Ideale Einheiten in Faktorring < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:18 Mo 27.03.2006 | | Autor: | cycilia |
| Aufgabe | K Körper, K[X] Polynomring über K, n [mm] \in \IN, [/mm] n>0 Zeigen Sie:
a) Der Ring [mm] K[X]/(X^n) [/mm] besitzt genau n+1 Ideale, genau eines dieser Ideale ist maximal
b) Berechn die Einheiten in [mm] K[X]/(X^n) [/mm] |
was ich weiss: Ideale wären additive Untergruppen von [mm] K[X]/(X^n) [/mm] mit Idealeigenschaft: r [mm] \in K[X]/(X^n), [/mm] a [mm] \in [/mm] Ideal => ra [mm] \in [/mm] Ideal
in einem Körper ist = maximales Ideal.
Korrespondenzsatz: Es gibt eine Bijektion der Ideale in K[X] in die Menge der Ideale in [mm] k[X]/(X^n).
[/mm]
das heisst: Aufgabenteil a ist eigentlich darauf reduzierbar die Anzahl der Ideale in K[X] zu bestimmen. Die Anzahl der maximalen Ideale kann nur 1 betragen, da K Körper.
Leider komme ich hier jetzt aber nicht mehr weiter. Kann jemand helfen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:19 Mo 27.03.2006 | | Autor: | Galois |
Hallo cycilia!
So ganz schlau werde ich aus dem, was Du schreibst, nicht, aber ich denke, folgende Idee könnte Dir weiterhelfen:
Ist I ein Ideal in [mm] $K[X]/(X^n)$ [/mm] und ist [mm] $\pi:K[X]\to K[X]/(X^n)$ [/mm] die Quotientenabbildung, so ist [mm] $\pi^{-1}(I)$ [/mm] ein das Polynom [mm] $X^n$ [/mm] enthaltendes Ideal in $K[X]$. Nun ist K[X] aber ein Hauptidealring! Welche Möglichkeiten bleiben daher für [mm] $\pi^{-1}(I)$?
[/mm]
Wenn Du alle Ideale kennst, siehst Du auch praktisch sofort, welche von ihnen ein maximales ist.
Zu Teil b):
Sei [mm] $p\in [/mm] K[X]$. Dann ist [mm] $\pi(p)$ [/mm] genau dann eine Einheit in [mm] $K[X]/(X^n)$, [/mm] wenn es ein [mm] $q\in [/mm] K[X]$ mit [mm] \pi(p)\pi(q)=\pi(1) [/mm] gibt, also mit [mm] $pq=1+rX^n$ [/mm] für ein geeignetes [mm] $r\in [/mm] K[X]$.
Das bedeutet aber nicht anderes, als daß sich die 1 in $K[X]$ als Linearkombination von p und [mm] $X^n$ [/mm] schreiben läßt. Und dies ist genau dann der Fall, wenn p und [mm] $X^n$ [/mm] teilerfremd sind!
Grüße,
Galois
![[]](/images/popup.gif) Bonner Matheforum
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:35 Mo 27.03.2006 | | Autor: | cycilia |
Neee, leider hilft mir das so nicht.
Warum ist [mm] X^n [/mm] in [mm] \pi^-1 [/mm] enthalten?
Wie sieht die Quotientenabbildung aus?
[mm] \pi(J) [/mm] = {a + [mm] (X^n): [/mm] a [mm] \in [/mm] J }, wenn J ein Ideal in K[X] ist. ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:08 Mo 27.03.2006 | | Autor: | Galois |
Hallo cycilia!
> Warum ist [mm]X^n[/mm] in [mm]\pi^-1[/mm] enthalten?
Es gilt [mm] $X^n\in\pi^{-1}(I)$, [/mm] da [mm] $X^n$ [/mm] unter [mm] $\pi$ [/mm] auf die Null in [mm] $K[X]/(X^n)$ [/mm] abgebildet wird (s.u.) und I als Ideal in [mm] $K[X]/(X^n)$ [/mm] natürlich insbesondere die Null enthält.
