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| Aufgabe | Transformiere die Matrix mittels Householdertransformation auf obere Dreieckgestalt.
[mm]
A=
\pmat{ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1}
[/mm] |
Hallo,
ich will oben genannte Matrix mittels Householder auf obere Dreiecksgestalt bringen.
Im ersten Schritt lautet mein Ergebnis (stimmt mit der Lösung überein):
[mm]
Q_{1}*A=
\pmat{ -1 & 0 & -1\\ 0 & 0 & 1\\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1}
[/mm]
Der zweite Schritt gelingt mit nicht und ich benötige eure Hilfe:
[mm]
\tilde Q_{2}= I - \bruch{2*v*v^T}{v^T*v}
[/mm]
mit
[mm]
v = \vektor{0\\-1\\0}+sign(0)*\wurzel{(-1)^2} \vektor{1\\0\\0}= \vektor{1\\-1\\0}
[/mm]
folgt
[mm]
\tilde Q_{2}= \pmat{ 0 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1}
[/mm]
Für [mm]Q_{2}[/mm] berechne ich:
[mm]
\tilde Q_{2}*Q_{1}*A=
\pmat{ 1 & 0 & 0& 0\\ 0 & 0 & 1& 0\\ 0 & 1 & 0& 0\\ 0 & 0 & 0& 1}*
\pmat{ -1 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 1\\ 0 & -1 & 0\\ 0 & 0 & 1}= \pmat{ -1 & 0 & -1\\ 0 & -1 & 0\\ 0 & 0& 1\\ 0 & 0 & 1}
[/mm]
Das Ergebnis sollte jedoch sein:
[mm] \pmat{ -1 & 0 & -1\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0& -1\\ 0 & 0 & 1}
[/mm]
Sieht evtl. jemand, wo ich den Fehler gemacht habe?
Danke & schönen Sonntag!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:58 Mo 26.01.2015 | | Autor: | DieAcht |
Hallo Felix!
> Transformiere die Matrix mittels Householdertransformation
> auf obere Dreieckgestalt.
>
> [mm]
A=
\pmat{ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1}
[/mm]
>
> Hallo,
>
> ich will oben genannte Matrix mittels Householder auf obere
> Dreiecksgestalt bringen.
> Im ersten Schritt lautet mein Ergebnis (stimmt mit der
> Lösung überein):
>
> [mm]
Q_{1}*A=
\pmat{ -1 & 0 & -1\\ 0 & 0 & 1\\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1}
[/mm]
>
> Der zweite Schritt gelingt mit nicht und ich benötige eure
> Hilfe:
>
> [mm]
\tilde Q_{2}= I - \bruch{2*v*v^T}{v^T*v}
[/mm]
> mit
> [mm]
v = \vektor{0\\-1\\0}+sign(0)*\wurzel{(-1)^2} \vektor{1\\0\\0}= \vektor{1\\-1\\0}
[/mm]
>
> folgt
> [mm]
\tilde Q_{2}= \pmat{ 0 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1}
[/mm]
>
> Für [mm]Q_{2}[/mm] berechne ich:
> [mm]
\tilde Q_{2}*Q_{1}*A=
\pmat{ 1 & 0 & 0& 0\\ 0 & 0 & 1& 0\\ 0 & 1 & 0& 0\\ 0 & 0 & 0& 1}*
\pmat{ -1 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 1\\ 0 & -1 & 0\\ 0 & 0 & 1}= \pmat{ -1 & 0 & -1\\ 0 & -1 & 0\\ 0 & 0& 1\\ 0 & 0 & 1}
[/mm]
1. Du meinst [mm] Q_2*Q_1*A.
[/mm]
> Das Ergebnis sollte jedoch sein:
>
> [mm]\pmat{ -1 & 0 & -1\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0& -1\\ 0 & 0 & 1}[/mm]
2. Die Matrixmultiplikation ist im Allgemeinen nicht kommutativ!
Ich komme auf etwas anderes. Nach obigem Schritt musst du noch
einen Schritt machen.
