Ideal < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:39 Mi 01.12.2010 | | Autor: | clemenum |
| Aufgabe | | Zeige, dass der Durchschnitt beliebig vieler Ideale wieder ein Ideal ist. |
Kann ich hier so ähnlich vorgehen wie beim Beweis der Vereinigung?
Wenn nein, dann habe ich leider keine Idee wie man an das herangeht, könnte mir jemand einen Tipp geben, denn mit einem reinen "Definitionsgeschupse" komme ich leider nicht zum Ziel.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:00 Mi 01.12.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Zeige, dass der Durchschnitt beliebig vieler Ideale wieder
> ein Ideal ist.
>
> Kann ich hier so ähnlich vorgehen wie beim Beweis der
> Vereinigung?
Die Vereinigung zweier Ideale ist nur ganz selten wieder ein Ideal. Du wirst hier also keinen "Beweis" haben.
> Wenn nein, dann habe ich leider keine Idee wie man an das
> herangeht, könnte mir jemand einen Tipp geben, denn mit
> einem reinen "Definitionsgeschupse" komme ich leider nicht
> zum Ziel.
Doch, reines Definitionsgeschupse reicht voellig aus.
Seien etwa $a, b [mm] \in \bigcap_{i \in I} B_i$. [/mm] Dann musst du $a + b [mm] \in \bigcap_{i \in I} B_i$ [/mm] zeigen; dazu reicht es aus, $a + b [mm] \in B_i$ [/mm] fuer alle $i [mm] \in [/mm] I$ zu zeigen.
Aber jetzt hast du doch $a, b [mm] \in B_i$ [/mm] fuer alle $i [mm] \in [/mm] I$ gegeben, und ...
LG Felix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:35 Mi 01.12.2010 | | Autor: | clemenum |
Wegen $a, b [mm] \in B_i \forall i\in [/mm] I$ und [mm] $B_i$ [/mm] Ideale, liegen wegen der Untergruppeneigenschaft von Idealen auch $a+b [mm] \in \cap_{i\in I}B_i.$
[/mm]
Das erscheint mir aber sehr wenig, ist das genug?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 03:00 Do 02.12.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Wegen [mm]a, b \in B_i \forall i\in I[/mm] und [mm]B_i[/mm] Ideale, liegen
> wegen der Untergruppeneigenschaft von Idealen auch [mm]a+b \in \cap_{i\in I}B_i.[/mm]
Genau.
> Das erscheint mir aber sehr wenig, ist das genug?
Nun, so ein Ideal hat noch mehr Eigenschaften, die du nachweisen musst.
LG Felix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:35 Do 02.12.2010 | | Autor: | clemenum |
Ich sollte mir also noch ein [mm] $b\in \cap$ [/mm] und $r [mm] \in [/mm] R $ (R... Ring) vorgeben. Da $b$ für jedes [mm] $i\in [/mm] I$ in [mm] $B_i$ [/mm] liegt und die [mm] $B_i$ [/mm] Ideale sind, liegen auch $rb$ und $br$ in allen [mm] $B_i$. [/mm] Somit gilt [mm] $R\cap$, $\cap [/mm] R [mm] \subseteq \cap$ [/mm]
Ich nehme aber an, dass der Beweis damit beendet ist?!
Ich würde mich auf eine Bestätigung freuen!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:48 Do 02.12.2010 | | Autor: | fred97 |
> Ich sollte mir also noch ein [mm]b\in \cap[/mm] und [mm]r \in R[/mm] (R...
> Ring) vorgeben. Da [mm]b[/mm] für jedes [mm]i\in I[/mm] in [mm]B_i[/mm] liegt und die
> [mm]B_i[/mm] Ideale sind, liegen auch [mm]rb[/mm] und [mm]br[/mm] in allen [mm]B_i[/mm]. Somit
> gilt [mm]R\cap[/mm], [mm]\cap R \subseteq \cap[/mm]
Was sind das für Hyroglyphen ?
>
> Ich nehme aber an, dass der Beweis damit beendet ist?!
Wenn Du mit den Hyroglyphen [mm] \bigcap_{i \in I} B_i [/mm] meinst, ja
FRED
>
> Ich würde mich auf eine Bestätigung freuen!
|
|
|
|
