiert. Damit ist f bei [mm] z_0 [/mm] holomorph.

Paßt das so?

LG

gfm



Bezug
                
Bezug
Holomorphie: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 00:56 Fr 06.08.2010
Autor: felixf

Moin gfm!

> > Unser  Mitglied gfm
> > bat mich gestern um eine "erfrischende" Aufgabe. Hier ist
> > sie:
> >  

> > Sei [mm]G \subseteq \IC[/mm] ein Gebiet und [mm]f:G \to \IC[/mm] eine
> > nichtkonstante Funktion. Weiter seien [mm]f^2[/mm] und [mm]f^3[/mm] auf G
> > holomorph. Man zeige, dass f auf G holomorph ist.
>  >  
> > Vielleicht ist einer der Moderatoren oder eine der
> > Moderatorinnen so freundlich und deklariert diese Aufgabe
> > als Übungsaufgabe.
>  >  
> > Grüße FRED
>
> Geht das nicht etwa auch so: Überall dort wo [mm]f^2[/mm] und damit
> auch [mm]f^3[/mm] und umgekehrt keine Nullstelle besitzen, ist f
> holomorph. Jetzt mögen [mm]f^3[/mm] und [mm]f^2[/mm] in [mm]z_0[/mm] eine Nullstelle
> mit jeweils endlicher Vielfachheit (unendlich geht
> nicht)haben. Dann sind sie in [mm]z_0[/mm] in Potenzreihen nach
> [mm](z-z_0)[/mm] entwickelbar und weiter: [mm]f^3[/mm] und [mm]f^2[/mm] haben dann
> dort die Darstellung [mm]f^2(z)=(z-z_0)^p*\phi(z)[/mm] und
> [mm]f^3(z)=(z-z_0)^q*\psi(z)[/mm] mit nullstellenfreien, holomorphen
> [mm]\psi[/mm] und [mm]\phi.[/mm] Damit ist dort [mm]f(z)=(z-z_0)^{q-p}*\xi(z)[/mm] mit
> einem nullstellenfreien holomorphen [mm]\xi.[/mm]

Also fuer $z [mm] \neq z_0$. [/mm]

> Wäre p>q,
> widerspräche das der Darstellung von [mm]f^3[/mm] und [mm]f^2.[/mm]

Wieso das? Die offensichtliche Begruendung hierfuer verwendet bereits, dass $f$ holomorph ist. Du musst also schon genauer sagen, warum es so sein soll.

> Oder vielleicht besser:
>  
> Wenn [mm]f^3(z)=(z-z_0)^q*\psi(z)[/mm] und [mm]f^2(z)=(z-z_0)^p*\phi(z)[/mm]
> in einer Umgebung um [mm]z_0[/mm] herum ist, dann gilt
>  
> [mm]f(z)*(z-z_0)^p*\phi(z)=(z-z_0)^q*\psi(z)[/mm]
>  
> Wenn etwa [mm]q\ge[/mm] p, dann gilt
>  
> [mm](z-z_0)^p*(f(z)*\phi(z)-(z-z_0)^{q-p}\psi(z))=0[/mm]

Soweit ok.

> Damit ist dort [mm]f(z)=(z-z_0)^{q-p}*\xi(z)[/mm] für jedes
> [mm]z\not=z_0[/mm] in einer Umgebung um [mm]z_0[/mm] ist f(z) holomorph und
> geht mit [mm]z\to z_0[/mm] gegen null.

Ja. Aber was ist mit $q < p$?

> Oder so:
>  
> Wenn keine Nullstellen vorliegen, dann ist einfach
> [mm]f=f^3/f^2[/mm] und holomorph. Sei nun [mm]z_0[/mm] eine Nullstelle. Bei
> holomorphen Funkionen kann das kein Häufungspunkt anderer
> Nullstellen sein. Also gibt es eine Umgebung um [mm]z_0[/mm] herum,
> die nullstellenfrei ist.

[ok]

> Da [mm]f^3[/mm] und [mm]f^2[/mm] holomorph sind, haben sie an der Nullstelle
> [mm]z_0[/mm] die Darstellung
>  [mm]f^3=(z-z_0)^q*\phi[/mm] und [mm]f^2=(z-z_0)^p*\psi[/mm] mit holomorphen
> Funktionen [mm]\phi[/mm] und [mm]\psi[/mm] , die in [mm]z_0[/mm] keine Nullstelle
> haben. Daraus folgt
> [mm](z-z_0)^{2q}*\phi^2-(z-z_0)^{3p}*\psi^3=0.[/mm] Wenn p=q gelte,
> würde folgen [mm](z-z_0)^{2p}(\phi^2-(z-z_0)^p*\psi^3)=0.[/mm] Dann
> hätte [mm]\phi[/mm] aber doch eine Nullstelle in [mm]z_0.[/mm]

Vorsicht, hier muss man genauer argumentieren. Mit Hilfe des Identitaetssatzes folgt, dass [mm] $\phi^2 [/mm] - (z - [mm] z_0)^p \psi^3 [/mm] = 0$ sein muss, und damit folgt dann [mm] $\phi(z_0) [/mm] = 0$.

> Wenn q<p
> wäre, würde gelten
> [mm](z-z_0)^q*(\phi-f*(z-z_0)^{p-q}*\psi)=0[/mm]

Das gilt erstmal nur fuer $z [mm] \neq z_0$. [/mm]

> und f hätte bei [mm]z_0[/mm] keine Nullstelle.

Woher hast du das jetzt?

