Homomorphiesatz (Determinante) < Determinanten < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo, ich bin gerade dabei mich für meine mündliche LinA Prüfung vorzubereiten.
Nun habe ich leider ein Verständnisproblem. Ich hoffe ihr könnt mir da nen bisl auf die Sprünge helfen.
Es geht um den Homomorphiesatz. Im speziellen:
Seien [mm]O_{n}:=\{ A \in GL_{n}(K) | A^{-1}=A^t \}[/mm] (also die Menge aller orth. Abbildungen)
und [mm]SO_{n}:=\{ A \in GL_{n}(K)| A^{-1}=A^t \wedge det(A)=1 \}[/mm] (die Menge aller orth Abbilungen mit det=1).
Nun steht bei mir im Skript nach dem Homomorphiesatz gilt:
[mm]O_{n}/SO_{n} \cong \{-1,1\}[/mm]
Meine Fragen:
1. Wie kann ich mir die Faktorgruppe [mm]O_{n}/SO_{n} [/mm] vorstellen bzw. gibt es eine Darstellungsform oder ist die kanonische Abbildung [mm]O_{n}\rightarrow O_{n}/SO_{n}[/mm] ein algebraisches Konstrukt.
2. Ich dachte immer, dass isomorph äquivalent ist mit der "Gleichmächtigkeit" der Mengen(Quell/Zielraum).
Nun will(also bzgl der Annahme der Gleichmächtigkeit) bei mir nicht in den Kopf warum dann die Menge [mm]O_{n}/SO_{n}[/mm] nur zwei Elemente besitzt. Oder ist das mit der Gleichmächtigkeit einfach falsch.(gilt evtl nur eine Richtung?)
3. Zudem stelle ich mir die Frage des expliziten Homomorphismus in diesen Beispiel. Meine Vorstellung: Der [mm]Hom[/mm] ist die Determinante die jeder quadratischen Matrix ein Körperelement zurordnet. Dann ist mir auch klar, dass [mm]SO_{n}[/mm] der Kern von [mm]det[/mm] ist, da ja [mm]det(A)=1 \forall A \in SO_{n}:=\{ A \in GL_{n}(K)| A^{-1}=A^t det(A)=1 \}[/mm] ist.
Aber wie darf ich mir die Abbildung von [mm]O_{n}/SO_{n} \rightarrow \{-1,1\}[/mm] vorstellen.Also die explizite Abbildungsvorschrift.
Wäre nett wenn mir jmd das evtl ein bisschen erläutern könnte bzw. mich korrigieren kann.
Vielen Dank im Voraus.
Charlie
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:51 Mo 24.09.2012 | | Autor: | fred97 |
Die Elemente von $ [mm] O_{n}/SO_{n} [/mm] $ bezeichne ich mit [A] ( A in [mm] O_n)
[/mm]
1. Für jedes A [mm] \in O_n [/mm] ist det(A)= [mm] \pm [/mm] 1.
2. Wieviele Elemente hat $ [mm] O_{n}/SO_{n} [/mm] $ ? Für A,B in [mm] O_n [/mm] haben wir:
[A]=[B] [mm] \gdw A*B^{-1} \in SO_n \gdw det(A*B^{-1})=1 \gdw det(A)*det(B^{-1})=1 \gdw [/mm] det(A)=det(B).
Wegen 1. hat $ [mm] O_{n}/SO_{n} [/mm] $ genau 2 Elemente.
FRED
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:13 Mo 24.09.2012 | | Autor: | Teufel |
Hi!
2.)
Die Mengen sind auch gleichmächtig, ja, weil ein Isomorphismus bijektiv ist. Aber ein Isomorphismus ist ja zudem noch ein Homomorphismus, das heißt, dass die Operationen in den Gruppen mehr oder weniger gleich funktionieren. Sei [mm] \varphi [/mm] dieser Isomorphismus. Wenn du z.B. weißt, dass [mm] \varphi([A])=-1 [/mm] und [mm] \varphi([B])=1 ([A],[B]\in O_n/SO_n), [/mm] dann weißt du, dass [mm] \varphi([A])\varphi([B])=-1 [/mm] ist und daher ist [A][B]=[A], ohne dass du [A][B] hättest ausrechnen müssen. Das heißt, dass sich [mm] O_n/SO_n [/mm] im Prinzip genauso wie die ganz einfache Untergruppe [mm] (\{-1,1\}, \cdot) [/mm] von [mm] (\mathbb{K}, \cdot) [/mm] verhält. Nur, dass die Elemente in [mm] O_n/SO_n [/mm] etwas komplizierter aussehen, aber die Gruppenstruktur ist genau sie selbe.
3.)
Genau, der Homomorphismus hier ist die Determinante. Der Isomorphismus [mm] \varphi [/mm] von [mm] O_n/SO_n [/mm] nach [mm] \mathbb{K} [/mm] müsste dann [mm] $\varphi \circ \varepsilon=\text{det}$ [/mm] erfüllen, wobei [mm] \varepsilon [/mm] nur eine Matrix A auf [A] abbildet.
Also gilt [mm] \varphi(\varepsilon(A))=det(A) \gdw \varphi([A])=det(A) [/mm] für alle A. [mm] \varphi [/mm] ist also im Prinzip auch nur die Determinante einer beliebigen Matrix aus der Äquivalenzklasse von A, d.h. einer beliebigen Matrix aus [A], wobei man natürlich einfach immer A nehmen könnte.
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