Ideale und Polynomringe < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:32 Mi 18.01.2012 | | Autor: | Physy |
| Aufgabe | Betrachte in dem Polynomring [mm] \IZ[X] [/mm] die beiden Ideale [mm] I_{1} [/mm] = (X) und [mm] I_{2} [/mm] = (2,X).
Entscheide, ob die Ideale prim bzw. maximal sind. |
Sry, dass ich noch einen "Ideal-Thread" eröffne aber ich komme mit diesen Aufgaben einfach noch nicht klar.
Dieser Polynomring ist ja die Menge aller Polynome mit Koeffizienten aus [mm] \IZ, [/mm] oder? Und für diesen gelten nun eben die Rechenregeln für + und * entsprechend eines Rings. Mehr heißt das ja zunächst nicht, wenn da [mm] \IZ[x] [/mm] steht, oder?
Jetzt weiß ich aber nicht wie ich anfangen soll, da ich keine Ahnung habe, was die Notation [mm] I_{1} [/mm] = (X) und [mm] I_{2} [/mm] = (2,X) überhaupt zu bedeuten hat...
Gruß und Danke :)
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> Betrachte in dem Polynomring [mm]\IZ[X][/mm] die beiden Ideale [mm]I_{1}[/mm]
> = (X) und [mm]I_{2}[/mm] = (2,X).
> Entscheide, ob die Ideale prim bzw. maximal sind.
>
> Sry, dass ich noch einen "Ideal-Thread" eröffne aber ich
> komme mit diesen Aufgaben einfach noch nicht klar.
>
> Dieser Polynomring ist ja die Menge aller Polynome mit
> Koeffizienten aus [mm]\IZ,[/mm] oder? Und für diesen gelten nun
> eben die Rechenregeln für + und * entsprechend eines
> Rings. Mehr heißt das ja zunächst nicht, wenn da [mm]\IZ[x][/mm]
> steht, oder?
Genau!
>
> Jetzt weiß ich aber nicht wie ich anfangen soll, da ich
> keine Ahnung habe, was die Notation [mm]I_{1}[/mm] = (X) und [mm]I_{2}[/mm]
> = (2,X) überhaupt zu bedeuten hat...
>
Das ist die Schreibweise für Ideale
[mm](A) = \{r_1a_1s_1+\dotsb+r_na_ns_n\mid r_i,s_i\in R, a_i\in A\}[/mm] Ist das von A erzeugte Ideal.
"Also stehen da die Erzeuger drin."
Für Primideale und maximale Ideale gibt es doch bestimmt bei dir auch eine Definition. Desweiteren kennst du doch auch
"Sei R ein kommutativer Ring mit 1 und [mm]\mathfrak{m}[/mm] ein Ideal in R, dann gilt
[mm]R/\mathfrak{m}[/mm] ist ein Körper <=> ....."
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:07 Mi 18.01.2012 | | Autor: | Physy |
Danke, für die schnelle Antwort.
Und heißt das in dem Fall jetzt, dass [mm] I_{1} [/mm] das kleinste Ideal ist, das von dem Polynom 1*x erzeugt wird? Und was bedeutet [mm] I_{2}=(2,X) [/mm] dann?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:30 Do 19.01.2012 | | Autor: | Physy |
Ich würde mich wirklich freuen, wenn mir jemand sagen kann, was mit (X) und (2,X) für Mengen gemeint sind :)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:47 Do 19.01.2012 | | Autor: | hippias |
> Danke, für die schnelle Antwort.
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> Und heißt das in dem Fall jetzt, dass [mm]I_{1}[/mm] das kleinste
> Ideal ist, das von dem Polynom 1*x erzeugt wird?
Richtig; man schreibt dafuer auch $RX$ (= alle Vielfachen von $X$), wenn $R$ der entsprechende Ring ist, also [mm] $\IZ[X]$ [/mm] hier.
> Und was
> bedeutet [mm]I_{2}=(2,X)[/mm] dann?
Analog ist [mm] $I_{2}$ [/mm] das von $2$ und $X$ erzeugte Ideal bzw. [mm] $I_{2}= [/mm] 2R+ XR$. Wenn man bedenkt, dass $R/RX$ soviel beduetet wie "setze $X=0$", dann kann man Vermutungen anstellen, was $R/XR$ eigentlich ergeben muesste und dann z.B. einen entsprechenden Homomorphismus von [mm] $R\to [/mm] ...$ angeben, dessen gleich [mm] $I_{1}$ [/mm] ist, um die Vermutung exakt zu beweisen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:19 Do 19.01.2012 | | Autor: | Physy |
Dann muss ich ja bei [mm] I_{1} [/mm] prüfen, ob [mm] R/I_{1} [/mm] ein Körper ist und [mm] R/I_{1}=\{r*X:r \in \IZ[X]\}, [/mm] also die Menge aller Polynome vom Grad größer gleich 1, oder? Aber dann gibt es ja gar kein multiplikativ Inverses für diese Polynome bzw. für Polynome allgemein...
