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Forum "Gewöhnliche Differentialgleichungen" - Homogene DGL
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Homogene DGL: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:37 Di 21.04.2020
Autor: James90

Hallo!

Gegeben [mm] $y'(x)=\pmat{ -5 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -9 \\ 0 & 1 & 0 }$*y(x). [/mm] Was ist das reelle Fundamentalsystem?

Mein Versuch:

Sei [mm] A:=\pmat{ -5 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -9 \\ 0 & 1 & 0 } [/mm] und betrachte $y'(x)=A*y(x)$.
Das charakteristische Polynom ist nach Sarrus gegeben durch [mm] $p_{\lambda}(A)=-(\lambda^2+9)(5+\lambda)$. [/mm]
Demnach [mm] \lamda_1=5, \lambda_2=3i, \lambda_3=-3i. [/mm]
[mm] Kern(A-\lambda_1)=span(\vektor{1 \\ 0 \\ 0}), [/mm]
[mm] Kern(A-\lambda_2)=span(\vektor{0 \\ 3i \\ 1}), [/mm]
[mm] Kern(A-\lambda_3)=span(\vektor{0 \\ -3i \\ 1}) [/mm]

Damit ist A nicht diagonalisierbar über [mm] \IC. [/mm] Muss ich jetzt über die Jordannormalform gehen?

Danke euch!

        
Bezug
Homogene DGL: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 06:30 Mi 22.04.2020
Autor: fred97


> Hallo!
>  
> Gegeben [mm]y'(x)=\pmat{ -5 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -9 \\ 0 & 1 & 0 }[/mm]*y(x).
> Was ist das reelle Fundamentalsystem?
>  
> Mein Versuch:
>  
> Sei [mm]A:=\pmat{ -5 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -9 \\ 0 & 1 & 0 }[/mm] und
> betrachte [mm]y'(x)=A*y(x)[/mm].
>  Das charakteristische Polynom ist nach Sarrus gegeben
> durch [mm]p_{\lambda}(A)=-(\lambda^2+9)(5+\lambda)[/mm].
>  Demnach [mm]\lamda_1=5, \lambda_2=3i, \lambda_3=-3i.[/mm]
>  
> [mm]Kern(A-\lambda_1)=span(\vektor{1 \\ 0 \\ 0}),[/mm]
>  
> [mm]Kern(A-\lambda_2)=span(\vektor{0 \\ 3i \\ 1}),[/mm]
>  
> [mm]Kern(A-\lambda_3)=span(\vektor{0 \\ -3i \\ 1})[/mm]
>  
> Damit ist A nicht diagonalisierbar über [mm]\IC.[/mm]

Wie bitte?  A ist diagonalisierbar,  diagonalisierbarer geht's kaum.


Muss ich

> jetzt über die Jordannormalform gehen?
>  
> Danke euch!


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Bezug
Homogene DGL: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:36 Mi 22.04.2020
Autor: James90

Oh, da hast du natürlich recht!

Habe es nun geschafft.

Danke Dir!

Bezug
                
Bezug
Homogene DGL: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:46 Mi 22.04.2020
Autor: James90


> > Hallo!
>  >  
> > Gegeben [mm]y'(x)=\pmat{ -5 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -9 \\ 0 & 1 & 0 }[/mm]*y(x).
> > Was ist das reelle Fundamentalsystem?
>  >  
> > Mein Versuch:
>  >  
> > Sei [mm]A:=\pmat{ -5 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -9 \\ 0 & 1 & 0 }[/mm] und
> > betrachte [mm]y'(x)=A*y(x)[/mm].
>  >  Das charakteristische Polynom ist nach Sarrus gegeben
> > durch [mm]p_{\lambda}(A)=-(\lambda^2+9)(5+\lambda)[/mm].
>  >  Demnach [mm]\lamda_1=5, \lambda_2=3i, \lambda_3=-3i.[/mm]
>  >  
> > [mm]Kern(A-\lambda_1)=span(\vektor{1 \\ 0 \\ 0}),[/mm]
>  >  
> > [mm]Kern(A-\lambda_2)=span(\vektor{0 \\ 3i \\ 1}),[/mm]
>  >  
> > [mm]Kern(A-\lambda_3)=span(\vektor{0 \\ -3i \\ 1})[/mm]
>  >  
> > Damit ist A nicht diagonalisierbar über [mm]\IC.[/mm]
>
> Wie bitte?  A ist diagonalisierbar,  diagonalisierbarer
> geht's kaum.
>
>
> Muss ich
> > jetzt über die Jordannormalform gehen?
>  >  
> > Danke euch!
>  

