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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 10:20 Mo 06.06.2005 | | Autor: | Kudi |
Hallo!
Wenn I und J Ideale im Ring R sind, und im weiteren gilt:I+J=R, wie zeigt man dann, dass IJ=I [mm] \capJ??
[/mm]
Vielen Dank, vielleicht hat ja jemand eine Idee!
Kudi
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Seien R = [mm] \IZ, [/mm] I = [mm] 2\IZ, [/mm] und [mm] J=3\IZ.
[/mm]
Dann gilt I+J = [mm] \IZ, [/mm] da -2 [mm] \in [/mm] I, 3 [mm] \in [/mm] J, und daher 1 = -2+3 [mm] \in [/mm] I+J.
Allerdings ist I*J = [mm] 6\IZ \not= [/mm] I, da jedes Produkt von Elementen aus I und J sowohl Vielfaches von 2 und 3 sein muss, und da 6=2*3 in I*J liegt.
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:23 Mi 08.06.2005 | | Autor: | Kudi |
Hallo!
mir ist wohl ein Fehler bei der Fragestellung unterlaufen. Es soll bei gleicher Angabe gezeigt werden, dass IJ=I [mm] \cap [/mm] J gilt
Vielleicht kanns ja noch mal jemand versuchen.
Danke
Euer Kudi
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Hallo!
Zunächst zeigst du, dass [mm] $IJ\subset I\cap [/mm] J$.
Dazu benutzt du die Idealeigenschaft: Sei [mm] $x\in [/mm] I,\ [mm] y\in [/mm] J$.
Weil $I$ ein Ideal ist und [mm] $y\in [/mm] R$, muss [mm] $xy\in [/mm] I$ gelten. Weil $J$ ein Ideal ist und [mm] $x\in [/mm] R$, muss [mm] $xy\in [/mm] J$ gelten. Insbesondere [mm] $xy\in I\cap [/mm] J$.
Jetzt musst du noch zeigen, dass [mm] $I\cap J\subset [/mm] IJ$.
Da habe ich ehrlich gesagt etwas Probleme mit... Hast du vielleicht wenigstens einen Ansatz?
Gruß, banachella
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:58 Mi 08.06.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo!
Die umgekehrte Inklusion ist im Allgemeinen falsch, sie gilt nur für maximale Ideale!!
Edit: Sorry, ich hatte die Voraussetzung [mm] $\red{I+J=R}$ [/mm] übersehen, das hat sich erledigt.
Gegenbeispiel:
[mm] $4\IZ \cdot [/mm] 6 [mm] \IZ [/mm] = [mm] 24\IZ$,
[/mm]
aber
$4 [mm] \IZ \cap 6\IZ [/mm] =12 [mm] \IZ$.
[/mm]
Liebe Grüße
Julius
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:49 Do 23.06.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo!
Noch einmal zur nichttrivialen Inklusion $I [mm] \cap J\subset [/mm] IJ$, die man aber nur unter der Voraussetzung zeigen kann, dass der Ring $R$ kommutativ ist:
Es sei $x [mm] \in [/mm] I [mm] \cap [/mm] J$. Nach Voraussetzung gibt es $i [mm] \in [/mm] I$ und $j [mm] \in [/mm] J$ mit
$i+j=1$,
also:
$x=xi+xj$.
Wegen
$xi [mm] \in [/mm] (I [mm] \cap [/mm] J)I [mm] \subset [/mm] JI=IJ$
und
$xj [mm] \in [/mm] (I [mm] \cap [/mm] J)J [mm] \subset [/mm] IJ$
folgt:
$x=xi+xj [mm] \in [/mm] IJ$.
Viele Grüße
Julius
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