Wo ist denn da mein Denkfehler?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:28 Do 19.01.2012 | | Autor: | Physy |
Also nicht die Polynome vom Grad größer gleich eins sondern alle Polynome vom grad größer gleich eins, die keinen konstanten Faktor enthalten.
Trotzdem: Wie komme ich zu den multiplikativen Inversen? Es muss ja gelten
[mm] (x+I_{1})*(y+I_{1})=(x*y)+I_{1}. [/mm] Dann müsste aber das multiplikative Inverse zu einem Polynom X in [mm] \IZ[X] [/mm] liegen. Aber das multiplikative Inverse eines Polynoms ist ja selbst kein Polynom mehr...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:43 Do 19.01.2012 | | Autor: | Physy |
Kann mir denn da jemand weiterhelfen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:39 Do 19.01.2012 | | Autor: | hippias |
> Dann muss ich ja bei [mm]I_{1}[/mm] prüfen, ob [mm]R/I_{1}[/mm] ein Körper
> ist und [mm]R/I_{1}=\{r*X:r \in \IZ[X]\},[/mm] also die Menge aller
Nein: Es ist [mm] $I_{1}=\{r*X:r \in \IZ[X]\}$, [/mm] nicht [mm] $R/I_{1}$; [/mm] in [mm] $R/I_{1}$ [/mm] werden alle Vielfachen von $X$ zu $0$. Was bleibt von [mm] $a_{0}+a_{1}X+a_{2}X^{2}+\ldots,$,wenn [/mm] alle Vielfachen von $X$ zu $0$ werden?
> Polynome vom Grad größer gleich 1, oder? Aber dann gibt
> es ja gar kein multiplikativ Inverses für diese Polynome
> bzw. für Polynome allgemein...
>
> Wo ist denn da mein Denkfehler?
[mm] $R/I_{1}$ [/mm] ist kein Koerper.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:50 Do 19.01.2012 | | Autor: | Physy |
[mm] \IZ[x]/I_{1} [/mm] = [mm] \{r+I_{1}:r \in \IZ[x]\}. [/mm] Warum sollten da alle Vielfachen von X zu 0 werden? und wie kann das denn ein Körper sein, es gibt doch gar keine Inversen bezüglich der Multiplikation...Und was wäre hier überhaupt unter der Addition zu verstehen? (r+I)+(k+I) ist das nun wie bei Normalteilern?
Oh, man ich bin total verwirrt...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:58 Do 19.01.2012 | | Autor: | hippias |
> [mm]\IZ[x]/I_{1}[/mm] = [mm]\{r+I_{1}:r \in \IZ[x]\}.[/mm] Warum sollten da
> alle Vielfachen von X zu 0 werden?
Die Restklasse [mm] $I_{1}$ [/mm] ist das neutrale Element der Addition im Faktorring [mm] $R/I_{1}$.
[/mm]
> und wie kann das denn
> ein Körper sein, es gibt doch gar keine Inversen
> bezüglich der Multiplikation
Wie ich bereits sagte: [mm] $R/I_{1}$ [/mm] ist KEIN Koerper!
> ...Und was wäre hier
> überhaupt unter der Addition zu verstehen? (r+I)+(k+I) ist
> das nun wie bei Normalteilern?
Ja.
>
> Oh, man ich bin total verwirrt...
Sieh Dir die Defition der Verknuepfungen im Faktorring an.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:07 Do 19.01.2012 | | Autor: | Physy |
Tut mir leid, ich habe EIN gelesen. Dann ist [mm] I_{2} [/mm] ja auch kein Körper, weil hier gibt es ja auch keine inversen Elemente. Also sind beide Ideale nicht maximal.
Dann könnte ich ja nur noch zeigen, dass es sich um Primideale handelt. Das Einselement gibt es ja mit [mm] 1\not=0. [/mm] Es gilt ja auch die Kommutativität und aus x*b=0 folgt x=0 [mm] \vee [/mm] b=0. Dann wären [mm] I_{1} [/mm] und [mm] I_{2} [/mm] Integritätsringe. Und dazu hatten wir einen Satz, der sagt, dass das Ideal dann ein Primideal ist und ich wäre fertig.
