Homogenität und Linearität < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Überprüfen sie folgende Funktion f auf Homogenität und Linearität (Rechnung!)
f: [mm] \IR [/mm] ³ [mm] \to \IR,
[/mm]
(x,y,z) [mm] \mapsto [/mm] f(x,y,z) := (x-y)³ + z³ [mm] \* e^{z/y} [/mm] |
Hallo, bei dieser Aufgabe weiss ich leider nicht wie ich die Homogeniät und Linearität von einer Funktion mit 3 versch. Variablen (x,y,z) berechne.
Ich weiss, dass man die Homogenität von einer Funktion wie bspw. [mm] f(x_{1}, x_{2}) [/mm] mit [mm] f(\lambda \* \vec{x}) [/mm] = [mm] \lambda^{r} \* f(\vec{x)} [/mm] und die Linearitiät mit Hilfe der Additivität von [mm] f(\vec{x_{1}} [/mm] + [mm] \vec{x_{2}}) [/mm] = [mm] f(\vec{x_{1}}) [/mm] + [mm] f(\vec{x_{2}}) [/mm] herausfinden kann.
Doch wie stelle ich das bei einer Funktion wie oben mit f(x,y,z) an? Hat jemand einen Ansatz für mich?
Vielen Dank im voraus
Gruß Tobias
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:31 Di 14.09.2010 | | Autor: | ullim |
Hi,
im Prinzip hast Du ja schon alles hingeschrieben.
z.B. Homogenität [mm] f(\lambda*\overrightarrow{x})=\lambda^r*f(\overrightarrow{x}).
[/mm]
Fasse das Trippel (x,y,z) als einen Vektor [mm] \overrightarrow{u} [/mm] auf, also [mm] \overrightarrow{u}=\vektor{x \\ y \\ z} [/mm] dann gilt
[mm] \lambda*\overrightarrow{u}=\vektor{\lambda*x \\ \lambda*y \\ \lambda*z} [/mm] also gilt
[mm] f(\lambda*\overrightarrow{u})=(\lambda*x-\lambda*y)^3 [/mm] + [mm] (\lambda*z)^3*e^{\bruch{\lambda*z}{\lambda*y}}=\lambda^3(x-y)^3+\lambda^3*z^3*e^{\bruch{z}{y}}=\lambda^3*f(\overrightarrow{u})
[/mm]
Und so ähnlich kann man auch die Linearität beweisen.
|
|
|
| |
|
Hallo ullim, vielen Dank für deine schnelle Hilfe,
mein Lösungsansatz lautet nun wie folgt:
- für die Homogenität:
$ [mm] f(\lambda\cdot{}\overrightarrow{x})=\lambda^r\cdot{}f(\overrightarrow{x}) [/mm] $ [mm] \Rightarrow \lambda \cdot{} \vec{u} [/mm] = [mm] \vektor{x^{3} \\ -y^{3} \\z^{3} \cdot{} e^{\bruch{z}{y}} }
[/mm]
[mm] \Rightarrow$ f(\lambda\cdot{}\overrightarrow{u})=(\lambda\cdot{}x-\lambda\cdot{}y)^3 [/mm] $ + $ [mm] (\lambda\cdot{}z)^3\cdot{}e^{\bruch{\lambda\cdot{}z}{\lambda\cdot{}y}}=\lambda^3(x-y)^3+\lambda^3\cdot{}z^3\cdot{}e^{\bruch{z}{y}}=\lambda^3\cdot{}f(\overrightarrow{u}) [/mm] $
f(x,y,z) ist somit homogen vom Grad 3.
