Homomorphismus und Isomorphis < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
Hallo, ich hab ederzeit Algebra (Grundlagen) an der Uni (Informatik Studium) und momentan gehts um Morphismen.
Also, Morphismen generell sind mir klar - also Strukturgleichheit, zum Beispiel ist mir klar, das folgende Algebren strukturgleich sind:
[mm] <\IZ_{2}, [/mm] *_{2}> und <{T,F}, ^>
Ach ja: *_{2} bedeutet, man multipliziert erst und nimmt dann den Modulo 2 davon.
+++
So, nun zur eigentlichen Frage - dem Homo-und Isomorphismus, beginnen wir mit Homomorphismus:
Ich habs bisher so verstanden:
Man hat eine Algebra <F(x), +> wobei F(x) = x² und x [mm] \in \IN [/mm] , nun will man etwas dazu homomorphes bestimmen, welches folgende Bedingung erfüllen muss:
F(a + b) = F(a) + F(b)
in unserem Falle wären a = 2 und b = 4
somit würde sich folgendes ergeben (wobei F(x) = x² - s.o.):
F(4 + 16) = 20 = F(4) + F(16) = 20
Und das ist alles? Was sagt das denn aus :-( ? kann mir mal jemand bitte ein Beispiel geben, welches NICHT homomorph ist ?
+++
Nun zum Isomorphen:
Wir haben diesmal zwei Algebren und zwar:
A= [mm] <\IN [/mm] , +> und B = <{2a|a [mm] \in \IN}, [/mm] +>
die sollen nun Isomporph zueinander sein, weil es egal ist ob man:
2 + 3 * 2 = 10 schreibt oder 2*2 + 3*2 = 10
stimmt das ? Wenn ja, wo ist der Unterschied zum Homomoprhismus ?
Ein Gegenbeispiel (also ein Beispiel das NICHT Isomorph ist) wäre sehr hilfreich  .
So, ich würde mich freuen, wenn mir jemand sagen könnte, ob ich mit obigen Annahmen richtig oder falsch liege.
Ach ja: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
Hiho,
ich hoffe ich hab deine Frage richtig verstanden, daß es dir letztendlich nur darum geht, was Homomorphismen sind und was Isomorphisen
Du hast zwei Mengen V,W, auf denen jeweils eine Struktur definiert ist:
V: [mm] (V,\circ_v)
[/mm]
W: [mm] (W,\circ_w)
[/mm]
Eine Funktion [mm]f: V \to W[/mm] heisst Homomorphismus, wenn gilt:
[mm]f(x \circ_v y) = f(x) \circ_w f(y) \forall x,y \in V[/mm]
Wie du schon richtig erkannt hast, heisst das nichts anderes, als daß die Funktion Strukturtreu ist.
Als Beispiel:
[mm]V = (\IN, +)[/mm]
[mm]W = (2\IN, +)[/mm]
[mm]f(x) = 2x[/mm] (sofern Multiplikation definiert ist)
Es gilt: [mm]f(x+y) = 2(x+y) = 2x + 2y = f(x) + f(y)[/mm]
Also: Homomorphismus.
Gegenbeispiel: f(x) = 2
[mm]Es gilt: f(x + y) = 2 \not= 4 = 2 + 2 = f(x) + f(y)[/mm]
Isomorphismus: Ein Isomorphismus ist ein bijektiver Homomorphismus (d.h. f ist surjektiv und injektiv).
Bsp: f(x) = 2x.
Injektivität: [mm]f(0) = 0 \gdw 2x = 0 \gdw x = 0 \Rightarrow f injektiv[/mm] (1)
Surjektivität: z.z. [mm]\forall y \in 2\IN \exists x \in \IN: f(x) = y[/mm]
Sei [mm]y \in 2\IN[/mm], wählen [mm]x = \bruch{y}{2}[/mm].
[mm]x \in \IN[/mm] gilt, da [mm] y \in 2\IN[/mm].
