Homomorphismen ? < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
Hallo Leute!
Mich quält gerade die genaue Definition von Homomorphismen in der linearen Algebra. Hat da jemand mal ein konkretes Beispiel, wie man sich die Hom(V --> W) genau erklären kann?
Das wäre echt super!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
> Hallo Leute!
>
> Mich quält gerade die genaue Definition von Homomorphismen
> in der linearen Algebra. Hat da jemand mal ein konkretes
> Beispiel, wie man sich die Hom(V --> W) genau erklären
> kann?
>
> Das wäre echt super!
>
Hallo!
Ja, ich habe auch lange gebraucht, bis ich das verstanden hatte und ich hoffe, dass ich jetzt nicht irgendwas durcheinander bringe. So weit ich mich recht erinnere, ist nämlich ein Homomorphismus nichts anderes als eine lineare Abbildung! 
(Vergleich doch mal die Definitionen, ich bin mir wirklich gerade nicht sicher...)
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:13 Do 02.12.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo wolverine2040!
> Mich quält gerade die genaue Definition von Homomorphismen
> in der linearen Algebra. Hat da jemand mal ein konkretes
> Beispiel, wie man sich die Hom(V --> W) genau erklären
> kann?
>
> Das wäre echt super!
Homomorph heißt einfach "strukturerhaltend" bzw. wörtlich übersetzt wahrscheinlich "von gleicher Gestalt".
Ein Homomorphismus ist zunächst einfach eine Abbildung der Elemente einer Menge (mit Verknüpfungen) auf eine andere Menge (mit Verknüpfungen) ab.
Nehmen wir mal als Beispiel eine Abbildung [mm] $\phi$ [/mm] von zwei Gruppen [mm] $(G,\*)$ [/mm] und [mm] $(H,\star)$ [/mm] (Gruppen sind ja Mengen mit einer Verknüpfung).
Gilt dort nun [mm] $\phi(a\*b)=\phi(a)\star\phi(b)$ [/mm] für alle [mm] $a,b\in [/mm] G$, so ist [mm] $\phi$ [/mm] ein (Gruppen-) Homomorphismus. Es werden also nicht nur die Elemente abgebildet, sondern auch die Struktur (genauer werden natürlich nur die Elemente gerade so abgebildet, dass die Struktur erhalten bleibt).
Ob man a und b vor oder nach der Anwendung von [mm] $\phi$ [/mm] verknüpft, spielt keine Rolle.
Dieses Prinzip läßt sich auch auf Mengen mit mehreren Verknüpfungen anwenden, zum Beispiel auf Körper, Ringe etc. und auch Vektorräume.
Wie Bastiane schon bemerkte, sind die Vektorraumhomomorphismen gerade die linearen Abbildungen.
Viele Grüße,
Marc
|
|
|
| |
|
Hallo Leute, ich muß ganz ehrlich sagen, so ganz habe ich's noch nicht verstanden!
Was mir enorm helfen würde wäre ein Beispiel im Bereich der Vektorräume. Ich denke, dann könnte ich mir das richtige darunter vorstellen.
Homomorphismen sind doch schon sehr abstrakt
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:43 Fr 03.12.2004 | | Autor: | Julius |
Hallo Wolverine!
Ich empfehle dir ganz dringend ![[]](/images/popup.gif) diesen wunderschönen Artikel.
Eine lineare Abbildung zwischen endlichdimensionalen Vektorräumen ist nichts weiter als die Multiplikation einer Matrix mit einem Vektor, in geeigneten Koordinaten.
Liebe Grüße
Julius
|
|
|
|