> Wie sieht die Quotientenabbildung aus?
> [mm]\pi(J) = \{a + (X^n): a \in J \}[/mm], wenn J ein Ideal in K[X] ist. ?
Ja, genau, sogar für jede Menge [mm] $J\subseteq [/mm] K[X]$. Die genaue Definition auf der Ebene einzelner Elemente [mm] $p\in [/mm] K[X]$ [mm] lautet:$\pi(p):=p+(X^n)$.
[/mm]
Mit anderen Worten: [mm] $\pi(p)$ [/mm] ist einfach die p enthaltende Nebenklasse des Ideals [mm] (X^n) [/mm] in K[X].
Hilft das weiter?
Grüße,
Galois
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:04 Di 28.03.2006 | | Autor: | cycilia |
So, nächster Versuch....
Also, da K ein Körper ist, ist K[X] ein Hauptiealring, dh. alle Ideale werden von einem Element erzeugt.
Ich nehme an, die Ideale in [mm] K[X]/(X^n) [/mm] haben die Form
[mm] (\bar [/mm] 0), [mm] (\bar [/mm] x), [mm] (\bar x^2),...., (\bar x^n-1) [/mm] und der gesamte Ring. Das
müsste ich ja aber eigentlich beweisen..... falls es denn stimmt.
Jetzt habe ich die Abbildung [mm] \pi^ [/mm] 1: [mm] K[X]/(X^n) [/mm] ----> K[X]. Es gilt [mm] (X^n) \in [/mm] Urbildmenge. Das ist mir mittlerweile klar. Aber wie kann ich die restlichen Elemente bestimmen? Die restlichen Elemente wären doch die Ideale in K[X] und die bin ich nicht wirklich in der Lage zu bestimmen.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:44 Di 28.03.2006 | | Autor: | Galois |
Hallo cycilia!
> Also, da K ein Körper ist, ist K[X] ein Hauptiealring, dh.
> alle Ideale werden von einem Element erzeugt.
Ja, genau. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Ich nehme an, die Ideale in [mm]K[X]/(X^n)[/mm] haben die Form [mm](\bar 0), (\bar x), (\bar x^2),\dots, (\bar x^n-1)[/mm] und der gesamte Ring. Das müsste ich ja aber eigentlich beweisen..... falls es denn stimmt.
Ja, das ist auch richtig.  Übrigens ist [mm] $\bar [/mm] x$ natürlich nichts anderes als mein [mm] $\pi(x)$.
[/mm]
Noch ein Hinweis zu Formeleingabe: Durch geschweifte Klammern kann man Ausdrücke zusammenfassen: Du meintest sicherlich [mm] $(\bar x^{n-1})$, [/mm] nicht
[mm] $(\bar x^n-1)$. [/mm] 
> Jetzt habe ich die Abbildung [mm]\pi^{-1}: K[X]/(X^n) \to K[X][/mm].
Vorsicht, das ist keine Abbildung! Wir haben nur die Abbildung [mm]\pi: K[X] \to K[X]/(X^n)[/mm]. Da diese nicht injektiv ist, besitzt sie kein Inverses. Gleichwohl ist für [mm] $I\subseteq K[X]/(X^n)$ [/mm] der "Ausdruck" [mm] $\pi^{-1}(I)$ [/mm] definiert, nämlich als das Urbild von I in $K[X]$. (Mehr brauchen wir im Folgenden auch nicht.)
> Es gilt [mm](X^n) \in[/mm] Urbildmenge. Das ist mir mittlerweile klar. Aber wie kann ich die restlichen Elemente bestimmen?