Dann gilt: [mm]f(x) = 2\bruch{y}{2} = y[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] f surjektiv (2)
(1) [mm] \wedge [/mm] (2) [mm] \Rightarrow [/mm] f bijektiver Homomorphismus
[mm] \Rightarrow [/mm] f Isomorphismus.
Gegenbeispiel: f(x) = 0.
Ist Homomorphismus, aber weder injektiv noch surjektiv, somit kein Insomorphismus.
Gruß,
Gono.
|
|
|
| |
|
Hi, erstmal danke für die rasche Antwort ein paar Fragen hätt ich noch.
1. $ Es gilt: f(x + y) = 2 [mm] \not= [/mm] 4 = 2 + 2 = f(x) + f(y) $
Seh ich es richtig, dass da immer 4 rauskommt, egal was ich für x einsetze ?
Also nehmen wir für f(x) = 2 an:
x = 4 und y = 1 so ergäbe das :
f(4 + 1) = 2 [mm] \not= [/mm] 4 = 2 + 2 = f(x) + f(y)
+++
Den Beweis der Injektivität und Surjektivität verstehe ich noch, aber nicht das Gegenbeispiel - wenn man dort f(x) = 0 setzt,
dann würde das ja folgendes heißen:
Beweis Injektivität: x = 2
f(2) = 0 und 0 = 2
da Injektiv bedeutet, dass ich keinem Element der Urmenge ein gleiches Element der Bildmenge zuordnen darf, hätten wir hier schon ein Fehler, da ja alle Urbilder auf die Bildmenge 0 abgebildet werden, folglich ließe sich von 0 kein Rückschluss mehr auf die Urbildmenge schließen - richtig ?
Beweis Surjektivität:
Nehmen wir mal die beiden Algebren V und W, wie du sie bereits definiert hast. Nun .....
x = [mm] \bruch{y}{2} [/mm] und f(x) = [mm] 2*\bruch{y}{2} [/mm] = y
nun wenden wir das auf die Funktion f(x) = 0 an und zwar mit :
x = 2 und x = 5
dadurch hätten wir :
2 = 0 und 5 = 0, was ja beides falsch ist, folglich lässt sich wieder kein Rückschluss von der Bildmenge auf die Urbildmenge schließen.
+++
Gibt es denn keine Funktionen (also richtig mit x und wahlweise Polynomen) die NICHT homomorph oder isomorph sind ? Denn bei reinen Zahlen ist es mir jetzt klar - aber bei Funktionen nicht ganz.
Vielen dank im Voraus !
|
|
|
| |
|
> 1. [mm]Es gilt: f(x + y) = 2 \not= 4 = 2 + 2 = f(x) + f(y)[/mm]
>
> Seh ich es richtig, dass da immer 4 rauskommt, egal was ich
> für x einsetze ?
Hiho,
die Funktio f soll konstant sein, d.h. f(x) = f(y) = 2 und somit ist f(x) + f(y) = 4. Allerdings gilt f(x+y) = 2, da die Funktion ja für alle Werte konstant 2 ist (also eben auch für den Wert x+y).
Somit gilt eben:
f(x+y) = 2
f(x) + f(y) = 4
folglich ist f(x+y) [mm] \not= [/mm] f(x+y).
> x = 4 und y = 1 so ergäbe das :
>
> f(4 + 1) = 2 [mm]\not=[/mm] 4 = 2 + 2 = f(x) + f(y)
In einer Reihe geschrieben, joa.
> Den Beweis der Injektivität und Surjektivität verstehe ich
> noch, aber nicht das Gegenbeispiel - wenn man dort f(x) = 0 setzt, dann würde das ja folgendes heißen:
> Beweis Injektivität: x = 2
>
> f(2) = 0 und 0 = 2
>
> da Injektiv bedeutet, dass ich keinem Element der Urmenge
> ein gleiches Element der Bildmenge zuordnen darf, hätten
> wir hier schon ein Fehler, da ja alle Urbilder auf die
> Bildmenge 0 abgebildet werden, folglich ließe sich von 0
> kein Rückschluss mehr auf die Urbildmenge schließen -
> richtig ?
