Ideal-Hauptideal-Erzeugendes < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:37 Do 06.11.2008 | | Autor: | kittycat |
| Aufgabe | Der Ring [mm] \IZ[i]=\IZ+\IZ*i \subset [/mm] IC ist ein Euklidischer Ring. Er ist auch ein Hauptidealring. Daher sind die folgenden 6 Ideale Hauptideale. Finden Sie je ein Erzeugendes (mit Beweis).
(a) (3,i)
(b) (4+4i,8i)
(c) (2-i,2+i)
(d) (1+i,1-i)
(e) (5,3+4i)
(f) (10,7+i) |
Hallo liebe Mathefreunde,
es gilt doch: Ein Ideal ist ein Hauptideal, falls a [mm] \in [/mm] R existiert mit I=(a), d.h. wenn I von a erzeugt wird.
Eine Definition von 2 Erzeugenden wäre (a,b)={x*a+y*b | x,y [mm] \in [/mm] R}.
Ich bin mir nicht so ganz sicher, wie ich die Erzeugenden finden kann und dann auch noch beweisen :-(
Mein Ansatz für die (c) wäre:
[mm] (2-i,2+i)=(5)=\IZ[i] [/mm] oder aber [mm] (2-i,2+i)=(4)=\IZ[i] [/mm]
Nach der obigen Definition wäre das zweite eher richtig, denn ich könnte für x und y 1 einsetzen.
Stimmt das so?
Kann mir das noch jemand erklären oder allgemein einen Tip geben, wie man das Erzeugende bestimmen kann?
Wäre euch sehr dankbar,
Lg Kittycat
|
|
| |
|
Hallo Kittykat!
Da [mm] \IZ [/mm] ein euklidischer Ring ist, ist das recht einfach hier. Das Zauberwort heißt ggT - größter gemeinsamer Teiler. Ist dir das ein Begriff? Ich denke schon..
Wenn du also das von a und b erzeugte Ideal (a,b) als Hauptideal (d) schreiben sollst, ist d genau der ggT von a und b.
Wie kommt man darauf, dass (a,b)=(ggT(a,b)) ist?
Für (a,b)=d hast du immer Elemente x,y: ax+by=d. Somit ist auf jeden Fall klar, dass d im von a und b erzeugten Ideal entahlten ist: [mm] (a,b)\supset [/mm] (d).
Die andere Richtung ist auch ziemlich klar. Wenn d der ggT ist, exisitiert per Definition ein Element c, sodass cd=a. d ist nämlich ein Teiler von a. Somit liegt a in (d), analog b, und da die Erzeuger von (a,b) in (d) liegen, ist auch [mm] (a,b)\subset [/mm] (d).
Kannst du den ggT zweier Elemente bestimmen? Das geht wohl am elegantestens per Euklidschem Algorithmus.
Viel Erfolg!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:56 Do 06.11.2008 | | Autor: | kittycat |
Hallo Konfuzius,
aha, ggT - ja, das Zauberwort kenne ich natürlich  Danke für die schnelle Antwort.
Wäre dann das Erzeugende von (b) gerade 4???
Und wie bestimme ich bei den Komplexen Zahlen den ggT, da fällt mir immer nur die 1 ein :-( Kann ich den Euklidischen Algorithmus bei Komplexen Zahlen überhaupt anwenden?
Lg Kittycat
|
|
|
| |
|
Ja, 4 ist eine Möglichkeit. Natürlich können sich die Erzeuger um eine Einheit unterscheiden (welche gibt es in [mm] \IZ+i\IZ? [/mm] Es sind derer 4.)
Euklid geht absolut analog in [mm] \IC. [/mm] Als Betrag nimmst du den "normalen" komplexen Betrag: [mm] |x+iy|:=x^2+y^2.
[/mm]
Für mehr Infos, schau zB mal hier bei den Kollegen:
https://matheraum.de/read?t=257639
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:26 Mo 10.11.2008 | | Autor: | Riley |
Hallo Konfuzius,
ich habe das mal so versucht, wie du geschrieben hast, aber noch eine Nachfrage zu dem euklidischen Algo für komplexe Zahlen. Ist "der ggT" eindeutig bestimmt? Weil hier gibt es doch keine Anordnung, wie kann man dann von einem bzw dem größten gemeinsamen Teiler reden?
Viele Grüße,
Riley
edit: Ah, sorry, hab deine 2.Antwort grad nochmal gelesen. Also damit ist es dann wohl beantwortet, das hab ich im ersten Post falsch verstanden. Die Einheiten in Z[i] sind [mm] \pm [/mm] 1 und [mm] \pm [/mm] i ?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 20:40 Mo 10.11.2008 | | Autor: | Riley |
Hallo,
sorry, ich hab nochmal eine Frage.
Und zwar hatten wir ja als "Muster-Beispiel"
(3+2i, 1+i) = (1), da (3+2i) - 2 (1+i) = 1, d.h. 1 [mm] \in [/mm] (3+2i,1+i).
Für die erste Aufgabe hier bekommt man ggT(3,i) = i, also
(3,i) = (i), da 0 [mm] \cdot [/mm] 3 + i = i, d.h i [mm] \in [/mm] (3,i).
Man könnte doch dann aber bei jedem Ideal schreiben, dass
(a,b) = b, da 0 [mm] \cdot [/mm] a + 1 [mm] \cdot [/mm] b = b, d.h. b [mm] \in [/mm] (a,b) ???
Wo ist das ausgeschlossen, oder wo liegt hier der Haken??
Viele Grüße,
Riley
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:18 Do 13.11.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
| |
|
Sorry für die verzögerte Antwort!
Aber ja, wie du bereits geschrieben hast ist der ggT bis auf die Einheiten +/-1, +/-i eindeutig.
|
|
|
| |
|
Hallo Konfuzius,
Ich hab es nun mal mit dem Euklidischen Algorithmus und der Polynomdivision versucht. Dabei erhalte ich nun aber bei der (b) nicht mehr 4, sondern [mm] (\bruch{1}{2} [/mm] - [mm] \bruch{1}{2}i). [/mm] Logisch ist die 4 eigentlich schon, aber was hat es denn dann mit dem Euklidischen Algorithmus auf sich, wenn ich eine andere Lösung dann erhalte. Oder kann man das irgendwie erklären?
Wäre echt lieb von dir, wenn du mir noch weiterhelfen könntest.
Lg Kittycat
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:15 Mi 12.11.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:46 Do 13.11.2008 | | Autor: | konfuzius |
Hallo Kittykat,
sofern es nicht zu spät ist, hier eine Antwort.
Es kann nicht sein, dass du eine andere Lösung mit dem Euklid bekommst. Wenn du alles richtig machst, kommt dort der ggT raus. Das kann "nur" an Rechenfehlern liegen. Wenn du ihn nicht findest, poste doch deine Schritte mal hier, ich schaus mir dann an.
|
|
|
|