> Also ist q>p und es gilt
> [mm]f=(z-z_0)^{q-p}*\xi[/mm]
> mit einem holomorphen [mm]\xi,[/mm] welches bei
> [mm]z_0[/mm] keine Nullstelle hat. Damit ist dann
> [mm](f(z)-f(z_0)/(z-z_0)=(z-z_0)^{q-p}*\xi(z)/(z-z_0)=(z-z_0)^{q-p-1}*\xi(z).[/mm]
> Der Grenzwert existiert. Damit ist f bei [mm]z_0[/mm] holomorph.

[ok]

LG Felix


Bezug
                        
Bezug
Holomorphie: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:50 Fr 06.08.2010
Autor: gfm


> > haben. Daraus folgt
> > [mm](z-z_0)^{2q}*\phi^2-(z-z_0)^{3p}*\psi^3=0.[/mm] Wenn p=q gelte,
> > würde folgen [mm](z-z_0)^{2p}(\phi^2-(z-z_0)^p*\psi^3)=0.[/mm] Dann
> > hätte [mm]\phi[/mm] aber doch eine Nullstelle in [mm]z_0.[/mm]
>  
> Vorsicht, hier muss man genauer argumentieren. Mit Hilfe
> des Identitaetssatzes folgt, dass [mm]\phi^2 - (z - z_0)^p \psi^3 = 0[/mm]
> sein muss, und damit folgt dann [mm]\phi(z_0) = 0[/mm].
>  

Ja, den habe ich immer unbewußt im Hinterkopf, wenn ich so etwas sage, aber Du hast schon recht, dass es besser unach auch verständlicher ist, alle argumente bewußt zu formulieren.



> > Wenn q<p
> > wäre, würde gelten
> > [mm](z-z_0)^q*(\phi-f*(z-z_0)^{p-q}*\psi)=0[/mm]
>  
> Das gilt erstmal nur fuer [mm]z \neq z_0[/mm].
>  
> > und f hätte bei [mm]z_0[/mm] keine Nullstelle.
>
> Woher hast du das jetzt?


In einer Umgebung von [mm] z_0, [/mm] folgt daraus, dass

[mm] \phi*(z-z_0)^n/\psi=f [/mm] (mit n>0 und für [mm] z\not=z_0) [/mm]

Die linke Seite geht gegen Null für [mm] z\to z_0. [/mm] Wenn f dort nicht null wäre, wäre es dort unstetig, was dem Verhalten von [mm] f^2 [/mm] und [mm] f^3 [/mm] dort widerspricht.

>  
> > Also ist q>p und es gilt
> > [mm]f=(z-z_0)^{q-p}*\xi[/mm]
>  > mit einem holomorphen [mm]\xi,[/mm] welches bei

> > [mm]z_0[/mm] keine Nullstelle hat. Damit ist dann
> >
> [mm](f(z)-f(z_0)/(z-z_0)=(z-z_0)^{q-p}*\xi(z)/(z-z_0)=(z-z_0)^{q-p-1}*\xi(z).[/mm]
> > Der Grenzwert existiert. Damit ist f bei [mm]z_0[/mm] holomorph.
>  
> [ok]
>  
> LG Felix
>  


Bezug
                                
Bezug
Holomorphie: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:36 Fr 06.08.2010
Autor: felixf

Moin!

> > > Wenn q<p
> > > wäre, würde gelten
> > > [mm](z-z_0)^q*(\phi-f*(z-z_0)^{p-q}*\psi)=0[/mm]
>  >  
> > Das gilt erstmal nur fuer [mm]z \neq z_0[/mm].
>  >  
> > > und f hätte bei [mm]z_0[/mm] keine Nullstelle.
> >
> > Woher hast du das jetzt?
>  
>
> In einer Umgebung von [mm]z_0,[/mm] folgt daraus, dass
>  
> [mm]\phi*(z-z_0)^n/\psi=f[/mm] (mit n>0 und für [mm]z\not=z_0)[/mm]
>  
> Die linke Seite geht gegen Null für [mm]z\to z_0.[/mm] Wenn f dort
> nicht null wäre, wäre es dort unstetig, was dem Verhalten
> von [mm]f^2[/mm] und [mm]f^3[/mm] dort widerspricht.

Ja. Hier benutzt du allerdings eine aehnliche Uebungsaufgabe:

"Ist $f$ eine Funktion und sind [mm] $f^2, f^3$ [/mm] stetig, so auch $f$."

Wenn du die Aussage allerdings haettest, waerst du gleich fertig: daraus folgt naemlich, dass $f = [mm] \frac{f^3}{f^2}$ [/mm] in einer Umgebung von [mm] $z_0$ [/mm] (Nullstelle von [mm] $f^2$) [/mm] beschraenkt ist und somit holomorph fortsetzbar, und dass die holomorphe Fortsetzung (wegen der Stetigkeit) gleich $f$ ist -- und somit $f$ holomorph ist.