Dein "Beweis" oben ist falsch, dein Schluss richtig. *g*
Um den Beweis zu erklären (dachte, du kennst den):
Ein Funktion ist dann injektiv, wenn nur die 0 auf die 0 abgebildet wird (algebraisch gesprochen: f injektiv [mm] \gdw [/mm] Kern(f) = {0}).
D.h. wir überprüfen, was auf 0 abgebildet wird, also für welche x gilt:
f(x) = 0 .
Machen wir das mal am Beispiel f(x) = 0.
Naja, bei dem Beispiel gilt für alle x halt f(x) = 0 insofern werden mehr Elemente als nur die 0 auf 0 abgebildet, folglich ist die Funktion nicht injektiv.
> Beweis Surjektivität:
>
> Nehmen wir mal die beiden Algebren V und W, wie du sie
> bereits definiert hast. Nun .....
>
> x = [mm]\bruch{y}{2}[/mm] und f(x) = [mm]2*\bruch{y}{2}[/mm] = y
> nun wenden wir das auf die Funktion f(x) = 0 an und zwar
> mit :
> x = 2 und x = 5
Ne, das geht nicht  Die Wahl von x hängt von der Funktion f ab. Du kannst nicht einfach eine neue Funktion definieren und dein x gleichlassen. Das klappt im Allgemeinen nicht. Zu jeder Funktion müsstest du das neu zeigen. Um zu zeigen, daß die Funktion f(x) = 0 NICHT surjektiv ist, wählst du dir einfach ein y aus dem Bildraum, was die Funktion nicht erreicht. z.b. y = 4. Du findest kein x, so daß f(x) = 4 (da ja f(x) [mm] \equiv [/mm] 0).
> Gibt es denn keine Funktionen (also richtig mit x und
> wahlweise Polynomen) die NICHT homomorph oder isomorph sind
Doch: f(x) = [mm] x^2 [/mm] ist kein Homomorphismus.
Für einen Homomorphismus, der kein Isomorphismus ist, müsste ich noch überlegen
Gruß,
Gono
|
|
|
| |
|
Hiho,
so in etwa gehts, bis auf eine Kleinigkeit
> f((x+y)²) = f(x²)+f(y²) nehmen wir als x = 2 und als y =
> 3, so folgt:
Das schreibt man so nicht. Wenn du die Funktion einsetzt, lässt du das f weg, denn [mm]f((x+y)^2)[/mm] wäre [mm] ((x+y)^2)^2
[/mm]
Sobald du die Funktion einsetzt, lass also das f weg, die richtige Zeile müsste also heissen:
[mm] (x+y)^2 [/mm] = [mm] x^2 [/mm] + [mm] y^2
[/mm]
Verständlich?
Achja, mach dir nochmal klar, warum du einfach so x=2 und y=3 annehmen kannst.
Gruß,
Gono.
|
|
|
| |
|
Hiho,
also bei nem Beweis kannst du nicht einfach so zwei Zahlen nehmen und es dann als bewiesen sehen *g*
Du willst hier allerdings zeigen, daß etwas NICHT gilt und das wichtige hier ist ja, daß die Aussage FÜR ALLE x und y gelten muss. Wenn du nun also zwei findest, für die das nicht gilt, hast du ein Gegenbeispiel gefunden und es damit widerlegt.
Aber immer daran denken, daß für einen "ordentlichen" Beweis sowas nicht geht, wenn du allerdings zeigen willst, daß etwas nicht für alle x,y gilt, reicht es, ein Gegenbeispiel zu finden.
Gruß,
Gono.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:20 So 14.01.2007 | | Autor: | fraMewOoD |
@Gono:
Okay jetzt ist eigentlich alles klar und nochmal vielen Dank !
|
|
|
|
