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Hallo!
Ich habe leider keine genau Angabe vor mir liegen, aber mich beschäftigt soeben folgendes Beispiel:
gegeben: Zwei verschiedene isomorphe Untergruppen U1 und U2 der symmetrischen Gruppe S3
gesucht: Angabe eines Isomorphismus zwischen U1 und U2
Wie könnte ich da vorgehen? Ich weiß zwar prinzipiell wie eine Homomorphismus bzw. ein Isomorphismus definiert ist, aber ein Beispiel dafür habe ich noch nie gesehen?
Würde mich über Hilfe freuen!
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> Hallo!
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> Ich habe leider keine genau Angabe vor mir liegen, aber
> mich beschäftigt soeben folgendes Beispiel:
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> gegeben: Zwei verschiedene isomorphe Untergruppen U1 und U2
> der symmetrischen Gruppe S3
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> gesucht: Angabe eines Isomorphismus zwischen U1 und U2
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> Wie könnte ich da vorgehen? Ich weiß zwar prinzipiell wie
> eine Homomorphismus bzw. ein Isomorphismus definiert ist,
> aber ein Beispiel dafür habe ich noch nie gesehen?
>
> Würde mich über Hilfe freuen!
Hallo,
die Gruppe [mm] S_3 [/mm] ist ja sehr übersichtlich, und ihre Untergruppen sind noch übersichtlicher.
Daher kannst Du den Isomorphismus sogar so angeben, daß Du einfach sagst, welches Element auf welches abgebilde wird.
Zum Finden des Isomorphismus ist es nützlich, wenn man weiß, daß Elemente auf Elemente derselben Ordnung abgebildet werden, erzeugende Elemente auf erzeugende Elemente, neutrales auf neutrales.
Die Schilderung Deiner Aufgabe ist nun allerdings etwas geheimnisvoll.
Hast Du konkrete Untergruppen gegeben? Wenn ja: warum verrätst Du nicht, welche?
Ein Staatsgeheimnis können die Untergruppen von [mm] S_3 [/mm] ja eigentlich nicht sein...
Gruß v. Angela
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Danke für die Antwort. Nein also eine konkrete Untergruppe ist nicht gegeben. Ich sollte jedoch eine angeben, damit das alles mit der Angabe übereinstimmt, so qasi zum verständnis...
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> Danke für die Antwort. Nein also eine konkrete Untergruppe
> ist nicht gegeben. Ich sollte jedoch eine angeben, damit
> das alles mit der Angabe übereinstimmt, so qasi zum
> verständnis...
Hallo,
na, dann schreib doch erstmal alle Untergruppen hin, und schau Dich dann um, welche für Isomorphie überhaupt infrage kommt.
Im Moment fächeln wir hier im luftleeren Raum.
Gruß v. Angela
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OK,
ich nehme, z.B. die zwei Gruppen U1 = [mm] (\IR^+,*) [/mm] und U2 = [mm] (\IR,+). [/mm] Als Abbildung nehme ich den Logarithmus.
OK, mit dem Logarithmus habe ich jetzt einen Isomorphismus zwischen den Gruppen U1 und U2, wegen ln(a*b) = ln(a) + ln(b).
Jetzt müsste ich jedoch noch eine symmetrische Gruppe S3 finden, die eben die Gruppen U1 und U2 als Untergruppen enthält. Ich bin mir hier jetzt eben nicht so ganz sicher ob das überhaupt mit dem Logarithmus dann noch funktioniert.
Wie schreibt man z.B. "als Abbildung nehme ich den Logarithmus" eigentlich formal an? Ich habe ja die Abbildung [mm] \varphi [/mm] : G -> H. Wenn [mm] \varphi [/mm] (a*b) = [mm] \varphi [/mm] (a) + [mm] \varphi [/mm] (b) gilt, dann habe ich einen Homomorphismus. Nur wo schreibt man da dazu, dass es sich bei der Abbildung [mm] \varphi [/mm] um den log handelt?
danke!
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> OK,
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> ich nehme, z.B. die zwei Gruppen U1 = [mm](\IR^+,*)[/mm] und U2 =
> [mm](\IR,+).[/mm] Als Abbildung nehme ich den Logarithmus.
Moment! Jetzt wird mir schwindelig:
ging es nicht um Untergruppen von [mm] S_3?
[/mm]
>
> OK, mit dem Logarithmus habe ich jetzt einen Isomorphismus
> zwischen den Gruppen U1 und U2, wegen ln(a*b) = ln(a) +
> ln(b).
>
> Jetzt müsste ich jedoch noch eine symmetrische Gruppe S3
> finden, die eben die Gruppen U1 und U2 als Untergruppen
> enthält.
Hä?
Das wird schwerlich gelingen, da Deine Gruppen [mm] U_1 [/mm] und [mm] U_2 [/mm] doch mit völlig verschiedenen Verknüpfungen sind...
Außerdem ist ihre Mächtigkeit verflixt groß, gemessen an der von [mm] S_3.
[/mm]
Weißt Du überhaupt, was [mm] S_3 [/mm] ist?
Vielleicht fehlt mir ein wenig der Überblick, ich hab' es bisher so verstanden, als ginge es um die Isomorphie gewisser Untergruppen von [mm] S_3.
[/mm]
Gruß v. Angela
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Ja S3 soll eine symmetrische Gruppe sein, das hat irgendetwas mit Permutationen zu tun. Ich hab das aber noch nicht so ganz verstanden.
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> Ja S3 soll eine symmetrische Gruppe sein, das hat
> irgendetwas mit Permutationen zu tun. Ich hab das aber noch
> nicht so ganz verstanden.
Hallo,
ja, dann verstehe ich überhaupt nicht, wieso Du diese Aufgabe postest.
Was soll das Gerede von Isomorphismus, wenn Du noch nichtmal weißt, was [mm] S_3 [/mm] ist?
Na gut, jetzt wissen wir, wo es hängt.
"Irgendwas mit Permutation" ist etwas allerdings dürftig als Grundlage.
Ich schlage vor, daß Du erstmal herausfindest, was es mit [mm] S_3 [/mm] auf sich hat - das kann man ja nachlesen.
Danach können wir uns hier gerne weiter unterhalten - aber eine Basis fürs Gespräch sollte gelegt sein.
Falls Du Lehramtstudent bist (und eigentlich auch sonst), ist es sehr lehr- und hilfreich, die Verbindung zwischen [mm] S_3 [/mm] und Dreiecken zu knüpfen.
Gruß v. Angela
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