Mit Hilfe dieser Aussage waerst du also viel schneller fertig :)

LG Felix


Bezug
                                        
Bezug
Holomorphie: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:13 Sa 07.08.2010
Autor: gfm


> Moin!
>  
> > > > Wenn q<p
> > > > wäre, würde gelten
> > > > [mm](z-z_0)^q*(\phi-f*(z-z_0)^{p-q}*\psi)=0[/mm]
>  >  >  
> > > Das gilt erstmal nur fuer [mm]z \neq z_0[/mm].
>  >  >  
> > > > und f hätte bei [mm]z_0[/mm] keine Nullstelle.
> > >
> > > Woher hast du das jetzt?
>  >  
> >
> > In einer Umgebung von [mm]z_0,[/mm] folgt daraus, dass
>  >  
> > [mm]\phi*(z-z_0)^n/\psi=f[/mm] (mit n>0 und für [mm]z\not=z_0)[/mm]
>  >  
> > Die linke Seite geht gegen Null für [mm]z\to z_0.[/mm] Wenn f dort
> > nicht null wäre, wäre es dort unstetig, was dem Verhalten
> > von [mm]f^2[/mm] und [mm]f^3[/mm] dort widerspricht.
>  
> Ja. Hier benutzt du allerdings eine aehnliche
> Uebungsaufgabe:
>  
> "Ist [mm]f[/mm] eine Funktion und sind [mm]f^2, f^3[/mm] stetig, so auch [mm]f[/mm]."
>  
> Wenn du die Aussage allerdings haettest, waerst du gleich
> fertig: daraus folgt naemlich, dass [mm]f = \frac{f^3}{f^2}[/mm] in
> einer Umgebung von [mm]z_0[/mm] (Nullstelle von [mm]f^2[/mm]) beschraenkt ist
> und somit holomorph fortsetzbar, und dass die holomorphe

Kannst Du mir das bitte genauer erklären.

> Fortsetzung (wegen der Stetigkeit) gleich [mm]f[/mm] ist -- und
> somit [mm]f[/mm] holomorph ist.

Und das auch

LG

gfm

Bezug
                                                
Bezug
Holomorphie: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 03:25 Mo 09.08.2010
Autor: felixf

Moin!

> > Ja. Hier benutzt du allerdings eine aehnliche
> > Uebungsaufgabe:
>  >  
> > "Ist [mm]f[/mm] eine Funktion und sind [mm]f^2, f^3[/mm] stetig, so auch [mm]f[/mm]."
>  >  
> > Wenn du die Aussage allerdings haettest, waerst du gleich
> > fertig: daraus folgt naemlich, dass [mm]f = \frac{f^3}{f^2}[/mm] in
> > einer Umgebung von [mm]z_0[/mm] (Nullstelle von [mm]f^2[/mm]) beschraenkt ist
> > und somit holomorph fortsetzbar, und dass die holomorphe
>
> Kannst Du mir das bitte genauer erklären.

Ist eine Funktion $f : G [mm] \to \IC$ [/mm] stetig und auf $G [mm] \setminus \{ z \}$ [/mm] holomorph, so ist sie bereits auf ganz $G$ holomorph.

Das bekommst du z.B. mit dem Riemannschen Fortsetzungssatz hin: da $f$ in $z$ stetig ist, ist es in einer Umgebung von $z$ beschraenkt. Daraus folgt mit Hilfe des Riemannschen Fortsetzungssatzes, dass es eine holomorphe Funktion [mm] $\hat{f} [/mm] : G [mm] \to \IC$ [/mm] gibt, die auf $G [mm] \setminus \{ z \}$ [/mm] mit $f$ uebereinstimmt. Da sowohl [mm] $\hat{f}$ [/mm] wie auch $f$ stetig sind, muessen sie dann aber auch in $z$ uebereinstimmen. Damit ist $f$ bereits auf ganz $G$ holomorph.

Wenn du also weisst, dass aus [mm] $f^2$ [/mm] und [mm] $f^3$ [/mm] stetig bereits $f$ stetig folgt, und $f$ ausserhalb der diskreten Menge [mm] $\{ f^2(z) = 0 \}$ [/mm] holomorph ist, muss es demnach bereits auf ganz $f$ holomorph sein.

> > Fortsetzung (wegen der Stetigkeit) gleich [mm]f[/mm] ist -- und
> > somit [mm]f[/mm] holomorph ist.
>  
> Und das auch

Ich hoffe das oben beschreibt es etwas klarer.

LG Felix


Bezug
                                                        
Bezug
Holomorphie: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:30 Mo 09.08.2010
Autor: gfm


> Moin!
>  
> > > Ja. Hier benutzt du allerdings eine aehnliche
> > > Uebungsaufgabe:
>  >  >  
> > > "Ist [mm]f[/mm] eine Funktion und sind [mm]f^2, f^3[/mm] stetig, so auch [mm]f[/mm]."
>  >  >  
> > > Wenn du die Aussage allerdings haettest, waerst du gleich
> > > fertig: daraus folgt naemlich, dass [mm]f = \frac{f^3}{f^2}[/mm] in
> > > einer Umgebung von [mm]z_0[/mm] (Nullstelle von [mm]f^2[/mm]) beschraenkt ist
> > > und somit holomorph fortsetzbar, und dass die holomorphe
> >
> > Kannst Du mir das bitte genauer erklären.
>  
> Ist eine Funktion [mm]f : G \to \IC[/mm] stetig und auf [mm]G \setminus \{ z \}[/mm]
> holomorph, so ist sie bereits auf ganz [mm]G[/mm] holomorph.
>  
> Das bekommst du z.B. mit dem Riemannschen Fortsetzungssatz
> hin: da [mm]f[/mm] in [mm]z[/mm] stetig ist, ist es in einer Umgebung von [mm]z[/mm]
> beschraenkt. Daraus folgt mit Hilfe des Riemannschen
> Fortsetzungssatzes, dass es eine holomorphe Funktion
> [mm]\hat{f} : G \to \IC[/mm] gibt, die auf [mm]G \setminus \{ z \}[/mm] mit [mm]f[/mm]
> uebereinstimmt. Da sowohl [mm]\hat{f}[/mm] wie auch [mm]f[/mm] stetig sind,
> muessen sie dann aber auch in [mm]z[/mm] uebereinstimmen. Damit ist
> [mm]f[/mm] bereits auf ganz [mm]G[/mm] holomorph.
>  
> Wenn du also weisst, dass aus [mm]f^2[/mm] und [mm]f^3[/mm] stetig bereits [mm]f[/mm]
> stetig folgt, und [mm]f[/mm] ausserhalb der diskreten Menge [mm]\{ f^2(z) = 0 \}[/mm]
> holomorph ist, muss es demnach bereits auf ganz [mm]f[/mm] holomorph
> sein.
>  
> > > Fortsetzung (wegen der Stetigkeit) gleich [mm]f[/mm] ist -- und
> > > somit [mm]f[/mm] holomorph ist.
>  >  
> > Und das auch
>
> Ich hoffe das oben beschreibt es etwas klarer.

