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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:58 Sa 30.04.2011 | | Autor: | julmarie |
| Aufgabe | Seien I und J Ideale des Ringes R. zeigen Sie:
I+J := [mm] \{x +y \in R | x\in I, y\in J \}
[/mm]
ist ein Ideal in R |
Ich weiß was übrerprüft werden muss, damit es sich um ein Ideal handelt, kann dies aber nicht wirklich anwenden auf die Aufgaben, vielleicht kann mir ja jemand helfen, außerdem wird bei uns stark auf die Form geachet, vielleicht kann mich da jemand verbessern:
(1) 0 [mm] \in [/mm] I , also 0 [mm] \in [/mm] I und [mm] 0\in [/mm] J , x*0 = 0 [mm] \in [/mm] I und y*0=0 [mm] \in [/mm] J, also auch x*0 +y*0 = 0 [mm] \in [/mm] I+J
(2) [mm] \forall [/mm] a,b [mm] \in [/mm] I, a-b [mm] \in [/mm] I und [mm] \forall [/mm] a´,b´ [mm] \in [/mm] J, a´-b´ [mm] \J [/mm]
hier komme ich nicht weiter..
(3L) [mm] \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] I und r [mm] \in [/mm] R : rx [mm] \in [/mm] I und [mm] \forall [/mm] y [mm] \in [/mm] J und r [mm] \in [/mm] R : ry [mm] \in [/mm] J
Sei [mm] x\in [/mm] I, [mm] \exists [/mm] r [mm] \in [/mm] I , x=r. Sei [mm] r´\in [/mm] I , dann xr´=rr´ und das ist [mm] \I
[/mm]
Sei [mm] y\in [/mm] J, [mm] \exists [/mm] r [mm] \in [/mm] J , y=r. Sei [mm] r´\in [/mm] J , dann yr´=rr´ und das ist [mm] \J
[/mm]
Dann gilt auch xr´+yr´= rr´+rr´ [mm] \in [/mm] R
[mm] (3R)\forall [/mm] x [mm] \in [/mm] I und r [mm] \in [/mm] R : xr [mm] \in [/mm] I und [mm] \forall [/mm] y [mm] \in [/mm] J und r [mm] \in [/mm] R : yr [mm] \in [/mm] J
Das gleiche wie in (3L)
Kann man das so machen? Und wie kann ich das in (2) machen?
Wäre toll wenn mir jemand helfen könnte..
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:33 Sa 30.04.2011 | | Autor: | Lippel |
Hallo,
> (1) 0 [mm]\in[/mm] I , also 0 [mm]\in[/mm] I und [mm]0\in[/mm] J , x*0 = 0 [mm]\in[/mm] I
> und y*0=0 [mm]\in[/mm] J, also auch x*0 +y*0 = 0 [mm]\in[/mm] I+J
Das verstehe ich nicht. Es ist doch $0 [mm] \in [/mm] I$ und $0 [mm] \in [/mm] J$ und somit $0+0 [mm] \in [/mm] I+J$
>
> (2) [mm]\forall[/mm] a,b [mm]\in[/mm] I, a-b [mm]\in[/mm] I und [mm]\forall[/mm] a´,b´ [mm]\in[/mm]
> J, a´-b´ [mm]\J[/mm]
Du musst doch keine Elemente aus I und J nehmen, sondern zwei Elemente $x,y [mm] \in [/mm] I+J$ und dann zeigen, dass $x-y [mm] \in [/mm] I+J$. Das machst du so: $x [mm] \in [/mm] I, y [mm] \in [/mm] J [mm] \Rightarrow \exists a_1, a_2 \in [/mm] I, [mm] b_1, b_2 \in [/mm] J: x = [mm] a_1 [/mm] + [mm] b_1, [/mm] y= [mm] a_2 [/mm] + [mm] b_2 \Rightarrow x-y=(a_1-a_2)+(b_1-b_2) \in [/mm] I+J$, da [mm] $a_1-a_2 \in [/mm] I, [mm] b_1-b_2 \in [/mm] J$.
> hier komme ich nicht weiter..
>
> (3L) [mm]\forall[/mm] x [mm]\in[/mm] I und r [mm]\in[/mm] R : rx [mm]\in[/mm] I und [mm]\forall[/mm] y
> [mm]\in[/mm] J und r [mm]\in[/mm] R : ry [mm]\in[/mm] J
> Sei [mm]x\in[/mm] I, [mm]\exists[/mm] r [mm]\in[/mm] I , x=r. Sei [mm]r´\in[/mm] I , dann
> xr´=rr´ und das ist [mm]\I[/mm]
> Sei [mm]y\in[/mm] J, [mm]\exists[/mm] r [mm]\in[/mm] J , y=r. Sei [mm]r´\in[/mm] J , dann
> yr´=rr´ und das ist [mm]\J[/mm]
> Dann gilt auch xr´+yr´= rr´+rr´ [mm]\in[/mm] R
>
> [mm](3R)\forall[/mm] x [mm]\in[/mm] I und r [mm]\in[/mm] R : xr [mm]\in[/mm] I und [mm]\forall[/mm] y
> [mm]\in[/mm] J und r [mm]\in[/mm] R : yr [mm]\in[/mm] J
Ich verstehe nicht was du machst. Du nimmst einfach ein $x [mm] \in [/mm] I+J, r [mm] \in [/mm] R$ und zeigst, dass $rx [mm] \in [/mm] I+J$. Versuche es nochmal selbst.
LG Lippel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:25 So 01.05.2011 | | Autor: | julmarie |
ich weiß ehrlich gesagt nicht genau, wie ich das bei (3) schreiben soll..
ich probiere es nochmal:
Sei x [mm] \in [/mm] I+J, r [mm] \in [/mm] R
Zeige rx [mm] \in [/mm] I+J
x=r sei [mm] r´\in \IZ
[/mm]
xr´= rr´ und rr´ist in [mm] \IZ
[/mm]
ist das richtig? Oder kann mir jemand ein beispiel geben, wie man das machen kann?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:56 So 01.05.2011 | | Autor: | Lippel |
Hallo,
> ich weiß ehrlich gesagt nicht genau, wie ich das bei (3)
> schreiben soll..
>
> ich probiere es nochmal:
>
> Sei x [mm]\in[/mm] I+J, r [mm]\in[/mm] R
>
> Zeige rx [mm]\in[/mm] I+J
Soweit richtig.
> x=r sei [mm]r´\in \IZ[/mm]
Was willst du mit [mm] $\IZ$, [/mm] davon ist in der Aufgabe gar nicht die Rede. Außerdem hast du oben schon $r [mm] \in [/mm] R$ definiert.
Da $x [mm] \in [/mm] I+J$ gibt es $a [mm] \in [/mm] I, b [mm] \in [/mm] J: x=a+b [mm] \Rightarrow [/mm] rx = r(a+b) = ra+rb [mm] \in [/mm] I+J$, da $ra [mm] \in [/mm] I$ und $rb [mm] \in [/mm] J$, denn I und J sind Ideale. Fertig.
LG Lippel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:06 So 01.05.2011 | | Autor: | julmarie |
man da hatte ich ja ein Brett vorm Kopf.. vielen Dank!
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