Homomorphismus: Produkt < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Gegeben sind drei Algebren A, B, C und zwei Homomorphismen $h:A [mm] \to [/mm] B$ und $g:A [mm] \to [/mm] C.$ Die Produkt-Algebra ist wie folgt defniert:
Zwei algebraische Strukturen mit gleicher Signatur [mm] $A=\langle S,f_1,...,f_n \rangle$ [/mm] und [mm] $B=\langle T,g_1,...,g_n \rangle$ [/mm] definieren das Produkt $A [mm] \times [/mm] B := [mm] \langle [/mm] S [mm] \times [/mm] B, [mm] k_1, [/mm] ..., [mm] k_n \rangle$ [/mm] mit punktweise konstruierten Operationen: [mm] $k_i((x_1, y_1), [/mm] ..., [mm] (x_{m_i}, y_{m_i})) [/mm] := [mm] (f_i(x_1, [/mm] ..., [mm] x_{m_i}), g_i(y_1, [/mm] ..., [mm] y_{m_i})).$
[/mm]
Zeigen Sie, dass $f:A [mm] \to [/mm] (B [mm] \times [/mm] C),$ definiert durch $f(x) := (h(x), [mm] g(x)),\!\$ [/mm] ein Homomorphismus ist. |
Hallo,
ich habe bei dieser Aufgabe leider einige Probleme...
In der Definition der Produkt-Algebra heißt es oben "...definieren das Produkt $ A [mm] \times [/mm] B := [mm] \langle [/mm] S [mm] \times [/mm] B, [mm] k_1, [/mm] ..., [mm] k_n \rangle [/mm] $..."; müsste das in der Klammer nicht $S [mm] \times [/mm] T$ statt $S [mm] \times [/mm] B$ heißen?
Davon mal abgesehen versuche ich schon die ganze Zeit die Definition des Homomorphismus auf diese Aufgabe anzuwenden, aber ich komme einfach auf keinen grünen Zweig (das Ganze ist wirklich zu abstrakt für mich). Es wäre sehr nett, wenn jemand bitte den Anfang aufschreiben könnte.
Vielen Dank!
Gruß,
el_grecco
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:56 Mo 11.06.2012 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Gegeben sind drei Algebren A, B, C und zwei Homomorphismen
> [mm]h:A \to B[/mm] und [mm]g:A \to C.[/mm] Die Produkt-Algebra ist wie folgt
> defniert:
>
> Zwei algebraische Strukturen mit gleicher Signatur
> [mm]A=\langle S,f_1,...,f_n \rangle[/mm] und [mm]B=\langle T,g_1,...,g_n \rangle[/mm]
> definieren das Produkt [mm]A \times B := \langle S \times B, k_1, ..., k_n \rangle[/mm]
> mit punktweise konstruierten Operationen: [mm]k_i((x_1, y_1), ..., (x_{m_i}, y_{m_i})) := (f_i(x_1, ..., x_{m_i}), g_i(y_1, ..., y_{m_i})).[/mm]
>
> Zeigen Sie, dass [mm]f:A \to (B \times C),[/mm] definiert durch [mm]f(x) := (h(x), g(x)),\!\[/mm]
> ein Homomorphismus ist.
> Hallo,
>
> ich habe bei dieser Aufgabe leider einige Probleme...
>
> In der Definition der Produkt-Algebra heißt es oben
> "...definieren das Produkt [mm]A \times B := \langle S \times B, k_1, ..., k_n \rangle [/mm]...";
> müsste das in der Klammer nicht [mm]S \times T[/mm] statt [mm]S \times B[/mm]
> heißen?
Ja, muss es. Wenn du das so in deinen Mitschriften stehen hast, hast du es entweder falsch abgeschrieben, oder es stand falsch an der Tafel :)
> Davon mal abgesehen versuche ich schon die ganze Zeit die
> Definition des Homomorphismus auf diese Aufgabe anzuwenden,
> aber ich komme einfach auf keinen grünen Zweig (das Ganze
> ist wirklich zu abstrakt für mich). Es wäre sehr nett,
> wenn jemand bitte den Anfang aufschreiben könnte.
"Homomorphismus" bedeutet doch, dass die Funktion mit allen Operationen kompatibel ist.
Seien $S$, $T$ und $U$ die zugrundeliegenden Mengen von $A$, $B$ und $C$. Nimm dir eine $m$-stellige Operation $a : [mm] S^m \to [/mm] S$ auf $A$ sowie die "zugehoerigen" Operationen $b : [mm] T^m \to [/mm] T$ auf $B$ und $c : [mm] U^m \to [/mm] M$ auf $C$.
Sei $d : (S [mm] \times T)^m \to [/mm] S [mm] \times [/mm] T$ die entsprechende Operation auf dem Produkt $B [mm] \times [/mm] C$. Diese ist wie oben durch [mm] $d((y_1, z_1), \dots, (y_m, z_m)) [/mm] = [mm] (b(y_1, \dots, y_m), c(z_1, \dots, z_m))$ [/mm] definiert.
Damit $f : A [mm] \to [/mm] (B [mm] \times [/mm] C)$ ein Homomorphismus ist, muss ja fuer alle [mm] $x_1, \dots, x_m \in [/mm] S$ gelten [mm] $f(a(x_1, \dots, x_m)) [/mm] = [mm] d(f(x_1), \dots, f(x_m))$.
[/mm]
Jetzt versuch erstmal das nachzuvollziehen was ich geschrieben hab. Dann (wenn du es verstanden hast) setze die Definitionen in die Homomorphismusgleichung ein und zeigst, dass beide Seiten gleich sind. Dazu darfst (musst!) du benutzen, dass $g$ und $h$ Homomorphismen sind, das also etwa fuer [mm] $y_1, \dots, y_m \in [/mm] S$ gilt [mm] $h(a(y_1, \dots, y_m)) [/mm] = [mm] b(h(y_1), \dots, h(y_m))$.
[/mm]
Wenn du das ganze mal in eine etwas einfachere Sprache uebersetzen willst, nimm $m = 2$, $a(x, y) = x + y$, $b(x, y) = x [mm] \oplus_1 [/mm] y$, $c(x, y) = x [mm] \oplus_2 [/mm] y$. Schreibe alles mit diesen "expliziten" Operationen aus und es sollte dir bekannt vorkommen...
LG Felix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:11 Mo 11.06.2012 | | Autor: | el_grecco |
Moin' Felix,
Danke für die Hilfe, jetzt ist es mir klarer geworden.
Der Fehler war leider so auf dem Blatt (neben einigen sprachlichen Fehlern) und ich habe dadurch einiges an Zeit verloren. Heute kommt die Musterlösung raus und wenn ich noch Fragen haben sollte, stelle ich sie hier. 
Gruß
el_grecco
|
|
|
|
