Homomorphismen von Ringen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:02 So 05.02.2006 | | Autor: | ElemEnt |
| Aufgabe | | Sei V ein K - Vektorraum. Sei E der Endomorphismenring der Grppe (V,+). Für jedes c [mm] \in [/mm] K ist dann die Abbildung [mm] f_c [/mm] : v [mm] \mapsto [/mm] cv ein Element von E. Ferner ist die Abbildung [mm] \phi [/mm] : K [mm] \to [/mm] E , c [mm] \mapsto f_c [/mm] ein Monomorphismus von Ringen. |
Hallo,
ich schon wieder!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Interetseiten gestellt.
Ich glaube den ersten Teil konnte ich zeigen:
[mm] f_c(v+w) [/mm] = c(v+w) = cv + cw = [mm] f_c(v) [/mm] + [mm] f_c(w)
[/mm]
Also ist [mm] f_c [/mm] ein Endomorphismus über der Gruppe (V,+)
Jetzt kommt mein Problem...
Als zweites soll ja [mm] \phi [/mm] ein Monomorphismus von Ringen sein.
Klar, dass der Körper K und der Endomorphismsmenring beides Ringe sind!
Aber ist [mm] \phi [/mm] ein Homomorphismus?.... Ich sage nein, denn:
1) [mm] \phi [/mm] (c+d) = f_ c+d = [mm] f_c [/mm] + [mm] f_d [/mm] = [mm] \phi [/mm] (c) + [mm] \phi [/mm] (d)
soweit so gut,aber
2) [mm] \phi [/mm] (cd) = f_cd [mm] \not= f_c f_d [/mm] = [mm] \phi [/mm] (c) [mm] \phi [/mm] (d)
Ich weiß nicht ob ich hier richtig liege, denn wir sollen ja beweisen, dass die Aussage stimmt!
Oder ich habe das hier noch nicht richtig durschaut, dann bräuchte ich dabei Hilfe.
ElemEnt
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:14 So 05.02.2006 | | Autor: | andreas |
hi
> Sei V ein K - Vektorraum. Sei E der Endomorphismenring der
> Grppe (V,+). Für jedes c [mm]\in[/mm] K ist dann die Abbildung [mm]f_c[/mm] :
> v [mm]\mapsto[/mm] cv ein Element von E. Ferner ist die Abbildung
> [mm]\phi[/mm] : K [mm]\to[/mm] E , c [mm]\mapsto f_c[/mm] ein Monomorphismus von
> Ringen.
> Hallo,
> ich schon wieder!
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Interetseiten gestellt.
>
> Ich glaube den ersten Teil konnte ich zeigen:
> [mm]f_c(v+w)[/mm] = c(v+w) = cv + cw = [mm]f_c(v)[/mm] + [mm]f_c(w)[/mm]
>
> Also ist [mm]f_c[/mm] ein Endomorphismus über der Gruppe (V,+)
>
> Jetzt kommt mein Problem...
> Als zweites soll ja [mm]\phi[/mm] ein Monomorphismus von Ringen
> sein.
>
> Klar, dass der Körper K und der Endomorphismsmenring beides
> Ringe sind!
> Aber ist [mm]\phi[/mm] ein Homomorphismus?.... Ich sage nein,
> denn:
>
> 1) [mm]\phi[/mm] (c+d) = f_ c+d = [mm]f_c[/mm] + [mm]f_d[/mm] = [mm]\phi[/mm] (c) + [mm]\phi[/mm] (d)
also bis hier sieht alles gut aus.
> soweit so gut,aber
>
> 2) [mm]\phi[/mm] (cd) = f_cd [mm]\not= f_c f_d[/mm] = [mm]\phi[/mm] (c) [mm]\phi[/mm] (d)
>
> Ich weiß nicht ob ich hier richtig liege, denn wir sollen
> ja beweisen, dass die Aussage stimmt!
> Oder ich habe das hier noch nicht richtig durschaut, dann
> bräuchte ich dabei Hilfe.
du musst bedenken, dass die multiplikation in $E$ die hintereinanderausführung von abbildungen ist, es ist also [mm] $(\phi(c)\phi(d))(v) [/mm] = [mm] (\phi(c) \circ \phi(d))(v) [/mm] = [mm] (f_c(f_d(v)) [/mm] = c (d v) = (cd)v = [mm] f_{cd}(v) [/mm] = [mm] \phi(cd)(v)$ [/mm] für alle $v [mm] \in [/mm] V$ also [mm] $\phi(c) \phi(d) [/mm] = [mm] \phi(cd)$.
[/mm]
ich hoffe das klärt das problem.
grüße
andreas
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:22 So 05.02.2006 | | Autor: | ElemEnt |
Hi Andreas!
Das sit ein guter Tip *fg*
Hätte ich auch selber drauf kommen können, hatte erst vor kurzem eine Aufabe, in der ich das beweisen musste!
Danke für deinen Tip!!!
Ich glaube so bekomme ich das hin
Noch was wie bekommste das denn hin mit dem Tiefschreiben, also bei mir nimmt eder immer nur eine Stelle an, die der tief schreibt??
Daniel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:05 Di 07.02.2006 | | Autor: | andreas |
hi
> Noch was wie bekommste das denn hin mit dem Tiefschreiben,
> also bei mir nimmt eder immer nur eine Stelle an, die der
> tief schreibt??
einfach das argument das tief gestellt werden soll in geschweifte klammern einschliesen. klicke mal auf solch eine solche formel, dann wird dir der quelltext angezeigt.
grüße
andreas
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