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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:46 Di 02.05.2006 | | Autor: | Elbi |
| Aufgabe | | Zeigen Sie, dass die Menge [mm]2 \IZ [X] + X \IZ [X] = \{2f+Xg | f,g \in \IZ [X] \} \subseteq \IZ [X][/mm] ein Ideal von [mm]\IZ [X][/mm] ist, aber kein Hauptideal. |
Hallo allezusammen,
ich hoffe mal ihr hattet alle einen schönen start in den Mai.
Ich hab zu der Aufgabe da ne Frage. Also wenn ich ja zeigen will, dass die Menge (ich bezeichne die jetzt mal als R) R ein Ideal ist, dann muss ich doch zeigen, dass ein kommutativer Ring existiert und, dass [mm]\IZ [X] \le R[/mm], sowie [mm]ra \in \IZ [X] , r \in R , a \in \IZ [X][/mm]. Oder?
Also eigentlich ist mir das so vom überlgen her klar, aber ich kann das nicht so wirklich zeigen. Könntet ihr mir da vielleicht helfen?
Und dass es kein Hauptideal ist, da müsste ich doch dann zeigen, dass R kein euklidischer Ring ist, oder? Und wenn ja, wie stelle ich denn das nun an?
Vielen vielen Dank im voraus
LG
Elbi
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(Antwort) fehlerhaft  | | Datum: | 21:13 Di 02.05.2006 | | Autor: | laryllan |
Diese Schreibweise mit dem großen X da in der Menge schaut irgendwie seltsam aus.
Generell musst du die Idealeigenschaft(en) zeigen; vereinfacht zeige:
[mm] \alpha [/mm] heißt Linksideal von R, wenn gilt: r [mm] \in [/mm] R, a [mm] \in \alpha \Rightarrow [/mm] r*a [mm] \in \alpha
[/mm]
[mm] \alpha [/mm] heißt Rechtsideal von R, wenn gilt: r [mm] \in [/mm] R, a [mm] \in \alpha \Rightarrow [/mm] a*r [mm] \in \alpha
[/mm]
[mm] \alpha [/mm] heißt Ideal von R, wenn [mm] \alpha [/mm] Links- und Rechtsideal ist.
Zu deinem Beispiel: in [mm] \IZ [/mm] gibt es natürlich (wie in allen Ringen) die trivialen Ideal {0} und [mm] \IZ [/mm] selbst.
Ein Hauptideal ist per Definition ein solches, dass von nur einem Element aus R erzeugt wird.
Nachzuweisen dass etwas kein euklidischer Ring ist, würde ich für umständlich halten. Zeige lieber, dass deine "Menge" mehr als ein Element umfasst. Das sollt imho. zügiger und sauberer gehen.
Ein Beispiel (wenn auch trivial) für ein Hauptideal in [mm] \IZ [/mm] wäre übrigens {1}, dass mit k*1 (k [mm] \in \IZ) [/mm] jedes Element aus [mm] \IZ [/mm] erzeugt werden kann.
;)
Namárie,
sagt ein Lary, wo hofft, dass dir das was nützt
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:58 Di 02.05.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Diese Schreibweise mit dem großen X da in der Menge schaut
> irgendwie seltsam aus.
Wenn $R$ ein Ring ist, dann ist $R[X]$ der Polynomring in der Unbestimmten $X$ mit Koeffizientenring $R$. Also ist [mm] $\IZ[X]$ [/mm] der Ring der Polynome ueber [mm] $\IZ$.
[/mm]
> Generell musst du die Idealeigenschaft(en) zeigen;
> vereinfacht zeige:
>
> [mm]\alpha[/mm] heißt Linksideal von R, wenn gilt: r [mm]\in[/mm] R, a [mm]\in \alpha \Rightarrow[/mm]
> r*a [mm]\in \alpha[/mm]
> [mm]\alpha[/mm] heißt Rechtsideal von R, wenn gilt:
> r [mm]\in[/mm] R, a [mm]\in \alpha \Rightarrow[/mm] a*r [mm]\in \alpha[/mm]
> [mm]\alpha[/mm]
> heißt Ideal von R, wenn [mm]\alpha[/mm] Links- und Rechtsideal ist.
Da der Ring kommutativ ist reicht es eins von beiden zu zeigen.
> Zu deinem Beispiel: in [mm]\IZ[/mm] gibt es natürlich (wie in allen
> Ringen) die trivialen Ideal [mm] $\{0\}$ [/mm] und [mm]\IZ[/mm] selbst.
Ja, aber er schaut sich Ideale in [mm] $\IZ[X]$ [/mm] an.
