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Forum "Lineare Algebra - Moduln und Vektorräume" - IR-VR der reellen Zahlenfolgen
IR-VR der reellen Zahlenfolgen < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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IR-VR der reellen Zahlenfolgen: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:21 Mo 09.12.2019
Autor: Olli1968

Aufgabe
Wir betrachten den [mm] \IR [/mm]-Vektorraum [mm]V[/mm] der reellen Zahlenfolgen [mm] V=\{ f: \IN \to \IR \} [/mm]
Wir betrachten die Familie [mm] S=(e_{i})_{i \in \IN} [/mm] von Vektoren aus [mm]V[/mm] mit [mm] e_{i}(n)=\begin{cases} 1, & \mbox{wenn } n=i \\ 0, & \mbox{wenn } n \not= i \end{cases} [/mm].
Zeigen Sie, dass [mm] S [/mm] linear unabhängig ist.
Warum ist [mm] S [/mm] keine Basis?

Hallo liebe Mathefreunde,

ich benötige einmal eure Hilfe, da ich mit dieser Aufgabe nicht wirklich voran komme. Mir würden einige Tipps evtl. schon reichen - wir werden sehen. Ich habe diese Frage auch in keinem anderen Forum gestellt.

Was ich mir bisher überlegt habe:
Für [mm] e_{i}(n) [/mm]  gilt mit [mm] n \in \IN [/mm]:
für [mm] i=1 [/mm] erhalten wir [mm] e_{1}(n)=(1,0,0,\ldots) [/mm]
für [mm] i=2 [/mm] erhalten wir [mm] e_{2}(n)=(0,1,0,\ldots) [/mm]
und für [mm] i=k [/mm] erhalten wir [mm] e_{k}(n)=(0,\ldots,0,1,0,\ldots) [/mm] wobei die [mm]1[/mm] an der [mm]k[/mm]-ten Stelle steht.
D.h. die Familie ist gegeben durch [mm] S=((1,0,0,\ldots),(0,1,0,\ldots),(0,0,1,0,\ldots),\ldots)[/mm].

Lineare Unabhängigkeit einer Menge von Vektoren haben wir mit Hilfe der Linearkombination (LiKo) definiert.
d.h. in unserem Fall, dass [mm]\summe_{i \in \IN}^{ } \lambda_{i} \cdot e_{i}(n) = (0,0,0,\ldots) \Rightarrow \lambda_{i}=0, \forall i \in \IN [/mm]

Frage: Kann man das überhaupt so machen, da [mm] S [/mm] unendlich ist?
Wenn [mm]S[/mm] endlich wäre, könnte ich mir das so vorstellen, aber:
Ich habe mittlerweile herausgefunden, dass die Familie [mm]S[/mm] keine Basis ist und als Begründung wurde dann gesagt, dass die Folge [mm] (1,1,1,1,\ldots)[/mm] von [mm]S[/mm] nicht erzeugt werden kann?!
Also wenn man die lineare Unabhängigkeit von [mm]S[/mm] mit Hilfe der LiKo zeigen kann, könnte man dann nicht auch zeigen, das [mm]Span(S)=V[/mm] gilt?


Könnt ihr mir hierbei helfen? Danke!



        
Bezug
IR-VR der reellen Zahlenfolgen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:49 Mo 09.12.2019
Autor: Al-Chwarizmi

Das Problem kann wohl nur an der Definition des Begriffs "Basis" liegen:

"In der linearen Algebra ist eine Basis eine Teilmenge eines Vektorraumes, mit deren Hilfe sich jeder Vektor des Raumes eindeutig als endliche Linearkombination darstellen lässt."

Für einen unendlich-dimensionalen Vektorraum scheint dies allerdings etwas problematisch.

LG ,  Al-Chw.

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IR-VR der reellen Zahlenfolgen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:53 Mo 09.12.2019
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

Al hat ja bereits den Hinweis mit der Endlichkeit gegeben.

