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Hallo. Ich habe ein kleines Problem mit einer Aufgabe, bei der es um den Beweis der Identität geht. Ich habe irgendwie das Gefühl ich muss hier anders rangehen als gewohnt.
Die Aufgabe lautet:
[mm] artanh(x)=\bruch{1}{2}ln(\bruch{1+x}{1-x})
[/mm]
artanh ist selbstverständlich die Umkerhfunktion von tanh allerdings ist dazu noch folgendes definiert. Nämlich tanh : [mm] \IR \to [/mm] ]-1,1[
Was muss ich jetzt hier machen wenn die mir noch zusätzlich ein Intervall vorgeben???
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> Hallo. Ich habe ein kleines Problem mit einer Aufgabe, bei
> der es um den Beweis der Identität geht. Ich habe irgendwie
> das Gefühl ich muss hier anders rangehen als gewohnt.
> Die Aufgabe lautet:
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> [mm]artanh(x)=\bruch{1}{2}ln(\bruch{1+x}{1-x})[/mm]
>
> artanh ist selbstverständlich die Umkerhfunktion von tanh
> allerdings ist dazu noch folgendes definiert. Nämlich tanh
> : [mm]\IR \to[/mm] ]-1,1[
> Was muss ich jetzt hier machen wenn die mir noch
> zusätzlich ein Intervall vorgeben???
Das Intervall $]-1;+1[$ für den Bildbereich von [mm] $\tanh$ [/mm] ist ja nicht willkürlich vorgegeben, es ergibt sich aus der Definition von [mm] $\tanh$. [/mm] Welche Definition von [mm] $\tanh$ [/mm] darfst Du verwenden? Etwa
[mm]\tanh(y)=\frac{\sinh(y)}{\cosh(y)}[/mm]
bzw. nach Einsetzen der Definitionen von [mm] $\sinh$ [/mm] und [mm] $\cosh$:
[/mm]
[mm]\tanh(y)=\frac{\mathrm{e}^y-\mathrm{e}^{-y}}{\mathrm{e}^y+\mathrm{e}^{-y}}[/mm]
Aus dieser Definition von [mm] $\tanh$ [/mm] ergibt sich schon, dass der Wertebereich von [mm] $\tanh$ [/mm] gleich $]-1;+1[$ ist.
Um [mm] $y=\mahtrm{artanh}(x)$ [/mm] zu bestimmen, musst Du die Gleichung
[mm]x=\frac{\mathrm{e}^y-\mathrm{e}^{-y}}{\mathrm{e}^y+\mathrm{e}^{-y}}[/mm]
einfach nach $y$ auflösen. Dies sollte die oben behauptete Identität ergeben, denn es ist ja [mm] $y=\mahtrm{artanh}(x)$.
[/mm]
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Okay Dankeschön zunächst. Also ich würde das was jetzt da steht als [mm] x=\bruch{e^y-e^-^y}{e^y+e^-^y} [/mm] zunächst zusammenfassen. Das würde aber meiner Meinung dazu führen, dass sich y aufhebt. Ich hätte dann etwas dazustehen wie [mm] \bruch{0}{2e}
[/mm]
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> Okay Dankeschön zunächst. Also ich würde das was jetzt da
> steht als [mm]x=\bruch{e^y-e^-^y}{e^y+e^-^y}[/mm] zunächst
> zusammenfassen. Das würde aber meiner Meinung dazu führen,
> dass sich y aufhebt. Ich hätte dann etwas dazustehen wie
> [mm]\bruch{0}{2e}[/mm]
Verstehe ich nicht. Wie wär's mit folgendem Anfang
[mm]\begin{array}{lcll}
x &=& \frac{\mathrm{e}^y-\mathrm{e}^{-y}}{\mathrm{e}^y+\mathrm{e}^{-y}} &\text{mit $\mathrm{e}^y$ erweitern}\\[.3cm]
x &=& \frac{\mathrm{e}^{2y}-1}{\mathrm{e}^{2y}+1} &\text{nun einfach nach $\mathrm{e}^{2y}$ auflösen und $\ln$ anwenden}
\end{array}[/mm]
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Krass ich kriegs einfach nicht... Vielleicht liegts an der Aufgabe aber ich kann mich vor lauter stress irgendwie nicht konzentieren. :-(.
Ja ist klar das Ergebnis. Weiß auch nicht was ich mir dabei gedacht habe die Potenzen gegenseitig aufzuheben. Sorry ich schaffs mit der Aufgabe nicht. Ich lass die mal.
Kannst du mir vielleicht bei einer anderen behilflich sein? Die ist auch bischen leichter für mich glaube ich!!!
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> Krass ich kriegs einfach nicht... Vielleicht liegts an der
> Aufgabe aber ich kann mich vor lauter stress irgendwie
> nicht konzentieren. :-(.
> Ja ist klar das Ergebnis. Weiß auch nicht was ich mir
> dabei gedacht habe die Potenzen gegenseitig aufzuheben.
> Sorry ich schaffs mit der Aufgabe nicht. Ich lass die mal.
>
[mm]\begin{array}{lcll} x &=& \frac{\mathrm{e}^y-\mathrm{e}^{-y}}{\mathrm{e}^y+\mathrm{e}^{-y}} &\text{mit $\mathrm{e}^y$ erweitern}\\[.3cm] x &=& \frac{\mathrm{e}^{2y}-1}{\mathrm{e}^{2y}+1} &\text{nun nach $\mathrm{e}^{2y}$ auflösen}\\
\mathrm{e}^{2y} &=& \frac{1+x}{1-x} &\text{beidseitig $\ln$ anwenden}\\
2y &=& \ln\frac{1+x}{1-x}\\
y &=& \frac{1}{2}\ln\frac{1+x}{1-x}&\text{(was zu zeigen war)}\end{array}[/mm]
> Kannst du mir vielleicht bei einer anderen behilflich sein?
