Homomorphismus, neutr. Element < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei [mm] \alpha [/mm] : G [mm] \to [/mm] H ein Gruppenhomomorphismus. Beweisen Sie:
a.) Ist [mm] e_G [/mm] das neutrale Element von G und [mm] e_H [/mm] das neutrale Element von H, so gilt: [mm] \alpha (e_G) [/mm] = [mm] e_H
[/mm]
b.) Für alle g Element G gilt [mm] \alpha (g^{-1}) [/mm] = [mm] (\alpha [/mm] (g) [mm] )^{-1} [/mm] |
Hallo,
ich wäre sehr froh, wenn jemand noch kurz über meine Antworten schauen könnte. Sie dürften soweit richtig sein, aber unter Umständen ist das formal nicht ganz so ansprechend.
a.)
Sei x [mm] \in [/mm] G
Da [mm] \alpha [/mm] : G [mm] \to [/mm] H Gruppenhomomorphismus gilt:
[mm] \alpha [/mm] (x) = [mm] \alpha [/mm] (x [mm] \circ e_G) [/mm] = [mm] \alpha [/mm] (x) [mm] \* \alpha (e_G)
[/mm]
[mm] e_H [/mm] = [mm] \alpha (x)^{-1} \* \alpha [/mm] (x) = [mm] \alpha (x)^{-1} [/mm] * ( [mm] \alpha [/mm] (x) [mm] \* \alpha (e_G) [/mm] ) =
(durch Assoziativität) = [mm] (\alpha (x)^{-1} \* \alpha [/mm] (x) ) [mm] \* \alpha (e_G) [/mm] = [mm] e_H [/mm] * [mm] \alpha (e_G) [/mm] = [mm] \alpha (e_G) \Box
[/mm]
b.) Sei g [mm] \in [/mm] G
[mm] \alpha (g^{-1}) [/mm] = [mm] \alpha (g^{-1} \circ e_G) [/mm] = [mm] \alpha (g^{-1}) \* \alpha (e_G) [/mm] = [mm] \alpha (g^{-1}) \* e_H [/mm] = [mm] \alpha (g^{-1}) [/mm] * ( [mm] \alpha (g)^{-1} \* \alpha [/mm] (g) )
= ( [mm] \alpha (g^{-1}) \* \alpha [/mm] (g) ) [mm] \* \alpha (g)^{-1} [/mm] =
= [mm] \alpha (g^{-1} \circ [/mm] g) [mm] \* \alpha (g)^{-1} [/mm] =
= [mm] \alpha (e_G) \* \alpha (g)^{-1} [/mm] =
= [mm] e_H \* \alpha (g)^{-1} [/mm] =
= [mm] \alpha (g)^{-1} \Box
[/mm]
Lieben Dank und beste Grüße,
Thomas
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:13 Do 05.11.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Sei [mm]\alpha[/mm] : G [mm]\to[/mm] H ein Gruppenhomomorphismus. Beweisen
> Sie:
>
> a.) Ist [mm]e_G[/mm] das neutrale Element von G und [mm]e_H[/mm] das neutrale
> Element von H, so gilt: [mm]\alpha (e_G)[/mm] = [mm]e_H[/mm]
> b.) Für alle g Element G gilt [mm]\alpha (g^{-1})[/mm] = [mm](\alpha[/mm]
> (g) [mm])^{-1}[/mm]
> Hallo,
>
> ich wäre sehr froh, wenn jemand noch kurz über meine
> Antworten schauen könnte. Sie dürften soweit richtig
> sein, aber unter Umständen ist das formal nicht ganz so
> ansprechend.
>
>
> a.)
> Sei x [mm]\in[/mm] G
> Da [mm]\alpha[/mm] : G [mm]\to[/mm] H Gruppenhomomorphismus gilt:
> [mm]\alpha[/mm] (x) = [mm]\alpha[/mm] (x [mm]\circ e_G)[/mm] = [mm]\alpha[/mm] (x) [mm]\* \alpha (e_G)[/mm]
>
> [mm]e_H[/mm] = [mm]\alpha (x)^{-1} \* \alpha[/mm] (x) = [mm]\alpha (x)^{-1}[/mm] * (
> [mm]\alpha[/mm] (x) [mm]\* \alpha (e_G)[/mm] ) =
> (durch Assoziativität) = [mm](\alpha (x)^{-1} \* \alpha[/mm] (x) )
> [mm]\* \alpha (e_G)[/mm] = [mm]e_H[/mm] * [mm]\alpha (e_G)[/mm] = [mm]\alpha (e_G) \Box[/mm]
Hallo, das kannst du so machen. Aber es geht auch noch einfacher: setze $x = [mm] e_G$ [/mm] in die obige Gleichung ein: dann steht da [mm] $\alpha(e_G) [/mm] = [mm] \alpha(e_G) \alpha(e_G)$. [/mm] Welche Elemente in $H$ erfuellen [mm] $x^2 [/mm] = x$?
> b.) Sei g [mm]\in[/mm] G
> [mm]\alpha (g^{-1})[/mm] = [mm]\alpha (g^{-1} \circ e_G)[/mm] = [mm]\alpha (g^{-1}) \* \alpha (e_G)[/mm]
> = [mm]\alpha (g^{-1}) \* e_H[/mm] = [mm]\alpha (g^{-1})[/mm] * ( [mm]\alpha (g)^{-1} \* \alpha[/mm]
> (g) )
Hier benutzt du entweder die Kommutativitaet von $H$ (die du nicht hast) oder dass die Behauptung schon gilt.
Wenn du [mm] $e_H [/mm] = [mm] \alpha(g) \alpha(g)^{-1}$ [/mm] schreibst geht es besser.
> = ( [mm]\alpha (g^{-1}) \* \alpha[/mm] (g) ) [mm]\* \alpha (g)^{-1}[/mm] =
> = [mm]\alpha (g^{-1} \circ[/mm] g) [mm]\* \alpha (g)^{-1}[/mm] =
> = [mm]\alpha (e_G) \* \alpha (g)^{-1}[/mm] =
> = [mm]e_H \* \alpha (g)^{-1}[/mm] =
> = [mm]\alpha (g)^{-1} \Box[/mm]
Ansonsten ist es ok.
Aber auch hier: zeige doch einfach [mm] $\alpha(g) \alpha(g^{-1}) [/mm] = [mm] e_H$: [/mm] daraus folgt [mm] $\alpha(g^{-1}) [/mm] = ( [mm] \alpha(g) )^{-1}$ [/mm] (Eindeutigkeit des Inversen in $H$).
LG Felix
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