\IR auf \IR^_{2} abbilden < Mengenlehre < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:16 So 03.06.2007 | | Autor: | TRANSLTR |
| Aufgabe | Kann eine Zahl z = [mm] 0.\overline{9} [/mm] von der Menge [mm] \IR [/mm] eindeutig auf ein Intervallpaar in der Menge [mm] \IR^{2} [/mm] abgebildet werden?
--> Methode: Einzelblockbildung |
In [mm] \IR^{2} [/mm] kommen die Paare ( x,y ) vor, die bijektiv auf [mm] \IR [/mm] (z) abgebildet werden können.
z = [mm] 0.\overline{9}
[/mm]
x = 0.1000......
y = 0.0000.....
Nach der einzelnen Blockbildungsmethode, nimmt man abwechselnd [mm] x_{1}, [/mm] dann [mm] y_{1}, [/mm] dann [mm] x_{2}, y_{2}....und [/mm] zusammen ergäbe das z = 0.1, was ja [mm] 0.\overline{9} [/mm] ist.
z = [mm] 0.\overline{9}
[/mm]
x = [mm] 0.\overline{9}......
[/mm]
y = [mm] 0.\overline{9}.....
[/mm]
Das ergäbe nach der Blockbildungsmethode z = [mm] 0.\overline{9}, [/mm] also auch 0.1.
Somit ist doch keine Bijektion möglich, oder? Also wäre hier die Einzelblockbildungsmethode ungeeignet!
Nun, es gibt diesen berühmten Beweis, den ich im Anhang raufgeladen habe. Es werden Blöcke gemacht bis zur nächsten 0 und nicht wie ich das oben gemacht habe, einfach Einzelblöcke ohne Berücksichtigung der 0. Diese Methode ist berühmt, also muss sie eine Bijektion ermöglichen. Doch ich sehe nicht ein, wieso es bei der anderen Methode geht und bei meiner nicht! :S
Anhang: Blöckenbildung bis zur nächstem 0!
![[]](/images/popup.gif) Theorem
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Hiho,
ok, daß es eine Bijektion von (0,1] auf (0,1] x (0,1] gibt, ist in deinem angehängten Beweis ja erklärt. Ich hoffe du hast den Beweis soweit verstanden.
Nun zu deiner Sache:
> z = [mm]0.\overline{9}[/mm]
meinst du damit 0.9 Periode 9 (mal in Worten)? Ich nehme es mal an, warum dein Beweis dann nicht funktioniert hat den Grund, daß [mm]0.\overline{9} = 1[/mm] gilt.
> --> Methode: Einzelblockbildung
So wie ich das sehe meinst du mit Einzelblockbildung sowas in der Art:
Sei x = 0.3234423256.... , y = 0.13422345345 dann ergibt sich z, indem ich immer abwechselnd EINE Zahl von x und dann eine von y nehme, also würde z=0.3123344242... sein, stimmts soweit?
Gruß,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:15 So 03.06.2007 | | Autor: | TRANSLTR |
Jep. Den Beweis habe ich verstanden, z = [mm] 0.\overline{9} [/mm] bedeutet 0.999...usw periodisch, genau wie du sagst. Und das mit den Blöcken, da hast du auch recht!
Ich will abwechselnd x und y nehmen, anstatt diese Blöcke wie im Beweis zu machen. Aber dann ensteht genau der Widerspruch! 0.9999 = 1, deshalb gibts 2 Varianten :S --> Einblockmethode ist falsch!
Aber das würde doch auch bei der anderen Methode (im Beweis) das gleiche Problem auftauchen, nicht?
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Hi,
du kannst [mm]z=0.\overline{9}[/mm] nicht betrachten, weil es die Zahl so nicht gibt, sondern 1 ist, d.h. du müsstest den Fall z=1 betrachten und für den haut es doch wieder hin.
MfG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:43 So 03.06.2007 | | Autor: | TRANSLTR |
Heisst das für den Beweis im Link würde es mit 0.9999 ... auch nicht gehen? Hätte man dort nicht eine eindeutige Bijektion?
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Also wenn du für den Beweis im Link den Fall 0.999..... betrachtest, müsstest du auch auf Murks kommen, weil es diese Zahl wie gesagt nicht wirklich gibt, sondern du den Fall z=1 betrachten musst.
Probiers aus 
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:48 So 03.06.2007 | | Autor: | TRANSLTR |
Bist du sicher? Ok, in diesem Fall, danke noch :) :)
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![[]](http://img477.imageshack.us/img477/474/theoremxt6.jpg){kind=small}
Theorem