Vielen Dank für Deine Geduld. Ich versuche es mal nachzuvollziehen:

Wir haben:

(1) [mm] f:G\to\IC [/mm] ist nicht konstant.
(2) [mm] f^2 [/mm] und [mm] f^3 [/mm] sind holomorph auf G

Zu zeigen:

(3) f ist holomorph.


Riemannscher Hebbarkeitssatz:

(RH) Wenn h holomorph auf [mm]G\backslash\{z_0\}[/mm] ist und in einer (punktierten) Umgebung von [mm] z_0 [/mm] beschränkt ist, dann gibt es ein holomorphes g auf G, welches auf [mm] G\backslash\{z_0\} [/mm] mit h übereinstimmt.

Beweis:

Sei [mm] z_0\in [/mm] G. Dann gibt es zwei Möglichkeiten:

(i) [mm] f^2(z_0)\not=0 [/mm]
(ii) [mm] f^2(z_0)=0 [/mm]

Im Fall (i) hat f die eindeutige Gestalt [mm] f=f^3/f^2 [/mm] und ist als holomorph in [mm] z_0 [/mm] erkannt, da der Quotient von zwei holomorphen Funktionen, dort wo der Nenner nicht verschwindet, holomorph ist.

Im Fall (ii) gilt ebenfalls [mm] f(z_0)=0 [/mm] und dass [mm] z_0 [/mm] eine isolierte Nullstelle ist. In einer punktierten Umgebung von [mm] z_0 [/mm] ist also f holomorph. Da [mm] f^2 [/mm] in [mm] z_0 [/mm] stetig ist mit [mm] f^2(z_0)=0, [/mm] gibt eine Funktion [mm] \delta:\IR^+\to\IR^+, [/mm] sodass [mm] |z-z_0|<\delta(\epsilon)\wedge|f(z)|^2<\epsilon [/mm] erfüllt ist. Dann ist aber auch [mm] |z-z_0|<\delta(\epsilon^2)\wedge|f(z)|^2<\epsilon^2 [/mm] und somit auch [mm] |z-z_0|<\delta(\epsilon^2)\wedge|f(z)|<\epsilon [/mm] erfüllt. Somit gilt

(A) f ist stetig in [mm] z_0 [/mm]
(B) Es gibt holom. g auf einer Umgebung von [mm] z_0 [/mm] (inkl. [mm] z_0) [/mm] mit g(z)=f(z) für [mm] z\not=z_0 [/mm]

Wegen [mm] |g(z)-g(z_0)|=|g(z)-f(z)+f(z)-f(z_0)+f(z_0)-g(z_0)|\le|f(z)-f(z_0)|+|f(z_0)-g(z_0)| [/mm] liegt [mm] |f(z_0)-g(z_0)| [/mm] näher an 0 als jede positive Zahl, was in der Standardanalysis nur geht, wenn es mit Null identisch ist.

Damit stimmt aber f mit dem holomorphen g komplet überein und ist somit auch in [mm] z_0 [/mm] holomorph.

Frage: Wieso brauche ich so gut wie gar nicht [mm] f^3? [/mm]

LF

gfm




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Bezug
Holomorphie: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:41 Mo 09.08.2010
Autor: fred97


