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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:02 So 05.12.2004 | | Autor: | IKE |
Hallo, ich habe ein Problem mit der folgenden Aufgabe. Leider weiß ich nicht wie ich die ganze Sache angehen soll, noch wie ich es beweisen soll.
Sei V:= {f [mm] \in \IQ^{\IN}: [/mm] f ist eine Cauchyfolge}. Warum ist V ein Vektorraum über [mm] \IQ? [/mm] Warum ist U:= {f [mm] \in [/mm] V : f ist eine Nullfolge} ein Untervektorraum von V ? W sei der Vektorraum [mm] \IR [/mm] über [mm] \IQ. [/mm] Man zeige mit Hilfe des Homomorphiezerlegungssatzes, dass V/U isomorph zu W ist.
Ich danke schon jetzt allen die mir hoffentlich helfen werden.
mfg IKE
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Um zu zeigen, daß $V$ ein [mm] \IQ-Vektorraum [/mm] ist, brauchst du nur zu zeigen, daß mit $f,g [mm] \in [/mm] V$ und [mm] $\alpha \in \IQ$ [/mm] auch $f+g [mm] \in [/mm] V$ und [mm] $\alpha [/mm] f [mm] \in [/mm] V$ gilt. Die Addition zweier Cauchy-Folgen ist eine Cauchyfolge (dabei wird komponentenweise addiert: $(f+g)(i)=f(i)+g(i)$). Ebenso bleibt [mm] $\alpha [/mm] f$ definiert durch [mm] $(\alpha [/mm] f )(i) = [mm] \alpha [/mm] f(i)$ eine Cauchy-Folge, wie man leicht einfach nachrechnen kann.
Analog dazu rechnet man bei $U$ nach, daß $U$ ein [mm] \IQ-Vektorraum [/mm] ist. (Man ersetzt nur die Bedingung Cauchy-Folge durch Nullfolge)
Per Definition des Körpers [mm] \IR [/mm] liegt [mm] \IQ [/mm] dicht in [mm] \IR. [/mm] Das bedeutet, daß es zu jedem $r [mm] \in \IR$ [/mm] eine Cauchy-Folge $f [mm] \in [/mm] V$ gibt, die gegen $r$ konvergiert.
Jede Cauchy-Folge $f [mm] \in [/mm] V$ konvergiert gegen genau ein [mm] $r_f \in \IR$. [/mm] Damit ist die Abbildung
[mm] $$\lambda [/mm] : V [mm] \to \IR; [/mm] f [mm] \mapsto r_f$$
[/mm]
wohldefiniert und surjektiv. Man rechnet leicht nach, daß [mm] \lambda [/mm] ein [mm] \IQ-Vektorraumhomomorphismus [/mm] ist.
Ebenso trivial ist, daß für den Kern $Ker( [mm] \lambda [/mm] ) = U$ gilt, denn jede Cauchy-Folge, die gegen 0 konvergiert ist eine Nullfolge.
Damit ist die Behauptung also schon bewiesen, denn mit dem Homomorphiezerlegungssatz folgt dann:
[mm] $$V/ker(\lambda)=V/U \cong Im(\lambda)=\IR$$
[/mm]
q.e.d.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:26 Di 07.12.2004 | | Autor: | IKE |
Hallo,
vielen Dank für die nette Hilfe.
mfg IKE
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