Ich versteh nicht ganz, warum alle Vielflachen von X zu 0 werden sollten?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:03 Fr 20.01.2012 | | Autor: | Physy |
Bitte verrat mir doch noch, warum alle Vielfachen von X zu 0 werden bzw. was an meiner letzten Argumentation falsch ist :)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:43 Fr 20.01.2012 | | Autor: | hippias |
> Tut mir leid, ich habe EIN gelesen. Dann ist [mm]I_{2}[/mm] ja auch
> kein Körper, weil hier gibt es ja auch keine inversen
> Elemente. Also sind beide Ideale nicht maximal.
Nein, [mm] $I_{2}$ [/mm] ist maximal.
>
> Dann könnte ich ja nur noch zeigen, dass es sich um
> Primideale handelt. Das Einselement gibt es ja mit [mm]1\not=0.[/mm]
> Es gilt ja auch die Kommutativität und aus x*b=0 folgt x=0
> [mm]\vee[/mm] b=0. Dann wären [mm]I_{1}[/mm] und [mm]I_{2}[/mm] Integritätsringe.
Nein, es sind [mm] $R/I_{1}$ [/mm] und [mm] $R/I_{2}$ [/mm] Integritaetsringe; Du musst die Verknuepfungen fuer die Aequivalenzklassen der Faktorringe benutzen; ich sehe nicht, dass Du dies hier getan, noch irgendwelche Eigenschaften der konkreten Ideale [mm] $I_{1}$ [/mm] oder [mm] $I_{2}$ [/mm] gebraucht haettest.
> Und dazu hatten wir einen Satz, der sagt, dass das Ideal
> dann ein Primideal ist und ich wäre fertig.
>
> Ich versteh nicht ganz, warum alle Vielflachen von X zu 0
> werden sollten?
Entweder: Die Restklasse [mm] $X+I_{1}= I_{1}$, [/mm] und da [mm] $I_{1}$ [/mm] das neutrale Element der Addition im Faktorring [mm] $R/I_{1}$ [/mm] ist, wird $X$ in diesem Sinne zu $0$ - natuerlich die $0$ aus [mm] $R/I_{1}$!;
[/mm]
oder: Betrachte den natuerlichen Epimorphismus [mm] :$R\to R/I_{1}$ [/mm] mit [mm] $y\mapsto y+I_{1}$, [/mm] dessen Kern [mm] $=I_{1}$ [/mm] ist; dann bildet dieser Homomorphismus $X$ auf $0$ ab, weil nach Definition [mm] $X\in I_{1}$ [/mm] ist.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:22 Fr 20.01.2012 | | Autor: | Physy |
Um zu zeigen, dass [mm] R/I_{1} [/mm] und [mm] R/I_{2} [/mm] Integritätsringe sind brauche ich doch die Eigenschaften aus den I's gar nicht.
Zunächstmal ist [mm] R/I_{1,2} [/mm] ein Ring, da die I's Ideale sind und R ein Ring ist.
[mm] I_{1,2} [/mm] sei nun ein beliebiges der beiden Ideale.
Dann ist [mm] (1+I_{1,2})*(x+I_{1,2})=x+I_{1,2} [/mm] mit 1 ist in [mm] \IZ[x], [/mm] x [mm] \in \IZ[x] [/mm] beliebig und 1 [mm] \not= [/mm] 0.
Weiterhin ist [mm] (x+I_{1,2})*(y+I_{1,2})=(xy)+I_{1,2}=(yx)+I_{1,2}, [/mm] also kommutativ.
Das Nullelement bzgl. + ist [mm] 0+I_{1,2} [/mm] und es gilt [mm] (xy)+I_{1,2} [/mm] = 0 + [mm] I_{1,2} [/mm] => x=0 oder y=0, also nullteilerfrei.
Also sind [mm] I_{1,2} [/mm] Integritätsringe und somit beide prim.
Falls [mm] I_{1,2} [/mm] maximal wären, so müssten [mm] \IZ[x] [/mm] ein Körper sein, also insbesondere müssten Inverse existieren (bzgl. Multiplikation. Aber: [mm] (3+I_{1,2})*(x+I_{1,2})=(3y)+I_{1,2}. [/mm] Dann müsste x=(1/3) sein, was nicht in den ganzen Zahlen liegt.
Das stimmt doch so alles, oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:06 Fr 20.01.2012 | | Autor: | hippias |
> Um zu zeigen, dass [mm]R/I_{1}[/mm] und [mm]R/I_{2}[/mm] Integritätsringe
> sind brauche ich doch die Eigenschaften aus den I's gar
> nicht.
Tja, wenn Du meinst...
>
> Zunächstmal ist [mm]R/I_{1,2}[/mm] ein Ring, da die I's Ideale sind
> und R ein Ring ist.
>
> [mm]I_{1,2}[/mm] sei nun ein beliebiges der beiden Ideale.
