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| Aufgabe | Beim Messen einer Probe mit einer Waage wird der Wägefehler als zufällig angenommen. Die Varianz
des Wägefehlers sei mit [mm] \sigma^2_0= [/mm] 90 Einheiten angegeben. Gehen Sie davon aus, dass bei wiederholten Messungen die Wägefehler als Realisierungen von unabhängigen, zentriert normalverteilten Zufallsvariablen angesehen werden können. Von dem Gewicht μ einer Probe wurde bisher behauptet, dass es mindestens 150 Einheiten beträgt. Diese Behauptung soll nun widerlegt werden. Die Hypothese
[mm] H_0 [/mm] : μ >= 150 soll also gegen die Alternative H1 : μ < 150 zum Niveau [mm] \alpha [/mm] = 0, 1 getestet werden. Für die Entscheidungsfindung stehen n = 10 Messwerte [mm] x_1, [/mm] ..., x_10 zurVerfügung.
(a) Bestimmen Sie die Entscheidungsregel durch die Angabe eines Normalverteilungstests.
(b) Welche Entscheidung ist zu treffen, wenn [mm] x_1 [/mm] + ... + x_10 = 1470 ist?
c)...d)
(Anlage: Tabelle der t-Verteilung) |
Hallo,
ich bin schon lange mit dieser Aufgabe beschäftigt erhalte aber kein sinnvolles Ergebnis. Ich muß wohl was falsch verstehen. Über die Normalapproximation erhalte ich ein Kritischen Wert von c=1538,96 und mit meiner üblichen Variante *** erhalte ich auch was falsches.
***
Verwerfungsbereich V:={x [mm] \in \IR^{10}[ [/mm] : [mm] \overline{x} [/mm] -150 >=c}
Der zugehörige Test lautet
[mm] \varphi(x)=1 [/mm] ,für x [mm] \in [/mm] V ; sonst 0.
[mm] \pi_\varphi(\mu)=P(\varphi(x)=1)= P(\overline{x}-150 [/mm] >= c)
So jetzt bestimme ich c so, dass [mm] \pi_\varphi(n)=\pi_\varphi(150)=\alpha=0.1
[/mm]
...
------------------------------
Verstehe ich was falsch?
Schönen Gruß
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:10 Do 29.01.2009 | | Autor: | Nataliee |
Bin noch Interessiert und würde mich über eine Idee sehr freuen.
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> Beim Messen einer Probe mit einer Waage wird der Wägefehler
> als zufällig angenommen. Die Varianz
> des Wägefehlers sei mit [mm]\sigma^2_0=[/mm] 90 Einheiten
> angegeben. Gehen Sie davon aus, dass bei wiederholten
> Messungen die Wägefehler als Realisierungen von
> unabhängigen, zentriert normalverteilten Zufallsvariablen
> angesehen werden können. Von dem Gewicht μ einer Probe
> wurde bisher behauptet, dass es mindestens 150 Einheiten
> beträgt. Diese Behauptung soll nun widerlegt werden. Die
> Hypothese
> [mm]H_0[/mm] : μ >= 150 soll also gegen die Alternative H1 :
> μ < 150 zum Niveau [mm]\alpha[/mm] = 0, 1 getestet werden. Für
> die Entscheidungsfindung stehen n = 10 Messwerte [mm]x_1,[/mm] ...,
> x_10 zurVerfügung.
>
> (a) Bestimmen Sie die Entscheidungsregel durch die Angabe
> eines Normalverteilungstests.
> (b) Welche Entscheidung ist zu treffen, wenn [mm]x_1[/mm] + ... +
> x_10 = 1470 ist?
> c)...d)
> (Anlage: Tabelle der t-Verteilung)
> Hallo,
> ich bin schon lange mit dieser Aufgabe beschäftigt erhalte
> aber kein sinnvolles Ergebnis. Ich muß wohl was falsch
> verstehen. Über die Normalapproximation erhalte ich ein
> Kritischen Wert von c=1538,96 und mit meiner üblichen
> Variante *** erhalte ich auch was falsches.
>
> ***
> Verwerfungsbereich V:={x [mm] \in \IR^{10} [/mm] : [mm] \overline{x} [/mm] -150 >=c}
> Der zugehörige Test lautet
> [mm]\varphi(x)=1[/mm] ,für x [mm]\in[/mm] V ; sonst 0.
