Hypergeometrische Verteilung < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:36 Mo 26.03.2012 | | Autor: | clemenum |
| Aufgabe | | Man zeige, dass die hypergeometrische Verteilung die Binomialverteilung approximiert. |
Nun, die Grundaufgabe, die zur hypergeometrischen Verteilung führt lautet ja so:
Gegeben sei eine Urne mit $N$ Kugeln, von denen $n$ Kugeln rot sind, $N-n$ schwarz. Man ziehe nun $r$ Kugeln ohne Zurücklegen. wie groß ist nun die W., dass genau $k$ Kugeln rot sind?
Die Binomialverteilung wäre das ganze nur mit Zurücklegen.
Da kommt ei mir also die Vermutung auf, dass ich N nur "hinreichend groß" wählen muss und daraus dann k Kugeln ziehe. Also müsste ich doch nur bei [mm] $H_{N,n,r}(k) (0\le k\le [/mm] min(n,r) ) $ den Limes [mm] $N\to \infty$ [/mm] bilden. Ich habe das aber versucht und komme leider mit diesen riesigen Biomialkoeffizienten nicht zurecht. Selsbt Mathematika oder Matlab kann hier den Limes nicht bilden.
Meine Schlussfolgerung: Entweder mache ich etwas grundlegend falsch oder sie lässt sich doch nicht approxiemieren.
Aber, die Überlegung scheint doch schon sinnvoll, dass ich in der Formel für die hypergeometrischen Verteilung einfach $N [mm] \to \infty$ [/mm] gehen lasse. Was mache ich falsch?
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Hallo clemenum,
schau mal ![[]](/images/popup.gif) hier.
Demnach müsstest du gleichzeitig n->0 streben lassen, aber das macht für mich nicht wirklich Sinn.
Gruß, Diophant
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:12 Mo 26.03.2012 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Du meinst sicher, dass die hypergeometrische Verteilung durch die Binomialverteilung approximiert wird. Ist denn nicht angegeben, in welchem Sinne das gemeint ist?
Wenn nicht, dann geh einfach mal hiervon aus:
Sei [mm] H(j,r,s,n):=\frac{\vektor{r \\ j}*\vektor{s \\ n-j}}{\vektor{r+s \\ n}} [/mm] und [mm] B(j,n,p)=\vektor{n \\ j}*p^j*(1-p)^{n-j}. [/mm] Dann gilt
[mm] $H(j,r,s,n)\underset{\substack{r,s \rightarrow \infty \\ \frac{r}{r+s} \rightarrow p}}\longrightarrow [/mm] B(j,n,p)$.
Versuche das mal zu zeigen. Man kann es sich heuristisch überlegen, aber es geht auch gut mit Grenzwerten zu zeigen, vor allem wenn man jetzt weiß, welche man genau betrachten muss.
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