Zur Konkretisierung:
In der linearen Algebra verlangt man oft eine sogenannte []Hamelbasis wohingegen man in der Analyis oftmals mit einer []Schauderbasis arbeitet, bei der die Linearkombinationen auch (abzählbar) unendlich sein dürfen.

S ist nun keine Hamelbasis, aber sehr wohl eine Schauderbasis… ich halte die Frage daher für schlecht gestellt.

Gruß,
Gono.

Bezug
        
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IR-VR der reellen Zahlenfolgen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:35 Mo 09.12.2019
Autor: fred97

Ich muss Gono widersprechen. Die Frage ist nicht schlecht gestellt !

@ Gono: von einer Schauderbasis spricht man nur in Banachräumen. Der Vektorraum V in der Aufgabe trägt keinerlei Topologie !

@ Ollie: Du hast den Begrif der linearen Unabhängigkeit offenbar nicht verstanden. Eine Teilmenge M von V heißt linear unabhängig, wenn je endlich viele Elemente aus M linear unabhängig sind.

Überlege Dir, dass Du für die Menge S nur zeigen musst: ist n [mm] \in \IN, [/mm] so sind [mm] $e_1,.e_2,...,e_n$ [/mm] linear unabhängig.

span(S)=V kannst Du nicht zeigen, da span(S) nur aus abbrechenden Folgen der Form [mm] (f_1,f_2,...,f_m,0,0,0....) [/mm] besteht.

Damit ist span(S) eine echte Teilmenge von V und somit ist S keine Basis von V.

Bezug
                
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IR-VR der reellen Zahlenfolgen: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:55 Mo 09.12.2019
Autor: Olli1968

Vielen Dank für die schnellen Antworten. :-D

> @ Ollie: Du hast den Begriff der linearen Unabhängigkeit
> offenbar nicht verstanden.

Dem muss ich leider zustimmen, aber ich arbeite daran ...

> Eine Teilmenge M von V heißt
> linear unabhängig, wenn je endlich viele Elemente aus M
> linear unabhängig sind.
>  
> Überlege Dir, dass Du für die Menge S nur zeigen musst:
> ist n [mm]\in \IN,[/mm] so sind [mm]e_1,.e_2,...,e_n[/mm] linear
> unabhängig.
>  

Das kann man bestimmt mit Vollständiger Induktion zeigen?!
(I.A.) [mm]S_{1}=(e_{1})[/mm] ist linear unabhängig, da mit [mm]e_{1}\not=(0,0,0,\ldot) \wedge \lambda \in \IR[/mm] folgt [mm]\lambda \cdot e_{1}=(0,0,0,\ldot) \Rightarrow \lambda = 0[/mm]
[mm]S_{2}=(e_{1}, e_{2})[/mm] ist linear unabhängig, da mit [mm] \lambda, \mu \in \IR[/mm] folgt [mm] \lambda \cdot e_{1} + \mu \cdot e_{2} = (0,0,0,\ldots) \Rightarrow \lambda = \mu =0 [/mm]
(I.B.) [mm]S_{n-1}=(e_{1},e_{2},\ldot,e_{n-1})[/mm] ist linear unabhängig.
(I.S.) Sei [mm]e_{n} \in V[/mm] und [mm] \lambda_{i}, \mu \in \IR[/mm] mit [mm]e_{n} \not\in Span(S_{n-1}) \subset V [/mm] folgt [mm] \summe_{i=1}^{n-1} \lambda_{i} \cdot e_{i} + \mu \cdot e_{n} = (0,0,0,\ldots) \Rightarrow \lambda_{i}=0, \forall i\in \{1,2,\ldots,n-1\} [/mm] nach I.B.
und somit folgt [mm]\mu=0[/mm].
Somit ist [mm]S=(e_{1},e_{2},\ldots,e_{n-1},e_{n})[/mm] linear unabhängig.