> > Moin!
>  >  
> > > > Ja. Hier benutzt du allerdings eine aehnliche
> > > > Uebungsaufgabe:
>  >  >  >  
> > > > "Ist [mm]f[/mm] eine Funktion und sind [mm]f^2, f^3[/mm] stetig, so auch [mm]f[/mm]."
>  >  >  >  
> > > > Wenn du die Aussage allerdings haettest, waerst du gleich
> > > > fertig: daraus folgt naemlich, dass [mm]f = \frac{f^3}{f^2}[/mm] in
> > > > einer Umgebung von [mm]z_0[/mm] (Nullstelle von [mm]f^2[/mm]) beschraenkt ist
> > > > und somit holomorph fortsetzbar, und dass die holomorphe
> > >
> > > Kannst Du mir das bitte genauer erklären.
>  >  
> > Ist eine Funktion [mm]f : G \to \IC[/mm] stetig und auf [mm]G \setminus \{ z \}[/mm]
> > holomorph, so ist sie bereits auf ganz [mm]G[/mm] holomorph.
>  >  
> > Das bekommst du z.B. mit dem Riemannschen Fortsetzungssatz
> > hin: da [mm]f[/mm] in [mm]z[/mm] stetig ist, ist es in einer Umgebung von [mm]z[/mm]
> > beschraenkt. Daraus folgt mit Hilfe des Riemannschen
> > Fortsetzungssatzes, dass es eine holomorphe Funktion
> > [mm]\hat{f} : G \to \IC[/mm] gibt, die auf [mm]G \setminus \{ z \}[/mm] mit [mm]f[/mm]
> > uebereinstimmt. Da sowohl [mm]\hat{f}[/mm] wie auch [mm]f[/mm] stetig sind,
> > muessen sie dann aber auch in [mm]z[/mm] uebereinstimmen. Damit ist
> > [mm]f[/mm] bereits auf ganz [mm]G[/mm] holomorph.
>  >  
> > Wenn du also weisst, dass aus [mm]f^2[/mm] und [mm]f^3[/mm] stetig bereits [mm]f[/mm]
> > stetig folgt, und [mm]f[/mm] ausserhalb der diskreten Menge [mm]\{ f^2(z) = 0 \}[/mm]
> > holomorph ist, muss es demnach bereits auf ganz [mm]f[/mm] holomorph
> > sein.
>  >  
> > > > Fortsetzung (wegen der Stetigkeit) gleich [mm]f[/mm] ist -- und
> > > > somit [mm]f[/mm] holomorph ist.
>  >  >  
> > > Und das auch
> >
> > Ich hoffe das oben beschreibt es etwas klarer.
>  
> Vielen Dank für Deine Geduld. Ich versuche es mal
> nachzuvollziehen:
>  
> Wir haben:
>  
> (1) [mm]f:G\to\IC[/mm] ist nicht konstant.
>  (2) [mm]f^2[/mm] und [mm]f^3[/mm] sind holomorph auf G
>  
> Zu zeigen:
>
> (3) f ist holomorph.
>  
>
> Riemannscher Hebbarkeitssatz:
>  
> (RH) Wenn h holomorph auf [mm]G\backslash\{z_0\}[/mm] ist und in
> einer (punktierten) Umgebung von [mm]z_0[/mm] beschränkt ist, dann
> gibt es ein holomorphes g auf G, welches auf
> [mm]G\backslash\{z_0\}[/mm] mit h übereinstimmt.
>  
> Beweis:
>  
> Sei [mm]z_0\in[/mm] G. Dann gibt es zwei Möglichkeiten:
>  
> (i) [mm]f^2(z_0)\not=0[/mm]
>  (ii) [mm]f^2(z_0)=0[/mm]
>  
> Im Fall (i) hat f die eindeutige Gestalt [mm]f=f^3/f^2[/mm] und ist
> als holomorph in [mm]z_0[/mm] erkannt, da der Quotient von zwei
> holomorphen Funktionen, dort wo der Nenner nicht
> verschwindet, holomorph ist.
>  
> Im Fall (ii) gilt ebenfalls [mm]f(z_0)=0[/mm] und dass [mm]z_0[/mm] eine
> isolierte Nullstelle ist. In einer punktierten Umgebung von
> [mm]z_0[/mm] ist also f holomorph. Da [mm]f^2[/mm] in [mm]z_0[/mm] stetig ist mit
> [mm]f^2(z_0)=0,[/mm] gibt eine Funktion [mm]\delta:\IR^+\to\IR^+,[/mm] sodass
> [mm]|z-z_0|<\delta(\epsilon)\wedge|f(z)|^2<\epsilon[/mm] erfüllt
> ist. Dann ist aber auch
> [mm]|z-z_0|<\delta(\epsilon^2)\wedge|f(z)|^2<\epsilon^2[/mm] und
> somit auch [mm]|z-z_0|<\delta(\epsilon^2)\wedge|f(z)|<\epsilon[/mm]
> erfüllt. Somit gilt
>  
> (A) f ist stetig in [mm]z_0[/mm]
>  (B) Es gibt holom. g auf einer Umgebung von [mm]z_0[/mm] (inkl.
> [mm]z_0)[/mm] mit g(z)=f(z) für [mm]z\not=z_0[/mm]
>  
> Wegen
> [mm]|g(z)-g(z_0)|=|g(z)-f(z)+f(z)-f(z_0)+f(z_0)-g(z_0)|\le|f(z)-f(z_0)|+|f(z_0)-g(z_0)|[/mm]
> liegt [mm]|f(z_0)-g(z_0)|[/mm] näher an 0 als jede positive Zahl,
> was in der Standardanalysis nur geht, wenn es mit Null
> identisch ist.
>  
> Damit stimmt aber f mit dem holomorphen g komplet überein
> und ist somit auch in [mm]z_0[/mm] holomorph.
>  
> Frage: Wieso brauche ich so gut wie gar nicht [mm]f^3?[/mm]

Es ist  $ [mm] f=f^3/f^2 [/mm] $   !!!!!



Obiges geht aber kürzer:  Ist [mm] z_0 [/mm] eine Nullstelle von f, so hat f in [mm] z_0 [/mm] eine isol. Sing.


Weiter gilt: es ex. c>0 und eine Umgebung U von [mm] z_0 [/mm] mit: [mm] $|f^2| \le [/mm] c$  auf U. Dann ist:

      $|f| [mm] \le \wurzel{c}$ [/mm]   auf U.

[mm] z_0 [/mm] ist somit eine hebbare Sing. von f.

