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Halle habe eine Frage zu einer Matrizenaufgabe :
Für welches a R hat das durch
B ( ist eine 3x3 Matrix, diese ist gegeben =)* (x1,x2,x3)=a*(x1,x2,x3) homogene LGS eine nicht-triviale Lösung ? Dazu soll man zuerst dies in der "üblichen Form " hin schreiben.
Gut jetzt meine Idee.
Dann steht da mit der gegebenen Matrix B:
-3x1 0x2 -2x3=a*0
-9x1 -2x2 18x3=a*0
-5x1 0x2 6x3=a*0
Auf der rechten seite steht der Nullvektor da das LGS ja homogen sein soll.
So und nun meine Frage. Für jedes ist doch das GLS immer homogen weil a*0 ja 0 ist. Also hat es immer die triviale Lösung (0,0,0), oder ?
In Teilaufgabe b soll mann die werte des GLS für a =0, 1 und -2 berechenen. Aber da kommt doch dann trotzdem immer der 0 Vektor raus???
Bitte dringend um Hilfe weil ich hier nicht weiterweiß...
Grüße
Habe die Frage in keinem anderen Forum gestellt.
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Hallo tunetemptation,
die Aufgabe scheint mir ungeschickt formuliert, was den Gebrauch des Worts "homogen" angeht. Die Aufgabe zielt im Endeffekt auf sog. Eigenvektoren und Eigenwerte hin - die hattet ihr wahrscheinlich noch nicht, sonst wäre die Aufgabe noch anders formuliert.
Gemeint ist wohl mit "homogen" die genannte Form: [mm] B*\vec{x}=a*\vec{x}
[/mm]
Dann wäre entsprechend "inhomogen": [mm] B*\vec{x}=a*\vec{x}\blue{+\vec{c}}
[/mm]
Ich denke, Du solltest also von folgendem ausgehen:
[mm] \pmat{ -3 & 0 & -2 \\ -9 & -2 & 18 \\ -5 & 0 & 6 }*\vektor{x_1\\x_2\\x_3}=a*\vektor{x_1\\x_2\\x_3}
[/mm]
In der Tat ist [mm] \vec{x}=\vec{0} [/mm] die triviale Lösung. Nimm also an, dass mindestens ein [mm] x_i\not=0 [/mm] ist.
Du erhältst nun eine neue (tatsächlich homogene!) Matrix, die den Parameter a enthält. Löse das hierdurch repräsentierte Gleichungssystem (bzw. bring die Matrix auf Zeilenstufenform) und finde heraus, für welche a es eine eindeutige Lösung gibt.
lg,
reverend
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Okay danke schon mal. Und welches soll x soll ich ungleich 0 annehemen? x1,x2 oder x3?
Und was ich dann in den fällen für a =0,1,-2?
gruss
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Nimm sie erstmal allgemein an, also [mm] x_1,x_2,x_3\in\IR. [/mm] Achte nur darauf, dass sie nachher nicht alle 0 sind, weil das eben nur die triviale Lösung wäre.
Die vorgegebenen a sind eine andere Variante, die Du aber gleich mit erschlägst, wenn Du a als Parameter setzt und erst dann auf Lösbarkeit untersuchst.
Mach doch mal...
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Aha, also setzte ich einfach wie gewohnt wenn ich einen Lösungsvektor suche für B*x=c zum Beispiel , dann hier B^-1 * (a1,a2,a3) hier dann für zb a = 1 dann eben :
B^-1*(1,1,1)=x
und der Lösungsvektor x ist dann das gesuchte, richtig?
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Nein.
Du hast schon in Deiner ursprünglichen Anfrage im Prinzip die richtigen Gleichungen, nur hast Du auf einmal rechts statt [mm] \vec{x} [/mm] den Nullvektor gesetzt:
> -3x1 0x2 -2x3=a*0
> -9x1 -2x2 18x3=a*0
> -5x1 0x2 6x3=a*0
Stattdessen steht da nun:
[mm] -3x_1+0x_2-2x_3=a*x_1
[/mm]
[mm] -9x_1-2x_2+18x_3=a*x_2
[/mm]
[mm] -5x_1+0x_2+6x_3=a*x_3
[/mm]
Jetzt fasst Du in der ersten Gleichung die [mm] x_1, [/mm] in der zweiten die [mm] x_2 [/mm] und in der dritten die [mm] x_3 [/mm] auf der linken Seite zusammen, und erhältst ein verändertes Gleichungssystem...
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