Homogenitätsgrad < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
ich hab da mal eine Frage:
Wie berechne ich denn den Homogenitätsgrad von folgender Funktion:
[mm] f(x_{1},x_{2}) [/mm] = [mm] ln(x_{1} [/mm] + [mm] x_{2})
[/mm]
Ich weiß, dass ich mit [mm] \lamba [/mm] rechnen muss:
[mm] f(\lamba x_{1}, \lambdax_{2}) [/mm] = ln( [mm] \lambda x_{1} [/mm] + [mm] \lambda x_{2}) [/mm]
aber was mach ich jetzt? Ich komm einfach nicht drauf was nun der Homogenitätsgrad ist, kann mir da jemand weiterhelfen?
Vielen Dank!
Kiara
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:07 Mo 28.06.2010 | | Autor: | Eisfisch |
> Hallo,
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> ich hab da mal eine Frage:
> Wie berechne ich denn den Homogenitätsgrad von folgender
> Funktion:
> [mm]f(x_{1},x_{2})[/mm] = [mm]ln(x_{1}[/mm] + [mm]x_{2})[/mm]
> Ich weiß, dass ich mit [mm]\lambda[/mm] rechnen muss:
> [mm]f(\lamba x_{1}, \lambdax_{2})[/mm] = ln( [mm]\lambda x_{1}[/mm] + [mm]\lambda x_{2})[/mm]
> aber was mach ich jetzt? Ich komm einfach nicht drauf was
> nun der Homogenitätsgrad ist, kann mir da jemand
> weiterhelfen?
>
> Vielen Dank!
>
> Kiara
Vielleicht:
Umformen von ln([mm]\lambda x_{1}[/mm] + [mm]\lambda x_{2})[/mm] durch Ausklammern von [mm]\lambda[/mm] :
= ln ( [mm]\lambda[/mm] * (x1 + x2) )
Und weil der Logarithmus eines Produkts gleich die Summe der Logarithmen der Faktoren ist:
= ln [mm]\lambda[/mm] + ln (x1 + x2)
Damit ist zunächst der zweite Summand gleichlautend wie die Ausgangsfunktion [mm]f(x_{1},x_{2})[/mm] = [mm]ln(x_{1}[/mm] + [mm]x_{2})[/mm] ; im zweiten Summanden ist kein [mm]\lambda[/mm] mehr enthalten:
= ln [mm]\lambda[/mm] + [mm]f(x_{1},x_{2})[/mm]
Aber da hier kein Faktor vor der Ausgangsfunktion steht, weiss ich nicht weiter. Ein möglicher Faktor [mm]\lambda[/mm] bzw. eine Potenz von [mm]\lambda[/mm] würde eine Aussage zum Homogenitätsgrad vereinfachen. Der Exponent beim [mm]\lambda[/mm] wäre dann der Homogenitätsgrad.
Abei bei deinem konkreten Beispiel komme ich auch hier zunächst nicht weiter. Vielleicht übernimmt jemand anders? ....:
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 05:59 Mo 28.06.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo Kiara!
Ich glaube nicht, dass man dies mit den Mitteln der Schulmathematik Klasse 8-10 lösen kann.
Ich verschiebe daher mal diesen Thread.
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 06:17 Mo 28.06.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo,
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> ich hab da mal eine Frage:
> Wie berechne ich denn den Homogenitätsgrad von folgender
> Funktion:
> [mm]f(x_{1},x_{2})[/mm] = [mm]ln(x_{1}[/mm] + [mm]x_{2})[/mm]
> Ich weiß, dass ich mit [mm]\lamba[/mm] rechnen muss:
> [mm]f(\lamba x_{1}, \lambdax_{2})[/mm] = ln( [mm]\lambda x_{1}[/mm] +
> [mm]\lambda x_{2})[/mm]
> aber was mach ich jetzt? Ich komm einfach nicht drauf was
> nun der Homogenitätsgrad ist, kann mir da jemand
> weiterhelfen?
also rechnerisch könnte man zunächst ansetzen:
[mm] $$f(\lambda(x_1,x_2))=f(\lambda x_1,\lambda x_2)=\ln(\lambda(x_1+x_2))=\ln(\lambda)+f(x_1,x_2)$$
[/mm]
soll (stets)
[mm] $$=\lambda^r f(x_1,x_2)$$
[/mm]
sein, also:
[mm] $$\ln(\lambda)+f(x_1,x_2)=\lambda^r f(x_1,x_2)$$
[/mm]
[mm] $$\gdw f(x_1,x_2) (\lambda^r-1)=\ln(\lambda)\,.$$
[/mm]
Und spätestens jetzt hätte ich Zweifel, ob die Funktion überhaupt homogen von irgendeinem Grad sein kann, daher:
Angenommen, sie wäre homogen vom Grad [mm] $r\,$. [/mm] Dann ist (insbesondere)
[mm] $$(\*)\;\;\;\ln(\lambda)+\ln(2e)=\ln(2\lambda e)=f(\lambda e,\lambda e)=\lambda^r\ln(2e)=\lambda^r *(\ln(2)+\ln(e))$$
[/mm]
und
[mm] $$\ln(\lambda)+\ln(4e)=\ln(4\lambda e)=f(\lambda 2e,\lambda 2e)=\lambda^r\ln(4e)=\lambda^r *(\ln(4)+\ln(e))\,.$$
[/mm]
Daraus folgt
[mm] $$\ln(\lambda)+\ln(2)+1=\lambda^r \ln(2)+\lambda^r$$
[/mm]
und
[mm] $$\ln(\lambda)+\ln(4)+1=\lambda^r \ln(4)+\lambda^r$$
[/mm]
bzw.