FRED



>  
> LF
>  
> gfm
>  
>
>  


Bezug
                                                                        
Bezug
Holomorphie: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:12 Mo 09.08.2010
Autor: gfm


>  >  
> > Wir haben:
>  >  
> > (1) [mm]f:G\to\IC[/mm] ist nicht konstant.
>  >  (2) [mm]f^2[/mm] und [mm]f^3[/mm] sind holomorph auf G
>  >  
> > Zu zeigen:
> >
> > (3) f ist holomorph.
>  >  
> >
> > Riemannscher Hebbarkeitssatz:
>  >  
> > (RH) Wenn h holomorph auf [mm]G\backslash\{z_0\}[/mm] ist und in
> > einer (punktierten) Umgebung von [mm]z_0[/mm] beschränkt ist, dann
> > gibt es ein holomorphes g auf G, welches auf
> > [mm]G\backslash\{z_0\}[/mm] mit h übereinstimmt.
>  >  
> > Beweis:
>  >  
> > Sei [mm]z_0\in[/mm] G. Dann gibt es zwei Möglichkeiten:
>  >  
> > (i) [mm]f^2(z_0)\not=0[/mm]
>  >  (ii) [mm]f^2(z_0)=0[/mm]
>  >  
> > Im Fall (i) hat f die eindeutige Gestalt [mm]f=f^3/f^2[/mm] und ist
> > als holomorph in [mm]z_0[/mm] erkannt, da der Quotient von zwei
> > holomorphen Funktionen, dort wo der Nenner nicht
> > verschwindet, holomorph ist.
>  >  
> > Im Fall (ii) gilt ebenfalls [mm]f(z_0)=0[/mm] und dass [mm]z_0[/mm] eine
> > isolierte Nullstelle ist. In einer punktierten Umgebung von
> > [mm]z_0[/mm] ist also f holomorph. Da [mm]f^2[/mm] in [mm]z_0[/mm] stetig ist mit
> > [mm]f^2(z_0)=0,[/mm] gibt eine Funktion [mm]\delta:\IR^+\to\IR^+,[/mm] sodass
> > [mm]|z-z_0|<\delta(\epsilon)\wedge|f(z)|^2<\epsilon[/mm] erfüllt
> > ist. Dann ist aber auch
> > [mm]|z-z_0|<\delta(\epsilon^2)\wedge|f(z)|^2<\epsilon^2[/mm] und
> > somit auch [mm]|z-z_0|<\delta(\epsilon^2)\wedge|f(z)|<\epsilon[/mm]
> > erfüllt. Somit gilt
>  >  
> > (A) f ist stetig in [mm]z_0[/mm]
>  >  (B) Es gibt holom. g auf einer Umgebung von [mm]z_0[/mm] (inkl.
> > [mm]z_0)[/mm] mit g(z)=f(z) für [mm]z\not=z_0[/mm]
>  >  
> > Wegen
> >
> [mm]|g(z)-g(z_0)|=|g(z)-f(z)+f(z)-f(z_0)+f(z_0)-g(z_0)|\le|f(z)-f(z_0)|+|f(z_0)-g(z_0)|[/mm]
> > liegt [mm]|f(z_0)-g(z_0)|[/mm] näher an 0 als jede positive Zahl,
> > was in der Standardanalysis nur geht, wenn es mit Null
> > identisch ist.
>  >  
> > Damit stimmt aber f mit dem holomorphen g komplet überein
> > und ist somit auch in [mm]z_0[/mm] holomorph.
>  >  
> > Frage: Wieso brauche ich so gut wie gar nicht [mm]f^3?[/mm]
>  
> Es ist  [mm]f=f^3/f^2[/mm]   !!!!!

Ich meine ja nur, dass die von Felix angeführte Stetigkeit von f meines Erachtens schon von der Stetigkeit von [mm] f^2 [/mm] impliziert wird. Und dafür wird die Stetikeit von [mm] f^3 [/mm] nicht gebraucht, oder?

>
> Obiges geht aber kürzer:  Ist [mm]z_0[/mm] eine Nullstelle von f,
> so hat f in [mm]z_0[/mm] eine isol. Sing.
>  
>
> Weiter gilt: es ex. c>0 und eine Umgebung U von [mm]z_0[/mm] mit:
> [mm]|f^2| \le c[/mm]  auf U. Dann ist:
>  
> [mm]|f| \le \wurzel{c}[/mm]   auf U.
>  
> [mm]z_0[/mm] ist somit eine hebbare Sing. von f.

Ja, aber ist das nicht in Kurzform die Essenz obiger Ausführungen? Dass f bei [mm] z_0 [/mm] eine hebbare Singularität hat, ist doch auch wieder eine Folge aus (RH), oder?


BTW:

Hab ich oben nicht einen Fehler in der Argumentation? Müßte ich nicht

[mm] |g(z_0)-f(z_0)|=|g(z_0)-g(z)+g(z)-f(z)+f(z)-f(z_0)| [/mm]
[mm] \le|g(z_0)-g(z)|+|g(z)-f(z)|+|f(z)-f(z_0)|=|g(z_0)-g(z)|+0+|f(z)-f(z_0)| [/mm]

schreiben? Denn jetzt wird ja die Konstante [mm] |g(z_0)-f(z_0)| [/mm] wegen der Stetigkeit von g und f in [mm] z_0 [/mm] beliebig klein und muss demnach identisch null sein.

LG

gfm

Bezug
                                                                                
Bezug
Holomorphie: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:32 Mo 09.08.2010
Autor: felixf

Moin!

