Identität < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:42 So 03.12.2006 | | Autor: | papillon |
| Aufgabe | Zeigen Sie dass gilt:
[mm] \integral_{k(1,0)}^{} [/mm] { [mm] \bruch{e^{z-\bruch{1}{z}}}{z^{n+1}} [/mm] dz} =
i [mm] \integral_{0}^{2\pi}{\cos(2\sin(x)-nx) dx}
[/mm]
wobei k(1,0) der kreis um 0 mit Radius 1 sei. |
Hallo!
Leider fehlen mit hier die Ideen....
Der rechte Teil gleicht irgendwie dem Mittelwertsatz, aber das hilft mir nicht weiter. Wenn ich parametriesiere mit [mm] r*e^{i\phi} [/mm] wird es auch nicht einfacher.
Wer weiß mehr?
Danke!
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:13 So 03.12.2006 | | Autor: | SEcki |
> Der rechte Teil gleicht irgendwie dem Mittelwertsatz, aber
> das hilft mir nicht weiter. Wenn ich parametriesiere mit
> [mm]r*e^{i\phi}[/mm] wird es auch nicht einfacher.
Doch, doch, soltle es werden, hab ich nicht ausgerechnet, da aber bei dir überhaupt keine Rechnungen stehen ... Hier ist ja r gleich 1 und der Winkel läuft genau zwischen 0 und [m]2\pi[/m], also paramterisiert du durch [m]e^{i\phi},0\le\phi<2\pi[/m]. Damit wird auch [m]z-\bruch{1}{z}[/m] einfacher. (Was ist denn hier das Inverse?). Dann sollte man alles auf einen Exponenten kriegen, und dann müsste man vereinfachen können!
SEcki
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:50 So 03.12.2006 | | Autor: | papillon |
Danke erstmal!
Tatsächlich, das hilft schon weiter, wenn man es richtig macht...
Allerdings bekomme ich immer noch nicht ganz das gesuchte raus:
[mm] \integral_{k}^{}{ \bruch{e^{z-\bruch{1}{z}}{z^{n+1}}} dz} [/mm] = i [mm] \integral_{0}^{2\pi}{\bruch{e^{e^{i\phi}-e^{-i\phi}}}-{e^{in\phi} d\phi} = i\integral_{0}^{2\pi}{e^{i(2\sin(\phi)-n\phi)}} d\phi}=\integral_{0}^{2\pi}{cos(2\sin(\phi)-n\phi) d\phi} [/mm] - [mm] \integral_{0}^{2\pi}{2\sin(\phi)-n\phi) d\phi}
[/mm]
Der letzte teil ist doch zuviel? Wie kriege ich den weg?
Danke nochmal!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:06 So 03.12.2006 | | Autor: | SEcki |
> Tatsächlich, das hilft schon weiter, wenn man es richtig
> macht...
Eh, ja, ...
> Allerdings bekomme ich immer noch nicht ganz das gesuchte
> raus:
>
> [mm]\integral_{k}^{}{ \bruch{e^{z-\bruch{1}{z}}{z^{n+1}}} dz}[/mm] =
> i
> [mm]\integral_{0}^{2\pi}{\bruch{e^{e^{i\phi}-e^{-i\phi}}}-{e^{in\phi} d\phi} = i\integral_{0}^{2\pi}{e^{i(2\sin(\phi)-n\phi)}} d\phi}=\integral_{0}^{2\pi}{cos(2\sin(\phi)-n\phi) d\phi}[/mm]
> - [mm]\integral_{0}^{2\pi}{2\sin(\phi)-n\phi) d\phi}[/mm]
Da ist viel Kraut und viel Rüben - und wirklich leserlich ist's auch nicht. Auf einmal rutscht da etwas vom nenner in den Zähler - das hebt sich dann wieer weg. Du hast im übrigen die Ableitung vergessen, also [m]i*e^{i\phi}[/m]! ZDas hebt sich aber auf, in dem du das quasi ignoriest. Zum letzen Teil: irgednwie fehlt da auch 'ne Klammer, und ein Sinus, oder? Sei's drum, Ideen für sowas sind immer: zeige das das Integral rein imgaginär sein muß, dann fällt der zweite Teil weg. Und dazu standardmäßig komplexe Konjugation verwenden. Vielleicht klappt das. Vielleicht muss man bei dem Integral genauer wegdiskutieren. Seh ich gerade nicht.
SEcki
|
|
|
| |
|
Hallo SEcki!
Vielen Dank erstmal für die Tipps. War gestern leider extrem in eile, sonst hätte ich diesen "Kraut und rüben"-Mist schnell noch schöner hingeschrieben.
Ich bin also soweit gekommen, dass ich das imaginäre (erwünschte) und das reelle (das wegfallen muss) Integral herausbekommen habe. Aber wie stelle ich das an, dass ich beweise dass letzteres wegfällt?
Kann man sagen, dass das Integral über den Sinus von 0 bis [mm] 2\pi [/mm] geht, und sich daher aufhebt? Dann wäre es doch beim cosinus das gleiche, und dieser würde auch wegfallen, oder?
Wie genau soll denn das mit der komplexen Konjugation funktionieren? Habe ich noch nie gehört, wäre interessant zu wissen wie das geht!
Vielen Dank nochmal!
Papillon
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:05 Di 05.12.2006 | | Autor: | SEcki |
> Kann man sagen, dass das Integral über den Sinus von 0 bis
> [mm]2\pi[/mm] geht, und sich daher aufhebt? Dann wäre es doch beim
> cosinus das gleiche, und dieser würde auch wegfallen,
> oder?
Eben, vielleicht fällt der Ausdruck blos beim Sinus weg. Musste vielleicht konkret nachrechnen.
> Wie genau soll denn das mit der komplexen Konjugation
> funktionieren? Habe ich noch nie gehört, wäre interessant
> zu wissen wie das geht!
[m]\overline{z}=-z\Rightarrow z\in \IR*i[/m]. Ähnlich wenn es rell sein soll. Mit solchen TRicks, da man das ins Integral reinziehen kann, kann man öfters zeigen, dass das Integral rell, imgainär sein muss.
Für den konkrten fall sehe ich aber (noch) nichts.
SEcki
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:20 Mi 06.12.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
