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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:12 Sa 24.11.2007 | | Autor: | Mijoko |
| Aufgabe | Zeigen Sie, dass die Menge [mm] V:=Abb(\IR,\IR) [/mm] aller Abbildungen [mm] f:\IR\to\IR [/mm] zu eineim [mm] \IR-Vektorraum [/mm] wird, wenn man f+g und af für [mm] f,g\in\IR [/mm] definiert durch
(f+g)(x):=f(x)+g(x) [mm] (x\in\IR),
[/mm]
(af)(x):=af(x) [mm] (x\in\IR).
[/mm]
Beweisen Sie, dass
[mm] G:={f\inV:f(-x)=f(x) für alle x\in\IR},
[/mm]
[mm] U:={f\inV:f(-x)=-f(x) für alle x\in\IR}
[/mm]
Untervektorräume von V mit [mm] V=G\oplusU [/mm] sind.(Die Abbildungen in G heißen gerade, die in U ungerade.) |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich hab einfach keine Ahnung von Untervektorräumen und dadurch überhaupt keinen Ansatz. War nicht in der Vorlesung, als das drankam und es kann mir auch keiner erklären. Bitte helft mir!
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> Zeigen Sie, dass die Menge [mm]V:=Abb(\IR,\IR)[/mm] aller
> Abbildungen [mm]f:\IR\to\IR[/mm] zu eineim [mm]\IR-Vektorraum[/mm] wird, wenn
> man f+g und af für [mm]f,g\in\IR[/mm] definiert durch
>
> (f+g)(x):=f(x)+g(x) [mm](x\in\IR),[/mm]
> (af)(x):=af(x) [mm](x\in\IR).[/mm]
>
> Beweisen Sie, dass
>
> [mm]G:={f\inV:f(-x)=f(x) für alle x\in\IR},[/mm]
>
> [mm]U:={f\inV:f(-x)=-f(x) für alle x\in\IR}[/mm]
>
> Untervektorräume von V mit [mm]V=G\oplusU[/mm] sind.(Die Abbildungen
> in G heißen gerade, die in U ungerade.)
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Ich hab einfach keine Ahnung von Untervektorräumen und
> dadurch überhaupt keinen Ansatz. War nicht in der
> Vorlesung, als das drankam und es kann mir auch keiner
> erklären.
Hallo,
dann wirst Du nicht umhinkommen, das anhand eines Buches und der Mitschrift der Kommilitonen nachzuarbeiten.
I.d.R. muß man das ja auch tun, wenn man in der Vorlesung war, oder hast Du nach der Vorlesung stets das Gefühl, nun bestens informiert zu sein? Ich hatte das jedenfalls meist nicht, sondern bin eher mit "Ich weiß, daß ich nichts weiß." heim gegangen.
Wie man die Unterraumeigenschaften nachweist, hatte ich Dir im anderen Post erklärt, ich wiederhole das:
"Dafür, daß U ein Untervektorraum vom VR V über K ist, muß man nur zeigen:
1. U ist nichtleer
2. U ist abgeschlossen bzgl +, dh. für $ [mm] u_1, u_2 \in [/mm] $ U ist auch $ [mm] u_1+ u_2 \in [/mm] $ U
3. U ist abgeschlossen bzgl der Multiplikatione mit Skalaren (also mit Elementen des Körpers), d.h.
für alle $ [mm] k\in [/mm] $ K gilt $ [mm] ku_1\in [/mm] $ U."
Bevor Du mit den Unterraumen anfängst, mußt Du aber zeigen, daß [mm] Abb(\IR,\IR) [/mm] zusammen mit den in der Aufgabe definierten Verknüpfungen ein Vektorraum ist. Hierfür mußt Du sämtliche Vektorraumeigenschaften zeigen.
Für den Anfänger liegt das Problem bei dieser Aufgabe darin, daß die Vektoren hier nicht Zahlentripel o.ä. sind, sondern Funktionen.
Für die Assoziativität von + mußt Du also zeigen, daß für sämtliche f,g,h: [mm] \IR [/mm] --> [mm] \IR [/mm] gilt:
(f+g)+h=f+(g+h).
Dabei mußt Du Dich halt an die Definitionen halten.
Wenn Du erstmal ein bißchen etwas gearbeitet hast, kann man weitersehen - es ist ja sinnlos, ins Blaue hinein zu reden.
In den folgenden Aufgabenteilen ist dann mit den Unterraumkriterien zu zeigen, daß die zur y-Achse symmetrischen Funktionen und die, die punktsymmetrisch zum Ursprung sind, jeweils einen Unterraum bilden.
Gruß v. Angela
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