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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:50 Mo 21.03.2011 | | Autor: | Pacapear |
Hallo zusammen!
Ich lerne grad für eine Prüfung in Informatik und da gehts grad um Hyperebenen.
Also eine Hyperebene in einem Raum ist doch einfach nur ein Raum, der genau eine Dimension niedriger ist, oder? Also im dreidimensioalen Raum sind es Ebenen, und im zweidimensionalen Raum sind es Geraden, oder?
Nun hab ich hier stehen, dass ich eine solche Ebene wie folgt definieren kann: {z|(w [mm] \cdot [/mm] z) + b =0}, z,w Vektoren, b Skalar.
Irgendwie versteh ich diese Definition nicht, es steht auch nicht dabei, was w und was b genau sind, könnte mit vorstellen, dass w vielleicht ein Normalenvektor sein soll, aber eine Normalenform ist das ja auch nicht...
Könnt ihr mir diese Ebenendefintion erklären?
Ach ja, eine Frage hab ich noch zu Hyperebenen:
Ich meine mal gehört/gelesen zu haben, dass eine Hyperebene in einem Vektorraum ein Unterraum des Vektorraums ist. Und ein Unterraum muss ja immer die 0 enthalten. Muss dann eine Hyperebene immer durch den Ursprung gehen? Sind im dreidimensionalen Raum nicht alle Geraden Hyperebenen, sondern nur die, die durch den Ursprung gehen?
Vielen Dank für eure Hilfe.
LG Nadine
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:58 Mo 21.03.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo Nadine
alle z mit wz+b=0 hast du recht, b ist irgend eine Zahl, fest, w der Normalenvektor zu der hyperebene denn aus [mm] wz_1+b=0 [/mm] und [mm] wz_2+b==
[/mm]
folgt [mm] w(z_1-z_2)=0 [/mm] also w orthogonal zu jedem Differenzvektor der Hyperebene
in 3d ist das doch auch die Normaldarstellung einer Ebene.
ausserdem hast du im [mm] \IR^n [/mm] eine lineare Gl, also n-1 Lösungen, also einen n-1 dim affinen raum.
es muss kein UVR sein! umgekehrt aber ist ein (n-1) dim Unterraum eines n- dim VR eine Hyperebene.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:59 Di 22.03.2011 | | Autor: | Pacapear |
Hallo Leduart,
danke für deine Hilfe, nun ist's klar 
LG Nadine
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:27 Di 22.03.2011 | | Autor: | Pacapear |
Hallo!
Wir haben jetzt zu der Hyperebene um 1 parallel verschobene Ebenen.
Und zwar haben die die Formel [mm] $E_1=\{z|(w*z)+b=1\}$ [/mm] und [mm] $E_2=\{z|(w*z)+b=-1\}$
[/mm]
Also dass die Ebenen jetzt in Normalenform sind kann ich prüfen:
[mm] $(w*z_1)+b=1$ [/mm] und [mm] $(w*z_2)+b=1$, [/mm] daraus folgt [mm] $(w*z_1)+b=1$ [/mm] und [mm] $-wz_2+1=b$ [/mm] und wenn ich jetzt die zweite Gleichung in die erste für b einsetze, dann erhalte ich [mm] $wz_1-wz_2=0\gdw w(z_1-z_2)=0$ [/mm] was die Normalendarstellung der Ebene ist.
Ich hab glaub ich nur noch nicht ganz verstanden, warum ich es genau mit zwei Vektoren [mm] z_1 [/mm] und [mm] z_2 [/mm] machen muss?
Analog für [mm] $\{z|(w*z)+b=-1\}$
[/mm]
Und da der Normelenvektor w der gleiche ist wie in der Formel [mm] $\{z|(w*z)+b=0\}$ [/mm] ist die Ausrichtung der beiden Ebenen [mm] E_1 [/mm] und [mm] E_2 [/mm] gleich zu der ursprünglichen Ebene, und somit sind sie zu dieser parallel.
Aber wie kann ich das mit dem Abstand von 1 ablesen? Bestimmt weil irgendwie in der Formel +1 und -1 hinter dem Gleichheitszeichen steht, aber ich seh den Zusammenhang zum Abstand nicht.