> > > (1) [mm]f:G\to\IC[/mm] ist nicht konstant.
>  >  >  (2) [mm]f^2[/mm] und [mm]f^3[/mm] sind holomorph auf G
>  >  >  
> > > Zu zeigen:
> > >
> > > (3) f ist holomorph.
>  >  >  
> > >
> > > Riemannscher Hebbarkeitssatz:
>  >  >  
> > > (RH) Wenn h holomorph auf [mm]G\backslash\{z_0\}[/mm] ist und in
> > > einer (punktierten) Umgebung von [mm]z_0[/mm] beschränkt ist, dann
> > > gibt es ein holomorphes g auf G, welches auf
> > > [mm]G\backslash\{z_0\}[/mm] mit h übereinstimmt.
>  >  >  
> > > Beweis:
>  >  >  
> > > Sei [mm]z_0\in[/mm] G. Dann gibt es zwei Möglichkeiten:
>  >  >  
> > > (i) [mm]f^2(z_0)\not=0[/mm]
>  >  >  (ii) [mm]f^2(z_0)=0[/mm]
>  >  >  
> > > Im Fall (i) hat f die eindeutige Gestalt [mm]f=f^3/f^2[/mm] und ist
> > > als holomorph in [mm]z_0[/mm] erkannt, da der Quotient von zwei
> > > holomorphen Funktionen, dort wo der Nenner nicht
> > > verschwindet, holomorph ist.

Genau.

> > > Im Fall (ii) gilt ebenfalls [mm]f(z_0)=0[/mm] und dass [mm]z_0[/mm] eine
> > > isolierte Nullstelle ist. In einer punktierten Umgebung von
> > > [mm]z_0[/mm] ist also f holomorph. Da [mm]f^2[/mm] in [mm]z_0[/mm] stetig ist mit
> > > [mm]f^2(z_0)=0,[/mm] gibt eine Funktion [mm]\delta:\IR^+\to\IR^+,[/mm] sodass
> > > [mm]|z-z_0|<\delta(\epsilon)\wedge|f(z)|^2<\epsilon[/mm] erfüllt
> > > ist.

Du meinst, dass $|z - [mm] z_0| [/mm] < [mm] \delta(\varepsilon) \Rightarrow |f(z)|^2 [/mm] < [mm] \varepsilon$. [/mm]

> Dann ist aber auch
> > > [mm]|z-z_0|<\delta(\epsilon^2)\wedge|f(z)|^2<\epsilon^2[/mm] und
> > > somit auch [mm]|z-z_0|<\delta(\epsilon^2)\wedge|f(z)|<\epsilon[/mm]
> > > erfüllt. Somit gilt
>  >  >  
> > > (A) f ist stetig in [mm]z_0[/mm]

Genau.

>  >  >  (B) Es gibt holom. g auf einer Umgebung von [mm]z_0[/mm]
> (inkl.
> > > [mm]z_0)[/mm] mit g(z)=f(z) für [mm]z\not=z_0[/mm]
>  >  >  
> > > Wegen
> > >
> >
> [mm]|g(z)-g(z_0)|=|g(z)-f(z)+f(z)-f(z_0)+f(z_0)-g(z_0)|\le|f(z)-f(z_0)|+|f(z_0)-g(z_0)|[/mm]
> > > liegt [mm]|f(z_0)-g(z_0)|[/mm] näher an 0 als jede positive Zahl,
> > > was in der Standardanalysis nur geht, wenn es mit Null
> > > identisch ist.

Nein. Du kannst $z$ waehlen (fuer festes [mm] $\varepsilon$), [/mm] so dass $|f(z) - [mm] f(z_0)| [/mm] < [mm] \varepsilon$ [/mm] ist. Fuer ein konkretes $z$ kann $|f(z) - [mm] f(z_0)|$ [/mm] sehr wohl groesser als eine beliebig kleine reelle Zahl sein.

> > > Damit stimmt aber f mit dem holomorphen g komplet überein
> > > und ist somit auch in [mm]z_0[/mm] holomorph.

Nein, das hast du damit nicht gezeigt.

> > > Frage: Wieso brauche ich so gut wie gar nicht [mm]f^3?[/mm]
>  >  
> > Es ist  [mm]f=f^3/f^2[/mm]   !!!!!
>  
> Ich meine ja nur, dass die von Felix angeführte Stetigkeit
> von f meines Erachtens schon von der Stetigkeit von [mm]f^2[/mm]
> impliziert wird.

Nein, das wird sie nicht!

>Und dafür wird die Stetikeit von [mm]f^3[/mm]

> nicht gebraucht, oder?

Betrachte die Funktion $f(z) = 1$ fuer $z [mm] \in [/mm] A$ und $f(z) = -1$ fuer $z [mm] \in \IC \setminus [/mm] A$. Dann ist [mm] $f^2 [/mm] : [mm] \IC \to \IC$ [/mm] stetig, jedoch $f$ nicht (falls $A [mm] \neq \emptyset$ [/mm] und $A [mm] \neq \IC$). [/mm]

Hier ist es ganz wichtig, dass du sowohl [mm] $f^2$ [/mm] wie auch [mm] $f^3$ [/mm] hast.

> > Obiges geht aber kürzer:  Ist [mm]z_0[/mm] eine Nullstelle von f,
> > so hat f in [mm]z_0[/mm] eine isol. Sing.
>  >  
> >
> > Weiter gilt: es ex. c>0 und eine Umgebung U von [mm]z_0[/mm] mit:
> > [mm]|f^2| \le c[/mm]  auf U. Dann ist:
>  >  
> > [mm]|f| \le \wurzel{c}[/mm]   auf U.
>  >  
> > [mm]z_0[/mm] ist somit eine hebbare Sing. von f.
>  
> Ja, aber ist das nicht in Kurzform die Essenz obiger
> Ausführungen? Dass f bei [mm]z_0[/mm] eine hebbare Singularität
> hat, ist doch auch wieder eine Folge aus (RH), oder?

Ja. Und die Voraussetzung fuer (RH) ist, dass $f$ um [mm] $z_0$ [/mm] herum beschraenkt ist.

