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Hallo Leute,
ich habe heute paar Übungsaufgaben in Numerik bekommen.
Das Hornerschema sagt mir was aus der Schule. Aber wie soll man das für Ableitungen machen?!
Berechnen Sie mit Hilfe des Hornerschemas alle Ableitungen [mm] p^{(n)}, [/mm] n=0,...,5, des Polynoms [mm] p(x)=-2x^{5}+3x^{4}-x^{2}+4x-1
[/mm]
in den Punkten 1 und 2.
für 1 und 2 die ist ein griechisches Symbol gegeben, das ich nicht kenne..also 1=symbol und 2=symbol...
Kann mir jemand ein Beispiel für die 1 bzw. Ansatz zeigen?
Vielen Dank!!
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Hallo Leute,
die Frage hat sich erledigt...habe im Internet eine Seite gefunden die mir das deutlich gemacht hat und habs gelöst! *freu*
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Hallo,
die 2 Aufgabe ist ähnlich wie die erste. Nur muss man glaube ich anders anfangen, weil mir die Aufgabenstellung Schwierigkeiten bereitet.
Es seien a,b [mm] \el \IR. [/mm] Bestimmen Sie mit Hilfe des Hornerschemas sämtliche Ableitungen des Polynoms
[mm] p_[a,b](x)=a*x^{3}+a^{2}*b*x^{2}-a^{3}*b^{2}*x+a^{4}*b^{3}
[/mm]
an der Stelle "griechischer Buchstabe" = [mm] \bruch{ab}{2}
[/mm]
Kann mir jemand sagen was man hier prinzipiell machen muss?
Danke!!
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Hallo Prinzessin83,
> die 2 Aufgabe ist ähnlich wie die erste. Nur muss man
> glaube ich anders anfangen, weil mir die Aufgabenstellung
> Schwierigkeiten bereitet.
>
> Es seien a,b [mm]\el \IR.[/mm] Bestimmen Sie mit Hilfe des
> Hornerschemas sämtliche Ableitungen des Polynoms
>
> [mm]p_[a,b](x)=a*x^{3}+a^{2}*b*x^{2}-a^{3}*b^{2}*x+a^{4}*b^{3}[/mm]
> an der Stelle "griechischer Buchstabe" = [mm]\bruch{ab}{2}[/mm]
>
> Kann mir jemand sagen was man hier prinzipiell machen
> muss?
Im Prinzip läuft das genau gleich ab, nur daß Du für x jetzt einen konkreten Wert hast.
[mm]x\;=\;\bruch{ab}{2}[/mm]
Gruß
MathePower
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Bei der Aufgabe 1 geht es ja so für den Punkt [mm] \xi=1 [/mm] z.b. so:
Koeffizienten: -2...3...0...-1...4...-1
mal 1............0..-2...1....1...0....4
Summe...........-2...1...1....0...4....3
mal 1............0..-2..-1....0...0
Summe...........-2..-1...0....0...4
mal 1............0..-2..-3...-3
Summe...........-2..-3..-3...-3
mal 1............0..-2..-5
Summe...........-2..-5..-8
mal 1............0..-2
Summe...........-2..-7
mal 1............0
Summe...........-2
Die Ableitungen sind dann
f'(1)=1*4=4
f''(1)=2*(-3)=-6
f'''(1)=6*(-8)=-48
[mm] f^{(4)}(1)=24*(-7)=-168
[/mm]
[mm] f^{(5)}(1)=120*(-2)=-240
[/mm]
So habe ich das dann auch für den Punkt [mm] \xi=2 [/mm] gemacht...
Zur Aufgabe 2:
Warum nennt man die Stelle auch [mm] \xi [/mm] und nicht x ?
[mm] p_{a,b}(x)=ax^{3}+a^{2}*bx^{2}-a^{3}b^{2}x+a^{4}b^{3}
[/mm]
Wenn ich [mm] \bruch{ab}{2} [/mm] jetzt einsetze habe ich
[mm] p_{a,b}(\bruch{ab}{2})=\bruch{1}{8}*a^{4}*b^{3}+\bruch{1}{4}*a^{4}*b^{3}+\bruch{1}{2}*a^{4}*b^{3}+a^{4}*b^{3}
[/mm]
= [mm] p_{a,b}(\bruch{ab}{2})=\bruch{15}{8}*a^{4}*b^{3}
[/mm]
Wie soll ich das mit den "möglichen" Ableitungen machen?
Danke!!
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Hallo Prinzessin83,
> Bei der Aufgabe 1 geht es ja so für den Punkt [mm]\xi=1[/mm] z.b.