> [mm]\pi_\varphi(\mu)=P(\varphi(x)=1)= P(\overline{x}-150>= c)[/mm]
>
> So jetzt bestimme ich c so, dass
> [mm]\pi_\varphi(n)=\pi_\varphi(150)=\alpha=0.1[/mm]
> ...
> ------------------------------
> Verstehe ich was falsch?
>
> Schönen Gruß
Hallo Natalie,
Ich verstehe zwar die benützte Terminologie nicht
hundertprozentig, aber ich frage mich, ob du viel-
leicht einfach verkehrt rum rechnest.
Die Nullhypothese [mm] H_0 [/mm] ist: μ >= 150
Der "Verwerfungsbereich" ist der Bereich in dem die
Nullhypothese abgelehnt werden sollte. Dies müsste
im vorliegenden Fall eine Menge der Art
$\ [mm] V:=\{\,x \in \IR^{10} : \overline{x}\blue{\ \le\ } 150-c\,\}$
[/mm]
mit positivem c sein, und nicht
$\ [mm] V:=\{\,x \in \IR^{10} : \overline{x} -150 \red{\ \ge\ }c\,\}$
[/mm]
Gruß Al
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:29 Do 29.01.2009 | | Autor: | Nataliee |
Hallo Al-Chwarizmi,
ja das stimmt habe das gar nicht bedacht.
Also mit $ \ [mm] V:=\{\,x \in \IR^{10} : \overline{x}\blue{\ \le\ } 150-c\,\} [/mm] $ :).
Somit folgt für den Normalverteilungstest.
[mm] \pi_\varphi(150) [/mm] soll [mm] =\alpha=0,1 [/mm] sein.
[mm] \Phi(\wurzel{n}*\bruch{c+150)-\mu}{\wurzel{\sigma^2}})=0,1
[/mm]
[mm] <=>\Phi(\wurzel{10}*\bruch{c}{\wurzel{90}})=0,1
[/mm]
[mm] <=>\Phi(\bruch{c}{3})=0,1
[/mm]
[mm] =>\bruch{c}{3}=Z_\alpha [/mm] <=> [mm] c=3Z_\alpha=3Z_{1-\alpha}
[/mm]
=3(1,282), Anhand der Tabelle der Normalverteilung
=3,846
Das sieht ja bis hierhin Ok aus.
(b) Welche Entscheidung ist zu treffen, wenn $ [mm] x_1 [/mm] $ + ... + x_10 = 1470 ist?
Somit [mm] E(X)=\bruch{1470}{10}=147
[/mm]
Wegen [mm] x^{-} [/mm] -147 = 3 < 3,846 , das heißt die Hypothese wird nicht verworfen.
Wow wunder mich gerade selber anscheinend wird es so gemacht :).
c)Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass bei dem Test die Hypothese [mm] H_0 [/mm] verworfen wird, wenn tatschächlich [mm] \mu [/mm] = 147,954 ist?
[mm] \pi_\varphi(147,954)=\Phi(\bruch{c+150-\mu}{3})=\Phi(\bruch{ 3,846+147,954-150)}{3} [/mm] )
[mm] =\Phi(\bruch{1,8}{3} )=\Phi(0,6)=0,725747
[/mm]
d)Lösen Sie die Teile a) und b) für den Fall, dass die Varianz [mm] \sigma^2 [/mm] nicht bekannt ist, aber die empirische Varianz [mm] s^2_10 [/mm] = 90 beträgt.
Hier bin ich leider überfragt vielleicht hat ja jemand eine zündende Idee?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:08 So 01.02.2009 | | Autor: | lena17 |
Natalie, siehe Bsp. 14.13 in dem Skript.
Da hatten wir einen ähnlichen Fall. Ich denke, dass wir hier Gaußtest anwenden müssen:
[mm] T=\bruch{\wurzel{n}(\bruch{1}{n}\summe_{i=1}^{n}x_{i}-\mu_{0})}{\wurzel{S_{n}^2}}
[/mm]
was meinst du?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:56 Mo 02.02.2009 | | Autor: | Nataliee |
DAs sieht gut aus :)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:20 Sa 31.01.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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