Wir haben mit diesem Formeln auch Halbebenen definiert: [mm] $\{z|(w*z)+b<0\}$ [/mm] und [mm] $\{z|(w*z)+b>0\}$. [/mm]
Auch hier kann ich das irgendwie aus der Formel nicht ablesen, dass die Punkte z auf jeweils einer Seite der Ebene liegen.
Bin für jede Hilfe sehr dankbar.
LG Nadine
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:04 Di 22.03.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
z1 und z2 sind doch beliebige Ortsvektoren der Ebene, dann ist z1-z2 ein Vektor in der Ebene. du kannst ja auch 2 andere z3 und z4 nehmen!
dividier die Gleichung durch |w| und du hast die Hessesche Normalform, dann ist b'=b/|w| der Abstand zu 0
schau dir nochmal in 3d die Hessesche Normalform an, vielleicht wird es dann klarer.
addiert man 1 zu b wird der Abstand 1 größer, subtrahiert man 1 eben 1 kleiner, die 2 haben dann von der ursprünglichen den Abstand 1, voneinander den Abstand 2.
russ leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:27 Mo 28.03.2011 | | Autor: | Pacapear |
Hallo!
Ja, das mit der HNF hab ich mir auch schon überlegt, weil dort, wo ich nach lerne, wird auch durch die Vektorlänge geteilt.
Allerdings hab ich das dort nicht so ganz verstanden, weil ja für HNF der Normalenvektor und der Differenzvektor in der Ebene senkrecht sind.
Dort wurde allerdings was seltsames gemacht. Es wurde jeweils ein Vektor der beiden um 1 verschobenen Ebene genommen, der muss ja die Gleichungen erfüllen:
[mm] (wz_1)+b=+1 [/mm] und [mm] (wz_2)+b=-1
[/mm]
Dann wurden die beiden Gleichungen voneinander subtrahiert:
[mm] w(z_1-z_2)=2
[/mm]
Das heißt ja, dass der Normalenvektor der beiden um 1 verschobenen Ebenen nicht parallel zum Differnzvektor der Punkte in den beiden Ebene ist.
Und nun normieren die halt auch und bilden die HNF:
[mm] \frac{w}{||w||}(z_1-z_2)=\frac{2}{||w||} [/mm] und dann [mm] \frac{w}{||w||}(z_1-z_2)-\frac{2}{||w||}=0
[/mm]
Ist das [mm] \frac{2}{||w||} [/mm] jetzt mein Abstand der Ebene zur Null?
Wenn ja, von welcher Ebene denn?
Und irgendwie steh ich immer noch vor dem Problem, dass ich dachte, die HNF geht nur, wenn der Normalenvektor senkrecht zum Differnezvektor der Ebene ist, aber hier ist er das ja nicht, weil w ja der Normalenvektor der um 1 verschobenen Ebenen ist, und nicht der Normalenvektor, wenn ich die Differenz bilde, das Skalarprodukt bestätigt das ja.
Irgendwie blick ich grad voll nicht durch.
Danke für eure Hilfe.
LG Nadine
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Dieses [mm]\pm 1[/mm] ist nicht der Abstand, von dem du andauernd sprichst. Es sind schlicht nur zwei andere Ebenen mit [mm]b' = b-1[/mm] und [mm]b'' = b+1[/mm] als neuen b-Werten und gleichem Normalenvektor. Und das war's.
Und natürlich steht der Normalenvektor zweier echt-paralleler Ebenen niemals senkrecht auf einem Verbindungsvektor der Ebenen. Warum machst du dir keine Zeichnung? Dann hätte sich diese Frage längst geklärt.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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> Hallo!
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> Wir haben jetzt zu der Hyperebene um 1 parallel verschobene
> Ebenen.
>
> Und zwar haben die die Formel [mm]E_1=\{z|(w*z)+b=1\}[/mm] und
> [mm]E_2=\{z|(w*z)+b=-1\}[/mm]
Hallo Nadine,
Vorsicht: diese Ebenen haben nur dann von der gegebenen
Ebene den Abstand 1, falls der Normalenvektor w normiert
ist, d.h. den Betrag 1 hat.
LG Al-Chw.
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