Gruß
DieAcht
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Vielen Dank für deine Antwort.
1. Richtig, ich meine [mm]Q_2*Q_1*A[/mm].
2. Ich meinte die Lösung des zweiten Schritts. In meiner Lösung steht für diesen Schritt als Zwischenergebnis:
[mm]Q_2*Q_1*A = \pmat{ -1 & 0 & -1\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0& -1\\ 0 & 0 & 1}[/mm]
Ich weiß, dass ich noch einen Schritt machen muss. Da der nächste Schritt bei mir jedoch nicht auf das Endergebnis von
[mm]Q_3*Q_2*Q_1*A=\pmat{ -1 & 0 & -1\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0& \wurzel{2}\\ 0 & 0 & 0}[/mm]
führt, dachte ich, dass mir der zweite Schritt nicht gelungen ist.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:02 Di 27.01.2015 | | Autor: | DieAcht |
> Vielen Dank für deine Antwort.
>
> 1. Richtig, ich meine [mm]Q_2*Q_1*A[/mm].
> 2. Ich meinte die Lösung des zweiten Schritts. In meiner
> Lösung steht für diesen Schritt als Zwischenergebnis:
>
> [mm]Q_2*Q_1*A = \pmat{ -1 & 0 & -1\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0& -1\\ 0 & 0 & 1}[/mm]
Das ist falsch. Ich habe dir bereits deinen Fehler gesagt.
> Ich weiß, dass ich noch einen Schritt machen muss. Da der
> nächste Schritt bei mir jedoch nicht auf das Endergebnis
> von
>
> [mm]Q_3*Q_2*Q_1*A=\pmat{ -1 & 0 & -1\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0& \wurzel{2}\\ 0 & 0 & 0}[/mm]
>
> führt, dachte ich, dass mir der zweite Schritt nicht
> gelungen ist.
Ich erhalte
[mm] Q_3*Q_2*Q_1*A=\pmat{ -1 & 0 & -1\\ 0 & -1 & 0\\ 0 & 0& -\wurzel{2}\\ 0 & 0 & 0}.
[/mm]
und bei mir funktioniert die Probe. 
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Hallo DieAcht, vielen Dank für Deine Antwort.
Mein Zwischenergebnis für den zweiten Schritt ([mm]Q_2*Q_1*A[/mm]) war:
[mm]Q_2*Q_1*A = \pmat{ -1 & 0 & -1\\ 0 & -1 & 0\\ 0 & 0& 1\\ 0 & 0 & 1}[/mm]
Daraus folgt für [mm]v_3[/mm]:
[mm]
v_3 = \vektor{1\\1}+sign(1)*\wurzel{2}*\vektor{1\\0}= \vektor{1+\wurzel{2}\\ 1}[/mm]
Und für [mm]\tilde Q_{3}[/mm]:
[mm]
\tilde Q_{3}= \bruch{\wurzel{2}}{2} \pmat{ -1 & -1 \\ -1 & 1}
[/mm]
[mm]
Q_3*Q_2*Q_1*A= \pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -\wurzel{2}/2 & -\wurzel{2}/2 \\ 0 & 0 & -\wurzel{2}/2 & \wurzel{2}/2 }* \pmat{ -1 & 0 & -1\\ 0 & -1 & 0\\ 0 & 0& 1\\ 0 & 0 & 1}=
\pmat{ -1 & 0 & -1\\ 0 & -1 & 0\\ 0 & 0& \wurzel{2}\\ 0 & 0 & 0}
[/mm]
> > 1. Richtig, ich meine [mm]Q_2*Q_1*A[/mm].
> > 2. Ich meinte die Lösung des zweiten Schritts. In meiner
> > Lösung steht für diesen Schritt als Zwischenergebnis:
> >
> > [mm]Q_2*Q_1*A = \pmat{ -1 & 0 & -1\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0& -1\\ 0 & 0 & 1}[/mm]
>
> Das ist falsch. Ich habe dir bereits deinen Fehler gesagt.