Wir wissen: Ist I ein Ideal in [mm]K[X]/(X^n)[/mm], so ist [mm] $\pi^{-1}(I)$ [/mm] ein Ideal in K[X]. (Falls Du es nicht weißt: Bitte anhand der Definition von "Ideal" überprüfen!) Jedes solche Ideal wird aber - K[X] ist Hauptidealring - von einem Element von K[X] erzeugt. Es gibt also ein Polynom [mm]p\in K[X][/mm] mit [mm] $(p)=\pi^{-1}(I)$. [/mm] Dann liegt aber insbesondere [mm] $X^n$ [/mm] in (p), d. h., [mm] $X^n$ [/mm] ist ein Vielfaches von p! Hm, da gibt es dann ja nur noch wenige Möglichkeiten, welches Polynom p so sein könnte...
Anschließend muß Du noch zeigen, daß [mm] $(\bar p)=(\pi(p))$ [/mm] tatsächlich I ergibt.
> Die restlichen Elemente wären doch die Ideale in K[X] und die bin ich nicht wirklich in der Lage zu bestimmen.
Hm. Vermutlich bringst Du gerade "Elemente" und "Ideale" durcheinander... ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
Grüße,
Galois
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:33 Di 28.03.2006 | | Autor: | cycilia |
[mm] \pi^{-1}(I) [/mm] = [mm] X^m [/mm] mit m teilt n, da [mm] (X^n) [/mm] in I enthalten ist ?
[mm] \pi(X^m) [/mm] = {a + [mm] (X^n): [/mm] a [mm] \in (X^m)} [/mm] = ?
eigentlich müsste ich doch folgendes bestimmen:
[mm] \pi^{-1}(\bar [/mm] 0) = [mm] (X^n) [/mm]
[mm] \pi^{-1}(\bar [/mm] x) = ????
usw. - da frage ich mich immer noch wie das gehen soll?
[mm] \pi((p))= {a+(X^n): a \in p} [/mm]
( [mm] \bar [/mm] x) = (x) + [mm] (X^n) [/mm] ?
[mm] \pi^{-1}(\bar [/mm] x) = [mm] \pi^{-1}((x) +(X^n)) [/mm] = ???
und dann zeigen dass [mm] \pi(0) [/mm] = [mm] (X^n) [/mm] usw.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:27 Di 28.03.2006 | | Autor: | Galois |
Hallo cycilia!
Zuerst noch ein weiterer Tip zum Formeleditor: Dein Text wird leicher lesbar, wenn Du Deine Formeln mit[mm] beginnst und mit [/mm] abschließt. Die Forensoftware versucht zwar, Formeln automatisch zu erkennen, aber das funktioniert nicht immer fehlerfrei.
Ferner sind innerhalb von Formeln geschweifte Klammern als\{ bzw. \} einzugeben - die Zeichen "{" und "}" haben ja wie erwähnt im Formeleditor eine andere Bedeutung.
Aber nun zum Thema.
> [mm]\pi^{-1}(I) = X^m[/mm] mit m teilt n, da [mm](X^n)[/mm] in I enthalten ist ?
Fast. Genauer gilt: [mm]\pi^{-1}(I) = (X^m)[/mm] mit [mm]X^m[/mm] teilt [mm]X^n[/mm] (oder äquivalent: [mm]m\le n[/mm]), da [mm](X^n)\subseteq \pi^{-1}(I)[/mm]. - Aber das meintest Du bestimmt auch, oder?
> [mm]\pi(X^m) = \{a + (X^n): a \in (X^m)\} = ?[/mm]
Richtig, aber so explizit brauchst Du das gar nicht. Um zu zeigen, daß tatsächlich [mm]\pi((X^m))=I[/mm] gilt, verwendest Du einfach das, was wir bereits wissen, nämlich [mm]\pi^{-1}(I)=(X^m)[/mm]. Es bleibt dann [mm]\pi(\pi^{-1}(I))=I[/mm] zu zeigen. Das folgt aber aus der Surjektivität von [mm]\pi[/mm].
> eigentlich müsste ich doch folgendes bestimmen:
>
> [mm]\pi^{-1}(\bar 0) = (X^n)[/mm]
> [mm]\pi^{-1}(\bar x) = ????[/mm]
>
> usw. - da frage ich mich immer noch wie das gehen soll?