> Dann ist [mm](1+I_{1,2})*(x+I_{1,2})=x+I_{1,2}[/mm] mit 1 ist in
> [mm]\IZ[x],[/mm] x [mm]\in \IZ[x][/mm] beliebig und 1 [mm]\not=[/mm] 0.
> Weiterhin ist
> [mm](x+I_{1,2})*(y+I_{1,2})=(xy)+I_{1,2}=(yx)+I_{1,2},[/mm] also
> kommutativ.
> Das Nullelement bzgl. + ist [mm]0+I_{1,2}[/mm] und es gilt
So weit, so richtig.
> [mm](xy)+I_{1,2}[/mm] = 0 + [mm]I_{1,2}[/mm] => x=0 oder y=0, also
> nullteilerfrei.
Das wird Dir keiner abkaufen.
> Also sind [mm]I_{1,2}[/mm] Integritätsringe und somit beide prim.
>
> Falls [mm]I_{1,2}[/mm] maximal wären, so müssten [mm]\IZ[x][/mm] ein
> Körper sein,
Das ist Unsinn.
> also insbesondere müssten Inverse existieren
> (bzgl. Multiplikation. Aber:
> [mm][mm] (3+I_{1,2})*(x+I_{1,2})=(3y)+I_{1,2}
[/mm]
Das ist kein Unsinn mehr...
> Dann müsste x=(1/3)
> sein,
... aber wieder hier ...
> was nicht in den ganzen Zahlen liegt.
... stimmt zwar, ist hier aber irrelevant.
>
> Das stimmt doch so alles, oder?
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:04 Fr 20.01.2012 | | Autor: | Physy |
Sry, wegen meiner ewigen Fragen-Posterei. Ich bin kein Mathematiker :)
Ich meinte, dann müsste [mm] \IZ[x]/I_{1,2} [/mm] ein Körper sein.
Aus x*y=0 folgt doch x=0 oder y=0...Das habe ich in meinem Skript stehen.
x*3=1. Was soll denn das Inverse zu 3 sein, wenn nicht x=(1/3)? Und warum ist das irrelevant? Das "Polynom" (1/3) liegt nicht in [mm] \IZ[x], [/mm] also kann es auch kein Inverses geben.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:27 Fr 20.01.2012 | | Autor: | hippias |
> Sry, wegen meiner ewigen Fragen-Posterei. Ich bin kein
> Mathematiker :)
Ich beantworte Deine Fragen gerne, wenn ich kann.
>
> Ich meinte, dann müsste [mm]\IZ[x]/I_{1,2}[/mm] ein Körper sein.
>
> Aus x*y=0 folgt doch x=0 oder y=0...Das habe ich in meinem
> Skript stehen.
Ja, aber Du musst im Faktorring [mm] $R/I_{1}$ [/mm] rechnen: Wenn $xy+ [mm] I_{1}= [/mm] 0+ [mm] I_{1}$ [/mm] in [mm] $R/I_{1}$, [/mm] dann ist das aequivalent dazu, dass [mm] $xy\in I_{1}$. [/mm] Jetzt musst Du schlussfolgern, dass $x+ [mm] I_{1}=0+ I_{1}$ [/mm] in [mm] $R/I_{1}$ [/mm] oder $y+ [mm] I_{1}= [/mm] 0+ [mm] I_{1}$ [/mm] in [mm] $R/I_{1}$; [/mm] also wiederum aequivalent umformuliert: es ist zu zeigen, dass [mm] $x\in I_{1}$ [/mm] ist, oder [mm] $y\in I_{1}$. [/mm] Und um dies zu sehen, geht natuerlich die Definition von [mm] $I_{1}$ [/mm] ein: [mm] $I_{1}$ [/mm] besteht aus allen Vielfachen von $X$, sodass Deine Aufgabe so formuliert werden kann: Zeige, wenn $xy$ ein Vielfaches von $X$ ist, dann ist $x$ oder $y$ ein Vielfaches von $X$. Und wenn Du das hast, dann bist Du auch schon fertig.
>
> x*3=1. Was soll denn das Inverse zu 3 sein, wenn nicht
> x=(1/3)? Und warum ist das irrelevant? Das "Polynom" (1/3)
> liegt nicht in [mm]\IZ[x],[/mm] also kann es auch kein Inverses
> geben.
Weil Du nicht im Faktorring, sondern in $R$ gerechnet hast; in [mm] $R/I_{2}$ [/mm] wird $3$ - genauer $3+ [mm] I_{2}$ [/mm] - ein Inverses besitzen, obwohl auch hier keineswegs [mm] $\frac{1}{3}\in R/I_{2}$ [/mm] ist.
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