[mm] $$\ln(\lambda)+\ln(2)+1=\lambda^r \ln(2)+\lambda^r\;$$
[/mm]
und
[mm] $$\ln(\lambda)+\ln(2)+\ln(2)+1=\lambda^r (\ln(2)+\ln(2))+\lambda^r\,.$$
[/mm]
Daher muss (Differenz der letzten beiden Gleichungen bilden!) dann [mm] $\ln(2)=\lambda^r \ln(2)$ [/mm] und damit [mm] $r=0\,$ [/mm] sein. Dann ist aber [mm] $(\*)$ [/mm] (z.B. für [mm] $\lambda=2$: [/mm] denn daraus folgte dann [mm] $\ln(e)=\ln(2e)$, [/mm] was der strengen Monotonie von [mm] $\ln(\cdot)$ [/mm] auf [mm] $(0,\infty)$ [/mm] widerspricht) falsch.
Beste Grüße,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:06 Mo 28.06.2010 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
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> ich hab da mal eine Frage:
> Wie berechne ich denn den Homogenitätsgrad von folgender
> Funktion:
Gar nicht ! Die vorgelegte Funktion ist nicht homogen ! Denn, wenn sie es wäre, so würde mit einem [mm] \alpha [/mm] gelten:
$ f'(x)*x = [mm] \alpha*f(x)$ [/mm] für alle x,
also
$1 = [mm] \alpha*f(x)$ [/mm] für alle x,
FRED
> [mm]f(x_{1},x_{2})[/mm] = [mm]ln(x_{1}[/mm] + [mm]x_{2})[/mm]
> Ich weiß, dass ich mit [mm]\lamba[/mm] rechnen muss:
> [mm]f(\lamba x_{1}, \lambdax_{2})[/mm] = ln( [mm]\lambda x_{1}[/mm] +
> [mm]\lambda x_{2})[/mm]
> aber was mach ich jetzt? Ich komm einfach nicht drauf was
> nun der Homogenitätsgrad ist, kann mir da jemand
> weiterhelfen?
>
> Vielen Dank!
>
> Kiara
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:21 Di 29.06.2010 | | Autor: | KiaraMeyer |
Hi, hab die Aufgabe unter Mittelstufe 8-10 reingestellt, da ich dachte, dass sie ganz einfach zu lösen ist nur ich gerade nicht drauf kommen, aber war doch schwieriger als ich gedacht habe, super von euch, dass ihr diese schwere aufgabe lösen konntet, danke habt mir echt geholfen!
Grüße
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:52 Di 29.06.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo Kiara,
> Hi, hab die Aufgabe unter Mittelstufe 8-10 reingestellt, da
> ich dachte, dass sie ganz einfach zu lösen ist nur ich
> gerade nicht drauf kommen, aber war doch schwieriger als
> ich gedacht habe, super von euch, dass ihr diese schwere
> aufgabe lösen konntet, danke habt mir echt geholfen!
bitte. Fred's Lösung wirst Du aber meines Erachtens nicht direkt verstanden haben können. Andernfalls wirst Du mir ja erklären können, was er da getan hat?
P.S.:
Ich kannte den Satz, den Fred angewendet hat, nicht und habe ein wenig nachgeforscht und kam' relativ schnell drauf, wie der denn heißt. Auf Nachfrage hat mir Fred auch kurz gesagt, wie man das beweisen kann (es ist sehr einfach, wenn man sich ein wenig mit mehrdimensionaler Analysis auskennt, aber trotzdem muß man erst mal auf die Idee kommen, das auch so zu tun).
Es ist sicher sinnvoll, dass Du nochmal nachfragst, wenn Dir "etwas vom Himmel zu fallen scheint". Denn der Sinn des Forums ist es ja, dass Du etwas lernst, und dazu gehört auch mal mindestens, dass Du die Lösungen nachvollziehen kannst. Freds Lösung ist sehr elegant, aber ich bezweifle, dass "jede(r)" sie ohne weiteres nachvollziehen kann, da man halt entweder den Satz, denn er verwendet, kennen muss, oder aber die Überlegungen wie im Beweis des Satzes, den er verwendet, nochmal machen muss.
Das ist keine Unterstellung, dass Du nicht schlau genug seist oder zu wenig wissen würdest, bitte versteh' das nicht falsch. Ich will Dich nur dazu ermutigen, nachzufragen, wenn Dir etwas unklar ist. Aber vll. überzeugst Du mich auch einfach mit dem Gegenteil meiner Annahme und Dir ist Freds Lösung doch vollkommen klar? Dann sag' mir einfach kurz, was er denn für einen Satz verwendet hat...
Beste Grüße,
Marcel
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