> span(S)=V kannst Du nicht zeigen, da span(S) nur aus
> abbrechenden Folgen der Form [mm](f_1,f_2,...,f_m,0,0,0....)[/mm]
> besteht.
>  

Verstehe ich das richtig, dass Span(S) nur endliche Folgen erzeugt und somit keine unendlichen Folgen erzeugen kann, wie z.B. die Folge (1,1,1,1,...) und somit keine Basis von V sein kann?

> Damit ist span(S) eine echte Teilmenge von V und somit ist
> S keine Basis von V.


Danke

Bezug
                        
Bezug
IR-VR der reellen Zahlenfolgen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:05 Mo 09.12.2019
Autor: fred97


> Vielen Dank für die schnellen Antworten. :-D
>  
> > @ Ollie: Du hast den Begriff der linearen Unabhängigkeit
> > offenbar nicht verstanden.
> Dem muss ich leider zustimmen, aber ich arbeite daran ...
>  
> > Eine Teilmenge M von V heißt
> > linear unabhängig, wenn je endlich viele Elemente aus M
> > linear unabhängig sind.
>  >  
> > Überlege Dir, dass Du für die Menge S nur zeigen musst:
> > ist n [mm]\in \IN,[/mm] so sind [mm]e_1,.e_2,...,e_n[/mm] linear
> > unabhängig.
>  >  
> Das kann man bestimmt mit Vollständiger Induktion
> zeigen?!
>  (I.A.) [mm]S_{1}=(e_{1})[/mm] ist linear unabhängig, da mit
> [mm]e_{1}\not=(0,0,0,\ldot) \wedge \lambda \in \IR[/mm] folgt
> [mm]\lambda \cdot e_{1}=(0,0,0,\ldot) \Rightarrow \lambda = 0[/mm]
>  
> [mm]S_{2}=(e_{1}, e_{2})[/mm] ist linear unabhängig, da mit
> [mm]\lambda, \mu \in \IR[/mm] folgt [mm]\lambda \cdot e_{1} + \mu \cdot e_{2} = (0,0,0,\ldots) \Rightarrow \lambda = \mu =0[/mm]
>  
> (I.B.) [mm]S_{n-1}=(e_{1},e_{2},\ldot,e_{n-1})[/mm] ist linear
> unabhängig.

Das ist nicht richtig.


>  (I.S.) Sei [mm]e_{n} \in V[/mm] und [mm]\lambda_{i}, \mu \in \IR[/mm] mit
> [mm]e_{n} \not\in Span(S_{n-1}) \subset V[/mm] folgt
> [mm]\summe_{i=1}^{n-1} \lambda_{i} \cdot e_{i} + \mu \cdot e_{n} = (0,0,0,\ldots) \Rightarrow \lambda_{i}=0, \forall i\in \{1,2,\ldots,n-1\}[/mm]
> nach I.B.
> und somit folgt [mm]\mu=0[/mm].
>  Somit ist [mm]S=(e_{1},e_{2},\ldots,e_{n-1},e_{n})[/mm] linear
> unabhängig.

Das geht ohne Induktion: Seien n [mm] \in \IN [/mm] und [mm] a_1,....,a_n \in \IR [/mm] und

   [mm] $a_1 e_1+....+a_n e_n=0=(0,0,0,...)§ [/mm]

Dann ist [mm] (a_1,a_2,...,a_n,0,0,...)=(0,0,0,...) [/mm] und somit [mm] $a_1=a_2=....0$ [/mm] , fertig !


>  
> > span(S)=V kannst Du nicht zeigen, da span(S) nur aus
> > abbrechenden Folgen der Form [mm](f_1,f_2,...,f_m,0,0,0....)[/mm]
> > besteht.
>  >  
> Verstehe ich das richtig, dass Span(S) nur endliche Folgen
> erzeugt und somit keine unendlichen Folgen erzeugen kann,
> wie z.B. die Folge (1,1,1,1,...) und somit keine Basis von
> V sein kann?

Ja.


>  
> > Damit ist span(S) eine echte Teilmenge von V und somit ist
> > S keine Basis von V.
>
>
> Danke


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