> Ein Hauptideal ist per Definition ein solches, dass von nur
> einem Element aus R erzeugt wird.
>
> Nachzuweisen dass etwas kein euklidischer Ring ist, würde
> ich für umständlich halten.
Das folgt direkt daraus, dass das angegebene Ideal kein Hauptideal ist.
> Zeige lieber, dass deine "Menge" mehr als ein Element umfasst.
> Das sollt imho. zügiger und sauberer gehen.
Und was soll das bringen? Aussagen tut das ueberhaupt nichts: Das einzige Ideal, welches nur ein Element umfasst, ist das Hauptideal.
> Ein Beispiel (wenn auch trivial) für ein Hauptideal in [mm]\IZ[/mm]
> wäre übrigens [mm] $\{1\}$, [/mm] dass mit k*1 (k [mm]\in \IZ)[/mm] jedes Element
> aus [mm]\IZ[/mm] erzeugt werden kann.
Meinst du mit [mm] $\{ 1 \}$ [/mm] die Menge, die nur aus der 1 besteht (die ist kein Ideal), oder das von $1$ erzeugte Ideal (das ist ganz [mm] $\IZ$)?
[/mm]
LG Felix
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:02 Di 02.05.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo Elbi!
> Zeigen Sie, dass die Menge [mm]2 \IZ [X] + X \IZ [X] = \{2f+Xg | f,g \in \IZ [X] \} \subseteq \IZ [X][/mm]
> ein Ideal von [mm]\IZ [X][/mm] ist, aber kein Hauptideal.
> Hallo allezusammen,
>
> ich hoffe mal ihr hattet alle einen schönen start in den
> Mai.
> Ich hab zu der Aufgabe da ne Frage. Also wenn ich ja
> zeigen will, dass die Menge (ich bezeichne die jetzt mal
> als R) R ein Ideal ist, dann muss ich doch zeigen, dass ein
Mit $R$ bezeichnet man meistens Ringe und keine Ideale.
> kommutativer Ring existiert und, dass [mm]\IZ [X] \le R[/mm], sowie
Wieso soll ein kommutativer Ring existieren? Der ist doch schon vorgegeben: naemlich [mm] $\IZ[X]$! [/mm] Ausserdem ist $R [mm] \le \IZ[X]$ [/mm] und nicht umgekehrt oder so! (Und dass es eine Untergruppe ist musst du auch noch zeigen.)
> [mm]ra \in \IZ [X] , r \in R , a \in \IZ [X][/mm]. Oder?
Falschrum! Du musst zeigen, dass fuer alle $r [mm] \in \IZ[X]$, [/mm] $a [mm] \in [/mm] R$ gilt $a r [mm] \in [/mm] R$. Dann ist $R$ ein Ideal in [mm] $\IZ[X]$.
[/mm]
> Also eigentlich ist mir das so vom überlgen her klar, aber
> ich kann das nicht so wirklich zeigen. Könntet ihr mir da
> vielleicht helfen?
Summiere zwei Elemente von der Form $2f+Xg$ mit $f, g [mm] \in \IZ[X]$ [/mm] oder multipliziere ein solches Element mit einem Element aus [mm] $\IZ[X]$, [/mm] und zeige dass es wieder von der Form $2 [mm] \hat{f} [/mm] + X [mm] \hat{g}$ [/mm] ist mit [mm] $\hat{f}, \hat{g} \in \IZ[X]$.
[/mm]
> Und dass es kein Hauptideal ist, da müsste ich doch dann
> zeigen, dass R kein euklidischer Ring ist, oder? Und wenn
Kann es sein, dass du mit $R$ mal das Ideal $2 [mm] \IZ[X] [/mm] + X [mm] \IZ[X]$ [/mm] und mal den Ring [mm] $\IZ[X]$ [/mm] bezeichnest?!
> ja, wie stelle ich denn das nun an?
Wenn $R$ kein Hauptideal ist, dann folgt daraus, dass [mm] $\IZ[X]$ [/mm] kein euklidischer Ring ist! Das umgekehrt zu zeigen ist eine ganz schlechte Idee...
Nimm doch einfach mal an, dass $R$ von einem Element, etwa $f [mm] \in \IZ[X]$ [/mm] erzeugt wird. Dann kannst du $2 = f [mm] g_1$ [/mm] und $X = f [mm] g_2$ [/mm] schreiben mit [mm] $g_1, g_2 \in \IZ[X]$ [/mm] (Definition Hauptideal). Leite daraus einen Widerspruch her (schau dir insb. den Grad an).
LG Felix
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