Hallo nochmal,

jetzt habe ich nochmal die "Probe" gemacht und glaube einen Fehler gemacht zu haben:

[mm] y(x)=C_1\begin{pmatrix} e^x \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}+C_2\begin{pmatrix} 0 \\ -3\sin(3x) \\ \cos(3x) \end{pmatrix}+C_3\begin{pmatrix} 0 \\ 3\cos(3x) \\ \sin(3x) \end{pmatrix} [/mm]

Nun wollte ich noch die Lösung angeben mit [mm] y(0)=[4,3,-1]^T. [/mm]
Erhalten habe ich dann C=(4-1,1), aber wenn ich nun zur Probe rechne, dann komme ich nicht auf das Ergebnis:

[mm] A*y=\pmat{ -5 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -9 \\ 0 & 1 & 0 }*\vektor{4e^x \\ 3sin(3x)+3cos(3x)\\ sin(3x)}=\vektor{-20e^x \\ -9sin(3x)\\ 3sin(3x)+3cos(3x)}\not=y' [/mm]

Habe ich mich verrechnet oder habe ich einen Denkfehler?

Danke!

Bezug
                        
Bezug
Homogene DGL: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:32 Do 23.04.2020
Autor: fred97


> > > Hallo!
>  >  >  
> > > Gegeben [mm]y'(x)=\pmat{ -5 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -9 \\ 0 & 1 & 0 }[/mm]*y(x).
> > > Was ist das reelle Fundamentalsystem?
>  >  >  
> > > Mein Versuch:
>  >  >  
> > > Sei [mm]A:=\pmat{ -5 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -9 \\ 0 & 1 & 0 }[/mm] und
> > > betrachte [mm]y'(x)=A*y(x)[/mm].
>  >  >  Das charakteristische Polynom ist nach Sarrus
> gegeben
> > > durch [mm]p_{\lambda}(A)=-(\lambda^2+9)(5+\lambda)[/mm].
>  >  >  Demnach [mm]\lamda_1=5, \lambda_2=3i, \lambda_3=-3i.[/mm]
>  >  
> >  

> > > [mm]Kern(A-\lambda_1)=span(\vektor{1 \\ 0 \\ 0}),[/mm]
>  >  >  
> > > [mm]Kern(A-\lambda_2)=span(\vektor{0 \\ 3i \\ 1}),[/mm]
>  >  >  
> > > [mm]Kern(A-\lambda_3)=span(\vektor{0 \\ -3i \\ 1})[/mm]
>  >  >  
> > > Damit ist A nicht diagonalisierbar über [mm]\IC.[/mm]
> >
> > Wie bitte?  A ist diagonalisierbar,  diagonalisierbarer
> > geht's kaum.
> >
> >
> > Muss ich
> > > jetzt über die Jordannormalform gehen?
>  >  >  
> > > Danke euch!
> >  

>
> Hallo nochmal,
>  
> jetzt habe ich nochmal die "Probe" gemacht und glaube einen
> Fehler gemacht zu haben:
>  
> [mm]y(x)=C_1\begin{pmatrix} e^x \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}+C_2\begin{pmatrix} 0 \\ -3\sin(3x) \\ \cos(3x) \end{pmatrix}+C_3\begin{pmatrix} 0 \\ 3\cos(3x) \\ \sin(3x) \end{pmatrix}[/mm]
>  
> Nun wollte ich noch die Lösung angeben mit
> [mm]y(0)=[4,3,-1]^T.[/mm]
>  Erhalten habe ich dann C=(4-1,1), aber wenn ich nun zur
> Probe rechne, dann komme ich nicht auf das Ergebnis:

Kein Wunder, denn es ist C=(4,1,1).


>  
> [mm]A*y=\pmat{ -5 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -9 \\ 0 & 1 & 0 }*\vektor{4e^x \\ 3sin(3x)+3cos(3x)\\ sin(3x)}=\vektor{-20e^x \\ -9sin(3x)\\ 3sin(3x)+3cos(3x)}\not=y'[/mm]
>  
> Habe ich mich verrechnet oder habe ich einen Denkfehler?
>  
> Danke!


Bezug
                                
Bezug
Homogene DGL: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:50 Do 23.04.2020
Autor: James90

Vielen Dank, meinen Fehler habe ich nun gefunden! :-)
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