Homogene Polynome < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:11 Mo 22.11.2010 | | Autor: | Rudy |
| Aufgabe | | Zeigen Sie, dass die Primfaktorzerlegung eines homogenen Polynoms f in [mm] K[X_{1},...,X_{n}] [/mm] auch aus homogenen Faktoren besteht. |
Also bei Wikipedia steht dass aus für einen Ring R mit f homogen aus [mm] R[X_{1},...,X_{n}] [/mm] (mit grad n) folgt dass [mm] f(kx)=k^n*f(x) [/mm] (k aus R, x aus [mm] R^n).
[/mm]
Außerdem steht da noch "Ist R ein unendlicher Körper oder Integritätsbereich, so gilt auch die Umkehrung".
Aber ist ein endlicher Körper nicht auch ein Int.bereich? Dann müsste das doch für alle Körper gelten, oder?
Dann könnte ich doch einfach sagen:
[mm] g(kx)*h(kx)=f(kx)=k^n*f(x)=k^n*g(x)*h(x)=k^r*g(x)*k^s*h(x)
[/mm]
wobei r=grad g und s=grad h also r+s=n.
Ich bin mir zwar nicht sicher ob das so korrekt ist, aber ist leider der einzige Ansatz den ich habe... Oder sollte ich mich doch lieber an einen anderen Ansatz halten? Fragt sich dann nur, welchen 
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:45 Mo 22.11.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Zeigen Sie, dass die Primfaktorzerlegung eines homogenen
> Polynoms f in [mm]K[X_{1},...,X_{n}][/mm] auch aus homogenen
> Faktoren besteht.
>
> Also bei Wikipedia steht dass aus für einen Ring R mit f
> homogen aus [mm]R[X_{1},...,X_{n}][/mm] (mit grad n) folgt dass
> [mm]f(kx)=k^n*f(x)[/mm] (k aus R, x aus [mm]R^n).[/mm]
>
> Außerdem steht da noch "Ist R ein unendlicher Körper oder
> Integritätsbereich, so gilt auch die Umkehrung".
Das "unendlich" gehoert genauso zum Koerper wie zum Integritaetsbereich.
> Aber ist ein endlicher Körper nicht auch ein Int.bereich?
Ja.
> Dann müsste das doch für alle Körper gelten, oder?
Nein, weil sie endlich sind.
> Dann könnte ich doch einfach sagen:
>
> [mm]g(kx)*h(kx)=f(kx)=k^n*f(x)=k^n*g(x)*h(x)=k^r*g(x)*k^s*h(x)[/mm]
> wobei r=grad g und s=grad h also r+s=n.
Daraus folgt aber nicht, dass $g(kx) = [mm] k^r [/mm] g(x)$ und $h(k x) = [mm] k^s [/mm] h(x)$ ist.
> Ich bin mir zwar nicht sicher ob das so korrekt ist, aber
> ist leider der einzige Ansatz den ich habe... Oder sollte
> ich mich doch lieber an einen anderen Ansatz halten? Fragt
> sich dann nur, welchen
Mach es doch schoen algebraisch. Angenommen, $f = g h$ und mind. eins von $g$ und $h$ ist nicht homogen. Folgere, dass $f$ nicht homogen sein kann.
Dazu brauchst du nicht viel mehr als Koeffizientenvergleich.
LG Felix
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