> so:
>
>
>
> Koeffizienten: -2...3...0...-1...4...-1
> mal 1............0..-2...1....1...0....4
> Summe...........-2...1...1....0...4....3
>
> mal 1............0..-2..-1....0...0
> Summe...........-2..-1...0....0...4
>
> mal 1............0..-2..-3...-3
> Summe...........-2..-3..-3...-3
>
> mal 1............0..-2..-5
> Summe...........-2..-5..-8
>
> mal 1............0..-2
> Summe...........-2..-7
>
> mal 1............0
> Summe...........-2
>
> Die Ableitungen sind dann
> f'(1)=1*4=4
> f''(1)=2*(-3)=-6
> f'''(1)=6*(-8)=-48
> [mm]f^{(4)}(1)=24*(-7)=-168[/mm]
> [mm]f^{(5)}(1)=120*(-2)=-240[/mm]
>
> So habe ich das dann auch für den Punkt [mm]\xi=2[/mm] gemacht...
>
> Zur Aufgabe 2:
>
> Warum nennt man die Stelle auch [mm]\xi[/mm] und nicht x ?
>
> [mm]p_{a,b}(x)=ax^{3}+a^{2}*bx^{2}-a^{3}b^{2}x+a^{4}b^{3}[/mm]
>
> Wenn ich [mm]\bruch{ab}{2}[/mm] jetzt einsetze habe ich
>
> [mm]p_{a,b}(\bruch{ab}{2})=\bruch{1}{8}*a^{4}*b^{3}+\bruch{1}{4}*a^{4}*b^{3}+\bruch{1}{2}*a^{4}*b^{3}+a^{4}*b^{3}[/mm]
> = [mm]p_{a,b}(\bruch{ab}{2})=\bruch{15}{8}*a^{4}*b^{3}[/mm]
>
> Wie soll ich das mit den "möglichen" Ableitungen machen?
ähnlich wie oben:
[mm]
\begin{array}{*{20}c}
{} \hfill & a \hfill & {a^2 b} \hfill & { - a^3 b^2 } \hfill & {a^4 b^3 } \hfill \\
{\frac{{ab}}
{2}} \hfill & 0 \hfill & {\frac{{a^2 b}}
{2}} \hfill & {\frac{{3a^3 b^2 }}
{4}} \hfill & {\frac{{ - a^4 b^3 }}
{8}} \hfill \\
{} \hfill & a \hfill & {\frac{{3a^2 b}}
{2}} \hfill & {\frac{{ - a^3 b^2 }}
{4}} \hfill & {\frac{{15a^4 b^3 }}
{8}} \hfill \\
\end{array} [/mm]
Und das führst Du jetzt weiter, so wie Du es in Aufgabe 1 gemacht hast.
Gruß
MathePower
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Hallo,
danke für den Tipp.
Aber mir ist grad nicht plausibel wie man auf deine Zeilen kommt.
Und die ganz links sind ja 4.
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Hallo Prinzessin83,
> Hallo,
>
> danke für den Tipp.
>
> Aber mir ist grad nicht plausibel wie man auf deine Zeilen
> kommt.
Die 3. Zeile wird immer mit [mm]\bruch{ab}{2}[/mm] multipliziert und in die nächste Spalte der 2.Zeile hineingeschreiben. Danach wird die 1. Zeile zur 2. Zeile derselben Spalte addiert und in die 3.Zeile derselben Spalte hineingeschrieben.
> Und die ganz links sind ja 4.
Also nochmal:
[mm]\begin{matrix}
& a & a^{2}b & a^{3}b^{2} & a^{4}b^{3} \\
\bruch{ab}{2} & 0 & \bruch{a^{2}b}{2} & \bruch{3a^{3}b^{2}}{4} & \bruch{-a^{4}b^{3}}{8} \\
& a & \bruch{3a^{2}b}{2} & \bruch{-\;a^{3}b^{2}}{4} & \bruch{15a^{4}b^{3}}{8}
\end{matrix}
[/mm]
Gruß
MathePower
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Danke dir!
Ich habs in der Zwischenzeit gemerkt, wie du das meintest.
Ich habe mich in meiner Rechnung anfangs dummerweise verrechnet.
denn der eine Koeffizient ist ja nicht [mm] +a^{3}*b^{2} [/mm] sondern [mm] -a^{3}*b^{2}.
[/mm]
Somit kommt raus [mm] \bruch{7a^{4}*b^{3}}{8}
[/mm]
Meine Ableitungen sind dann
[mm] f'(\bruch{ab}{2})=1*\bruch{3a^{3}b^{2}}{4}
[/mm]
[mm] f''(\bruch{ab}{2})=2*\bruch{5a^{2}b}{2}=5a^{2}b
[/mm]
[mm] f'''(\bruch{ab}{2})=6a
[/mm]
Danke dir nochmal!!!
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| Status: |
(Frage) für Interessierte  | | Datum: | 00:13 Do 27.10.2005 | | Autor: | Gironimo |
Wie kommst du zu diesem Schritt???
Die Ableitungen sind dann
> f'(1)=1*4=4
> f''(1)=2*(-3)=-6
> f'''(1)=6*(-8)=-48
> $ [mm] f^{(4)}(1)=24\cdot{}(-7)=-168 [/mm] $
> $ [mm] f^{(5)}(1)=120\cdot{}(-2)=-240 [/mm] $
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:27 Do 27.10.2005 | | Autor: | Gironimo |
hat sich erledigt, danke.....
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