Ideal in Z_{p}[x] < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Sei p eine Primzahl und
[mm] \mathcal{I} [/mm] = [mm] \{f(x) \in \IZ_{p}[x] | f(a) = 0, \forall a \in \IZ_{p} \}.
[/mm]
Zeigen Sie, dass [mm] \mathcal{I} [/mm] ein Ideal in [mm] \IZ_{p}[x] [/mm] ist und finden Sie ein Element, das [mm] \mathcal{I} [/mm] erzeugt. |
Hallo 
Habe diese Aufgabe bearbeitet, bin mir aber unsicher, ob sich da nicht doch ein Fehler eingeschlichen hat..
[mm] \mathcal{I} [/mm] ein Ideal?
I1) [mm] \mathcal{I} \not= \emptyset [/mm] :
z.B. f:= [mm] x^{p-1}-1 \in \mathcal{I} \Rightarrow \mathcal{I} \not= \emptyset [/mm]
(da gilt [mm] a^{p-1} \equiv [/mm] 1 mod p)
I2) x,y [mm] \in \mathcal{I} \Rightarrow [/mm] x-y [mm] \in \mathcal{I}:
[/mm]
Wenn x oder y Nullpolynom, dann klar
Ansonsten x und y in der Form:
x:= [mm] x^{n}(x^{p-1}-1), y:=x^{m}(x^{p-1}-1), [/mm] m,n [mm] \in \IZ_{p}
[/mm]
x-y = [mm] \underbrace{(x^{n}-x^{m})}_{:=x^{k}}(x^{p-1}-1)
[/mm]
Also x-y [mm] \in \mathcal{I}
[/mm]
I3) x [mm] \in \mathcal{I}, [/mm] r [mm] \in [/mm] R [mm] \Rightarrow [/mm] r*x [mm] \in \mathcal{I}:
[/mm]
Sei x Polynom mit x(a)=0, [mm] \forall [/mm] a [mm] \in \IZ_{p}: [/mm] r*x(a)=r*0=0 [mm] \in \mathcal{I}
[/mm]
Also [mm] \mathcal{I} [/mm] Ideal
Das Element, das [mm] \mathcal{I} [/mm] erzeugt ist: [mm] (x^{p-1}-1)
[/mm]
Wäre das so i.O.?
Würde mich über Kritik freuen
LG
|
|
| |
|
Hey,
der Beweis sieht größtenteils gut aus.
Nur bei der Abgeschlossenheit bezüglich Addition geht ein wenig was schief:
> Ansonsten x und y in der Form:
> x:= $ [mm] x^{n}(x^{p-1}-1), y:=x^{m}(x^{p-1}-1), [/mm] $ m,n $ [mm] \in \IZ_{p} [/mm] $
Zuerst meinst du wohl $m,n [mm] \in \IN_0$, [/mm] oder?
Sonst müsstest du mir erklären, was [mm] $x^m$ [/mm] für $x [mm] \in \IZ_p$ [/mm] sein soll.
Dann hat nicht jedes $x [mm] \in [/mm] I$ diese Form, als Beispiel etwa [mm] $(x-1)(x^{p-1}-1) \in [/mm] I$.
Dann ist es sehr ungünstig, dein Element aus $I$ mit $x$ zu bezeichnen, denn $x$ ist bereits vergeben für die Unbekannte.
Außerdem benutzt du hier schon, dass alle Elemente von $I$ Vielfache von $f := [mm] x^{p-1}-1$ [/mm] sind, das hast du aber noch nicht gezeigt.
Wenn du das schon weißt dann zeig es doch auch:
Alle Elemente von $I$ sind Vielfache von $f$ und jedes Vielfache von $f$ liegt in $I$.
Damit ist $I = [mm] \langle [/mm] f [mm] \rangle$ [/mm] und das ist insbesondere ein Ideal; dann kannst du dir den Rest sparen. ;)
lg
Schadow
|
|
|
| |
|
Hey, danke für die Antwort
Stimmt, das könnte man ausbessern^^
I1) $ [mm] \mathcal{I} \not= \emptyset [/mm] $ :
z.B. f:= $ [mm] x^{p-1}-1 \in \mathcal{I} \Rightarrow \mathcal{I} \not= \emptyset [/mm] $
(da gilt $ [mm] a^{p-1} \equiv [/mm] $ 1 mod p)
I2) f,g [mm] \in \mathcal{I} \Rightarrow [/mm] f-g [mm] \in \mathcal{I}:
[/mm]
Alle Elemente von [mm] \mathcal{I} [/mm] haben die Form [mm] x^{n}(x^{p-1}-1), [/mm] n [mm] \in \IN, [/mm] denn es gilt
[mm] x^{p-1} \equiv [/mm] 1 mod p [mm] \gdw x^{p-1}-1|p, [/mm] sowie
[mm] x^{n}*x^{p-1} \equiv x^{n} [/mm] mod p [mm] \gdw x^{n}(x^{p-1}-1)|p, [/mm] mit n [mm] \in \IN
[/mm]
oder sie sind das Nullpolynom.
Also wenn f oder g das Nullpolynom, dann x-y [mm] \in \mathcal{I}.