1. Es ist richtig, dass die dargestellte Zwischenlösung nicht mit meiner übereinstimmt.
>
> > Ich weiß, dass ich noch einen Schritt machen muss. Da der
> > nächste Schritt bei mir jedoch nicht auf das Endergebnis
> > von
> >
> > [mm]Q_3*Q_2*Q_1*A=\pmat{ -1 & 0 & -1\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0& \wurzel{2}\\ 0 & 0 & 0}[/mm]
>
> >
> > führt, dachte ich, dass mir der zweite Schritt nicht
> > gelungen ist.
>
> Ich erhalte
>
> [mm]Q_3*Q_2*Q_1*A=\pmat{ -1 & 0 & -1\\ 0 & -1 & 0\\ 0 & 0& -\wurzel{2}\\ 0 & 0 & 0}.[/mm]
>
> und bei mir funktioniert die Probe.
2. Deine und meine Lösung stimmen überein.
3. Das die Matrixmultiplikation nicht kommutativ ist, ist mir bekannt. Welchen Fehler ich jedoch in meinem zweiten Schritt gemacht habe, habe ich immer noch nicht verstanden.
Vielen Dank & beste Grüße
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:14 Di 27.01.2015 | | Autor: | DieAcht |
> Mein Zwischenergebnis für den zweiten Schritt([mm]Q_2*Q_1*A[/mm]) war:
> [mm]Q_2*Q_1*A = \pmat{ -1 & 0 & -1\\ 0 & -1 & 0\\ 0 & 0& 1\\ 0 & 0 & 1}[/mm]
> Daraus folgt für [mm]v_3[/mm]:
> [mm]
v_3 = \vektor{1\\1}+sign(1)*\wurzel{2}*\vektor{1\\0}= \vektor{1+\wurzel{2}\\ 1}[/mm]
Bis hierhin habe ich es auch so.
> Und für [mm]\tilde Q_{3}[/mm]:
> [mm]
\tilde Q_{3}= \bruch{\wurzel{2}}{2} \pmat{ -1 & -1 \\ -1 & 1}
[/mm]
Kannst du das bitte vorrechnen? Ich glaube nämlich, dass du dir
beim Rechnen Zeit sparen kannst. Übrigens ist
[mm] \frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{1}{\sqrt{2}}.
[/mm]
> [mm]
Q_3*Q_2*Q_1*A= \pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -\wurzel{2}/2 & -\wurzel{2}/2 \\ 0 & 0 & -\wurzel{2}/2 & \wurzel{2}/2 }* \pmat{ -1 & 0 & -1\\ 0 & -1 & 0\\ 0 & 0& 1\\ 0 & 0 & 1}=
\pmat{ -1 & 0 & -1\\ 0 & -1 & 0\\ 0 & 0& \red{\wurzel{2}}\\ 0 & 0 & 0}
[/mm]
Es ist
[mm] -\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}=-\sqrt{2}.
[/mm]
(Ich habe den Fehler oben mit roter Farbe markiert.)
> 1. Es ist richtig, dass die dargestellte Zwischenlösung nicht mit meiner übereinstimmt.
Ja, wobei deine Zwischenlösung richtig ist.
> > Ich erhalte
> >
> > [mm]Q_3*Q_2*Q_1*A=\pmat{ -1 & 0 & -1\\ 0 & -1 & 0\\ 0 & 0& -\wurzel{2}\\ 0 & 0 & 0}.[/mm]
> >
> > und bei mir funktioniert die Probe.
> 2. Deine und meine Lösung stimmen überein.
Nicht ganz.
> 3. Das die Matrixmultiplikation nicht kommutativ ist, ist
> mir bekannt. Welchen Fehler ich jedoch in meinem zweiten
> Schritt gemacht habe, habe ich immer noch nicht
> verstanden.
Du hast dort keinen Fehler gemacht. Meine Aussage bezüglich
der Kommutativität bezog sich auf die angegebene Lösung, da
ich sehr stark davon ausgehe, dass diese dadurch entstanden
ist. Bei deiner zweiten Frage bist du wohl auch ein wenig
mit den Lösungen durcheinander gekommen. Jedenfalls: Es ist
nun richtig und alles ist gut.