- für die Linearität: reicht es wenn ich die Linearität anhand eines Beispiels überprüfe? z.b.:
f((1,1,1) + (2,1,1) = f(1,1,1) + f(2,1,1)
[mm] \gdw [/mm] f(3,2,2) = f(1,1,1) + f(2,1,1)
[mm] \gdw [/mm] 9 [mm] \not= [/mm] 3
Somit ist f(x,y,z) nicht linear.
|
|
|
| |
|
Hallo schwenker,
> Hallo ullim, vielen Dank für deine schnelle Hilfe,
> mein Lösungsansatz lautet nun wie folgt:
>
> - für die Homogenität:
>
> [mm]f(\lambda\cdot{}\overrightarrow{x})=\lambda^r\cdot{}f(\overrightarrow{x})[/mm]
> [mm]\Rightarrow \lambda \cdot{} \vec{u}[/mm] = [mm]\vektor{x^{3} \\
-y^{3} \\
z^{3} \cdot{} e^{\bruch{z}{y}} }[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow[/mm]
> [mm]f(\lambda\cdot{}\overrightarrow{u})=(\lambda\cdot{}x-\lambda\cdot{}y)^3[/mm]
> +
> [mm](\lambda\cdot{}z)^3\cdot{}e^{\bruch{\lambda\cdot{}z}{\lambda\cdot{}y}}=\lambda^3(x-y)^3+\lambda^3\cdot{}z^3\cdot{}e^{\bruch{z}{y}}=\lambda^3\cdot{}f(\overrightarrow{u})[/mm]
Jo, das hat ullim ja auch schon voergerechnet!
>
> f(x,y,z) ist somit homogen vom Grad 3. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
>
> - für die Linearität: reicht es wenn ich die Linearität
> anhand eines Beispiels überprüfe?
Um sie zu widerlegen ja, da genügt ein einziges Gegenbsp.
Wenn du die Linearität aber zeigen willst, muss es allg. sein ...
> z.b.:
>
> f((1,1,1) + (2,1,1) = f(1,1,1) + f(2,1,1)
> [mm]\gdw[/mm] f(3,2,2) = f(1,1,1) + f(2,1,1)
> [mm]\gdw[/mm] 9 [mm]\not=[/mm] 3
Naja, die Werte stimmen nicht, da kommt weder 3 noch 9 raus ...
Aber dein Gegenbsp. funktioniert. Die Werte, die tatsächlich linkerhand und rechterhand, also für $f(3,2,2)$ bzw. $f(1,1,1)+f(2,1,1)$ herauskommen, sind verschieden ...
>
> Somit ist f(x,y,z) nicht linear.
Das stimmt!
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:52 Di 14.09.2010 | | Autor: | schwenker |
Vielen Dank schachuzipus!
Du hast recht, da hab ich nicht richtig aufgepasst.
$f((1,1,1) + (2,1,1)$ = $f(1,1,1)$ + $f(2,1,1)$
[mm] \gdw [/mm] $f(3,2,2)$ = $f(1,1,1)+f(2,1,1)$
[mm] \gdw 9\cdot{}e \not= 3\cdot{}e [/mm]
[mm] \gdw 24,465\not=8,155
[/mm]
Nun müsste es stimmen.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 07:00 Mi 15.09.2010 | | Autor: | fred97 |
> Hi,
>
> im Prinzip hast Du ja schon alles hingeschrieben.
>
> z.B. Homogenität
> [mm]f(\lambda*\overrightarrow{x})=\lambda^r*f(\overrightarrow{x}).[/mm]
>
> Fasse das Trippel (x,y,z) als einen Vektor
> [mm]\overrightarrow{u}[/mm] auf, also [mm]\overrightarrow{u}=\vektor{x \\ y \\ z}[/mm]
> dann gilt
>
> [mm]\lambda*\overrightarrow{u}=\vektor{\lambda*x \\ \lambda*y \\ \lambda*z}[/mm]
> also gilt
>
> [mm]f(\lambda*\overrightarrow{u})=(\lambda*x-\lambda*y)^3[/mm] +
> [mm](\lambda*z)^3*e^{\bruch{\lambda*z}{\lambda*y}}=\lambda^3(x-y)^3+\lambda^3*z^3*e^{\bruch{z}{y}}=\lambda^3*f(\overrightarrow{u})[/mm]
>
> Und so ähnlich kann man auch die Linearität beweisen.
Da hab ich aber sehr große Zweifel
FRED
>
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:04 Mi 15.09.2010 | | Autor: | ullim |
Hi,
na sagen wir mal, so kann man wenigsten den Gebrauch von Vektoren üben. Über die Linearität bzw. Nichtlinearität brauch man nicht zu streiten, das sieht man ja sofort.
|
|
|
|