Fred hat also die Voraussetzung fuer (RH) gezeigt und (RH) dann angewendet.

> Hab ich oben nicht einen Fehler in der Argumentation?
> Müßte ich nicht
>  
> [mm]|g(z_0)-f(z_0)|=|g(z_0)-g(z)+g(z)-f(z)+f(z)-f(z_0)|[/mm]
>  
> [mm]\le|g(z_0)-g(z)|+|g(z)-f(z)|+|f(z)-f(z_0)|=|g(z_0)-g(z)|+0+|f(z)-f(z_0)|[/mm]
>  
> schreiben?

Ja, das waer besser.

> Denn jetzt wird ja die Konstante [mm]|g(z_0)-f(z_0)|[/mm]
> wegen der Stetigkeit von g und f in [mm]z_0[/mm] beliebig klein und
> muss demnach identisch null sein.

Genau.

LG Felix


Bezug
                                                                                        
Bezug
Holomorphie: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:46 Mo 09.08.2010
Autor: gfm


> Du meinst, dass [mm]|z - z_0| < \delta(\varepsilon) \Rightarrow |f(z)|^2 < \varepsilon[/mm].

Ja.

> > Ich meine ja nur, dass die von Felix angeführte Stetigkeit
> > von f meines Erachtens schon von der Stetigkeit von [mm]f^2[/mm]
> > impliziert wird.
>
> Nein, das wird sie nicht!
>  
> >Und dafür wird die Stetikeit von [mm]f^3[/mm]
> > nicht gebraucht, oder?
>  
> Betrachte die Funktion [mm]f(z) = 1[/mm] fuer [mm]z \in A[/mm] und [mm]f(z) = -1[/mm]
> fuer [mm]z \in \IC \setminus A[/mm]. Dann ist [mm]f^2 : \IC \to \IC[/mm]
> stetig, jedoch [mm]f[/mm] nicht (falls [mm]A \neq \emptyset[/mm] und [mm]A \neq \IC[/mm]).
>  
> Hier ist es ganz wichtig, dass du sowohl [mm]f^2[/mm] wie auch [mm]f^3[/mm]
> hast.

Ok, akzeptiert. Vielen Dank.

Dennoch: Benötigt wird an der entsprechenden Stelle im Beweis die Stetikeit in den Nullstellen. Und da reicht es, nur die Stetigkeit von [mm] f^2 [/mm] zu verwenden, oder?

> Ja. Und die Voraussetzung fuer (RH) ist, dass [mm]f[/mm] um [mm]z_0[/mm]
> herum beschraenkt ist.
>  
> Fred hat also die Voraussetzung fuer (RH) gezeigt und (RH)
> dann angewendet.

Ich stelle das ja auch gar nicht infrage. Ich meine nur, dass, wenn er sagt "...es gilt [mm] |f(z)|<\wurzel{c}..." [/mm] und ein Einfaltspinsel fragte "Und wieso?", er dann ähnlich ausholen müßte.

LG

gfm


Bezug
                                                                                                
Bezug
Holomorphie: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 02:37 Di 10.08.2010
Autor: felixf

Moin!

> > > Ich meine ja nur, dass die von Felix angeführte Stetigkeit
> > > von f meines Erachtens schon von der Stetigkeit von [mm]f^2[/mm]
> > > impliziert wird.
> >
> > Nein, das wird sie nicht!
>  >  
> > >Und dafür wird die Stetikeit von [mm]f^3[/mm]
> > > nicht gebraucht, oder?
>  >  
> > Betrachte die Funktion [mm]f(z) = 1[/mm] fuer [mm]z \in A[/mm] und [mm]f(z) = -1[/mm]
> > fuer [mm]z \in \IC \setminus A[/mm]. Dann ist [mm]f^2 : \IC \to \IC[/mm]
> > stetig, jedoch [mm]f[/mm] nicht (falls [mm]A \neq \emptyset[/mm] und [mm]A \neq \IC[/mm]).
>  
> >  

> > Hier ist es ganz wichtig, dass du sowohl [mm]f^2[/mm] wie auch [mm]f^3[/mm]
> > hast.
>  
> Ok, akzeptiert. Vielen Dank.
>
> Dennoch: Benötigt wird an der entsprechenden Stelle im
> Beweis die Stetikeit in den Nullstellen. Und da reicht es,
> nur die Stetigkeit von [mm]f^2[/mm] zu verwenden, oder?

Nun, du brauchst die Stetigkit von [mm] $f^3$ [/mm] ausserhalb der Nullstellen von $f$. Andernfalls bekommst du nicht heraus, dass $f$ dort stetig ist (als Quotient von stetigen Funktionen).

Fuer die Stetigkeit in den Nullstellen reicht die Stetigkeit von [mm] $f^2$ [/mm] (oder alternativ die von [mm] $f^3$) [/mm] sowie die Holomorphie von $f = [mm] \frac{f^3}{f^2}$ [/mm] ausserhalb der Nullstellen.

LG Felix


Bezug
                                                                                                
Bezug
Holomorphie: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:58 Di 10.08.2010
Autor: fred97

  
> Ich stelle das ja auch gar nicht infrage. Ich meine nur,
> dass, wenn er sagt "...es gilt [mm]|f(z)|<\wurzel{c}..."[/mm] und
> ein Einfaltspinsel fragte "Und wieso?", er dann ähnlich
> ausholen müßte.

Nein. Dem Einfallspinsel sage ich dann:

" .....  weil   [mm] $|f|^2= |f^2| \le [/mm] c $  auf U..."


FRED

>  
> LG
>  
> gfm
>  


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