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> > Mein Zwischenergebnis für den zweiten Schritt([mm]Q_2*Q_1*A[/mm])
> war:
> > [mm]Q_2*Q_1*A = \pmat{ -1 & 0 & -1\\ 0 & -1 & 0\\ 0 & 0& 1\\ 0 & 0 & 1}[/mm]
> > Daraus folgt für [mm]v_3[/mm]:
> > [mm]
v_3 = \vektor{1\\1}+sign(1)*\wurzel{2}*\vektor{1\\0}= \vektor{1+\wurzel{2}\\ 1}[/mm]
>
> Bis hierhin habe ich es auch so.
>
> > Und für [mm]\tilde Q_{3}[/mm]:
> > [mm]
\tilde Q_{3}= \bruch{\wurzel{2}}{2} \pmat{ -1 & -1 \\ -1 & 1}
[/mm]
>
> Kannst du das bitte vorrechnen? Ich glaube nämlich, dass
> du dir
> beim Rechnen Zeit sparen kannst.
Ich berechne [mm]\tilde Q_{3}[/mm] immer wie folgt:
[mm]
\tilde Q_{3}= \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1}-\bruch{2\pmat{ 3+2\wurzel{2} & 1+\wurzel{2} \\ 1+\wurzel{2 & 1}}}
{2(2+\wurzel{2})}= \tilde Q_{3}= \bruch{\wurzel{2}}{2} \pmat{ -1 & -1 \\ -1 & 1}
[/mm]
Wie ich aus [mm]\tilde Q_{3}[/mm] [mm]Q_{3}[/mm] bilde hast Du ja gesehen.
> Übrigens ist
>
> [mm]\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{1}{\sqrt{2}}.[/mm]
> > [mm]
Q_3*Q_2*Q_1*A= \pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -\wurzel{2}/2 & -\wurzel{2}/2 \\ 0 & 0 & -\wurzel{2}/2 & \wurzel{2}/2 }* \pmat{ -1 & 0 & -1\\ 0 & -1 & 0\\ 0 & 0& 1\\ 0 & 0 & 1}=
\pmat{ -1 & 0 & -1\\ 0 & -1 & 0\\ 0 & 0& \red{\wurzel{2}}\\ 0 & 0 & 0}
[/mm]
>
> Es ist
>
> [mm]-\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}=-\sqrt{2}.[/mm]
>
> (Ich habe den Fehler oben mit roter Farbe markiert.)
>
Ist natürlich korrekt. Vielen Dank. Flüchtigkeitsfehler von mir.
> > 1. Es ist richtig, dass die dargestellte Zwischenlösung
> nicht mit meiner übereinstimmt.
>
> Ja, wobei deine Zwischenlösung richtig ist.
>
> > > Ich erhalte
> > >
> > > [mm]Q_3*Q_2*Q_1*A=\pmat{ -1 & 0 & -1\\ 0 & -1 & 0\\ 0 & 0& -\wurzel{2}\\ 0 & 0 & 0}.[/mm]
>
> > >
> > > und bei mir funktioniert die Probe.
>
> > 2. Deine und meine Lösung stimmen überein.
>
> Nicht ganz.
>
> > 3. Das die Matrixmultiplikation nicht kommutativ ist, ist
> > mir bekannt. Welchen Fehler ich jedoch in meinem zweiten
> > Schritt gemacht habe, habe ich immer noch nicht
> > verstanden.
>
> Du hast dort keinen Fehler gemacht. Meine Aussage
> bezüglich
> der Kommutativität bezog sich auf die angegebene Lösung,
> da
> ich sehr stark davon ausgehe, dass diese dadurch
> entstanden
> ist. Bei deiner zweiten Frage bist du wohl auch ein wenig
> mit den Lösungen durcheinander gekommen. Jedenfalls: Es
> ist
> nun richtig und alles ist gut.
Der Meinung bin ich auch.
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