[/mm]
Ansonsten f:= [mm] x^{n}(x^{p-1}-1), g:=x^{m}(x^{p-1}-1), [/mm] m,n [mm] \in \IN
[/mm]
[mm] f-g=\underbrace{(x^{n}-x^{m})}_{:=x^{k}}(x^{p-1}-1), [/mm] also [mm] \in \mathcal{I}
[/mm]
I3) f [mm] \in \mathcal{I}, [/mm] r [mm] \in [/mm] R [mm] \Rightarrow [/mm] rf [mm] \in \mathcal{I}:
[/mm]
Sei f Polynom mit f(a)=0, $ [mm] \forall [/mm] $ a $ [mm] \in \IZ_{p}: [/mm] $ r*f(a)=r*0=0 $ [mm] \in \mathcal{I} [/mm] $
Also $ [mm] \mathcal{I} [/mm] $ Ideal
Wie in I2) erläutert, wird das Ideal von [mm] f=x^{p-1}-1 [/mm] erzeugt, also [mm] \mathcal{I} [/mm] = <f>
LG,
derriemann
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:28 Di 03.12.2013 | | Autor: | felixf |
Moin!
> I1) [mm]\mathcal{I} \not= \emptyset[/mm] :
>
> z.B. f:= [mm]x^{p-1}-1 \in \mathcal{I} \Rightarrow \mathcal{I} \not= \emptyset[/mm]
> (da gilt [mm]a^{p-1} \equiv[/mm] 1 mod p)
Aber dieses $f$ liegt da doch gar nicht drinnen! Um [mm] $\mathcal{I} \neq \emptyset$ [/mm] zu zeigen nimm doch einfach 0.
Oder nimm $f := [mm] x^p [/mm] - x$ -- das ist auch der gesuchte Erzeuger.
> I2) f,g [mm]\in \mathcal{I} \Rightarrow[/mm] f-g [mm]\in \mathcal{I}:[/mm]
>
> Alle Elemente von [mm]\mathcal{I}[/mm] haben die Form
> [mm]x^{n}(x^{p-1}-1),[/mm] n [mm]\in \IN,[/mm] denn es gilt
Das stimmt nicht. Aber du machst es eh viel zu kompliziert.
Gilt $f(a) = 0$ und $g(a) = 0$ fuer jedes $a [mm] \in \IZ_p$, [/mm] so auch $(f - g)(a) = 0$ fuer jedes $a [mm] \in \IZ_p$. [/mm] Also $f, g [mm] \in \mathcal{I} \Rightarrow [/mm] f - g [mm] \in \mathcal{I}$.
[/mm]
> [mm]x^{p-1} \equiv[/mm] 1 mod p [mm]\gdw x^{p-1}-1|p,[/mm] sowie
Du meinst $p [mm] \mid (x^{p-1} [/mm] - 1)$. Und nicht umgekehrt.
Wie Schadow schrieb musst du hier aufpassen: du verwendest $x$ hier wieder fuer etwas anderes. Jetzt meinst du eine ganze Zahl damit, und nicht mehr eine Variable oder ein Polynom ueber [mm] $\IZ_p$.
[/mm]
> [mm]x^{n}*x^{p-1} \equiv x^{n}[/mm] mod p [mm]\gdw x^{n}(x^{p-1}-1)|p,[/mm]
> mit n [mm]\in \IN[/mm]
> oder sie sind das Nullpolynom.
Auch hier wieder: so stimmt das nicht.
>
> Also wenn f oder g das Nullpolynom, dann x-y [mm]\in \mathcal{I}.[/mm]
>
> Ansonsten f:= [mm]x^{n}(x^{p-1}-1), g:=x^{m}(x^{p-1}-1),[/mm] m,n
> [mm]\in \IN[/mm]
>
> [mm]f-g=\underbrace{(x^{n}-x^{m})}_{:=x^{k}}(x^{p-1}-1),[/mm] also
> [mm]\in \mathcal{I}[/mm]
Mach das doch nicht so kompliziert.
Um zu zeigen, dass [mm] $\mathcal{I}$ [/mm] von [mm] $x^p [/mm] - x$ erzeugt wird, mach eine Polynomdivision von $g [mm] \in \mathcal{I}$ [/mm] mit [mm] $x^p [/mm] - x$. Der Rest hat Grad $< p$ und liegt ebenfalls in [mm] $\mathcal{I}$. [/mm] Argumentiere, dass der Rest gleich 0 sein muss.
> I3) f [mm]\in \mathcal{I},[/mm] r [mm]\in[/mm] R [mm]\Rightarrow[/mm] rf [mm]\in \mathcal{I}:[/mm]
>
> Sei f Polynom mit f(a)=0, [mm]\forall[/mm] a [mm]\in \IZ_{p}:[/mm]
> r*f(a)=r*0=0 [mm]\in \mathcal{I}[/mm]
>
> Also [mm]\mathcal{I}[/mm] Ideal
Der Teil ist ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
LG Felix
>
> Wie in I2) erläutert, wird das Ideal von [mm]f=x^{p-1}-1[/mm]
> erzeugt, also [mm]\mathcal{I}[/mm] = <f>
>
> LG,
> derriemann
|
|
|
|