Nein, das brauchst Du nicht. Deine Aufgabe ist, zu zeigen:
"Wenn [mm]I\subseteq K[X]/(X^n)[/mm] ein Ideal ist, dann ist I von der Form [mm] $(\bar X^m)$ [/mm] mit [mm]m\le n[/mm]."
Du fängst also mit dem Unbekannten I an, und versuchst, möglichst viel über I herauszufinden. (Wie wir oben sahen, hilft es dabei, möglichst viel über [mm] \pi^{-1}(I)$ [/mm] herauszufinden.) Informationen über [mm]\pi^{-1}(\bar x)[/mm] schaden dabei sicherlich nicht, helfen aber auch nicht wirklich weiter.
Hier daher nur zur Information: [mm]\pi^{-1}(\bar p)[/mm] besteht für [mm] $p\in [/mm] K[X]$ genau aus den Elementen von K[X], die in derselben Nebenklasse wie p liegen, d. h., es gilt [mm]\pi^{-1}(\bar p)=p+(X^n)[/mm] (was nichts anderes als [mm]\bar p[/mm] ist, aber das verwirrt jetzt wohl eher...)
Das Urbild [mm]\pi^{-1}((\bar p))[/mm] des von [mm] $\bar [/mm] p$ in [mm] $K[X]/(X^n)$ [/mm] aufgespannten Ideals ist übrigens das von p und [mm] $X^n$ [/mm] in K[X] aufgespannte Ideal.
> [mm] \pi((p))= \{a+(X^n): a \in p\}[/mm]
> [mm]( \bar x) = (x) + (X^n)[/mm] ?
In der ersten Zeile muß es hinten statt p ebenfalls (p) heißen; p ist selbst ja ein Polynom und keine Menge.
Zur zweiten Zeile: Das Ideal [mm] $(\bar [/mm] x)$ kann man sich explizit nicht wirklich gut vorstellen, da es eine Menge von Teilmengen von K[X] ist: Es besteht aus Elementen von [mm]K[X]/(X^n)[/mm], diese sind wieder Teilmengen von K[X] (nämlich Nebenklassen von [mm] $(X^n)$ [/mm] in K[X]). Die rechte Seite $(x) + [mm] (X^n)$ [/mm] ist hingegen die Summe von zwei Idealen in K[X] und damit eine Teilmenge von K[X] (nämlich das Ideal (x)).
Mir scheint es hilfreich zu sein, sich [mm] $R:=K[X]/(X^n)$ [/mm] statt als einen Quotienten als einen "eigenständigen" Ring vorzustellen. Die Abbildung [mm] $\pi:K[X]\to [/mm] R$ ist dann ein surjektiver Ring-Homomorphismus mit Kern [mm] $(X^n)$. [/mm] Die Information, wie R und [mm]\pi[/mm] konkret aussehen, braucht man dann gar nicht mehr, was das Leben deutlich vereinfacht.
So, das reicht für heute.
Grüße,
Galois
Bonner Matheforum
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:03 Mi 29.03.2006 | | Autor: | cycilia |
Danke :) Ja, irgendwie hatte ich leichte Schwierigkeiten mit dem Formeleditptor.... mit der Aufgabe befasse ich mich heute Mittag oder Abend nochmal (jetzt muss ich erstmal arbeiten) nur ein Test vorweg
[mm] \pi^{-1} [/mm]
Annahmen: innerhalb einer Formel fasst {} Ausdrücke zusammen, [mm] [/mm] gibt wie in HTML die Grenzen der Formel an. \ braucht man in Java auch um die Zeichen darzustellen,die sonst andere Bedeutung haben.... also ich sollte mehr drauf achten :) Die Vorschau klappt bei mir nicht, mein Browser braucht sehr sehr lange, um eine Formel darzustellen.
Danke im Voraus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:22 Mi 29.03.2006 | | Autor: | cycilia |
danke :) habs jetzt auch hinbekommen bzw. verstanden, gelöst hattest du es ja.
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