Kaum noch heute Abend: Ich werde nun bald vom Netz gehen. - Aber ich bin ja nicht der einzige, der hier Antworten gibt (ahem: zu geben versucht) 
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 Dankeschön trotzdem für die Lösung.
Also gut ich Poste mal dennoch die Aufgabe. Mit fehlt ja nur noch ein kleines bischen!!!
Also ich habe folgende Aufgabe:
[mm] sinh(x)-sinh(y)=2cosh(\bruch{x+y}{2})\*sinh(\bruch{x-y}{2}
[/mm]
Linke Seite: [mm] \bruch{e^x-e^-^x}{2}-\bruch{e^y-e^-^y}{2}
[/mm]
Rechte Seite: [mm] cosh(x+y)\*sinh(\bruch{x-y}{2})=cosh(x)cosh(y)+sinh(x)sinh(y)\*sinh(\bruch{x-y}{2})=(\bruch{e^x+e^-^x}{2}\*\bruch{e^y+e^-^y}{2})+(\bruch{e^x-e^-^x}{2}\*\bruch{e^y-e^-^y}{2})\*(sinh(\bruch{x-y}{2})
[/mm]
Ab hier verzettel ich mich irgendwie vielleicht habe ich mich auch schon früher verzettelt. Aber ich weiß nicht, wie es mit dem [mm] sinh(\bruch{x-y}{2}) [/mm] weiter gehen soll!!!
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> Dankeschön trotzdem für die Lösung.
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> Also gut ich Poste mal dennoch die Aufgabe. Mit fehlt ja
> nur noch ein kleines bischen!!!
>
> Also ich habe folgende Aufgabe:
>
> [mm]sinh(x)-sinh(y)=2cosh(\bruch{x+y}{2})\*sinh(\bruch{x-y}{2}[/mm]
>
> Linke Seite: [mm]\bruch{e^x-e^-^x}{2}-\bruch{e^y-e^-^y}{2}[/mm]
>
> Rechte Seite:
> [mm]cosh(x+y)\*sinh(\bruch{x-y}{2})=cosh(x)cosh(y)+sinh(x)sinh(y)\*sinh(\bruch{x-y}{2})=(\bruch{e^x+e^-^x}{2}\*\bruch{e^y+e^-^y}{2})+(\bruch{e^x-e^-^x}{2}\*\bruch{e^y-e^-^y}{2})\*(sinh(\bruch{x-y}{2})[/mm]
Ich verstehe nicht, was Du hier machst. Die rechte Seite der fraglichen Identität formst Du doch so um:
[mm]\begin{array}{lcll}
2\cosh\frac{x+y}{2}\cdot\sinh\frac{x-y}{2} &=& 2\frac{\mathrm{e}^{\frac{x+y}{2}}+\mathrm{e}^{-\frac{x+y}{2}}}{2}\cdot\frac{\mathrm{e}^{\frac{x-y}{2}}-\mathrm{e}^{-\frac{x-y}{2}}}{2}\\
&=& \frac{\mathrm{e}^{\frac{x+y}{2}}\cdot\mathrm{e}^{\frac{x-y}{2}}-\mathrm{e}^{\frac{x+y}{2}}\cdot\mathrm{e}^{-\frac{x-y}{2}}+\mathrm{e}^{-\frac{x+y}{2}}\cdot\mathrm{e}^{\frac{x-y}{2}}-\mathrm{e}^{-\frac{x+y}{2}}\cdot\mathrm{e}^{-\frac{x-y}{2}}}{2}\\
&=&\frac{\mathrm{e}^{x}-\mathrm{e}^{y}+\mathrm{e}^{-y}-\mathrm{e}^{-x}}{2}\\
&=&\ldots
\end{array}[/mm]
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Na ich forme das immer per definition um!!!
So ist z.B.:
[mm] cosh(x)=\bruch{e^x+e^-x}{2},
[/mm]
[mm] sinh(x)=\bruch{e^x-e^-^x}{2}
[/mm]
Und dann gibt es dort noch andere Regeln die ma anwenden kann. Wenn das alles einfacher geht. Dann bin ich ehrlich gesagt ganz Ohr!!! Besser als diese ganzen Definitionen zu lernen.
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> Na ich forme das immer per definition um!!!
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> So ist z.B.:
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> [mm]cosh(x)=\bruch{e^x+e^-x}{2},[/mm]
> [mm]sinh(x)=\bruch{e^x-e^-^x}{2}[/mm]
>
> Und dann gibt es dort noch andere Regeln die ma anwenden
> kann. Wenn das alles einfacher geht. Dann bin ich ehrlich
> gesagt ganz Ohr!!! Besser als diese ganzen Definitionen zu
> lernen.
Nein, nein: es ist schon gut, dass Du diese Definitionen von [mm] $\cosh$ [/mm] und [mm] $\sinh$ [/mm] verwendest. Etwas anderes habe ich in meiner ersten Antwort auf Deine Frage auch gar nicht gemacht. Nur war das Argument des [mm] $\cosh$ [/mm] eben [mm] $\frac{x+y}{2}$ [/mm] und das Argument des [mm] $\sinh$ [/mm] war [mm] $\frac{x-y}{2}$. [/mm] Deshalb bläst sich die so ausformulierte rechte Seite der zu beweisenden Identität zunächst einmal gewaltig auf, fällt dann aber, nach Ausmultiplizieren und Anwenden des Potenzgesetzes [mm] $\mathrm{e}^u\cdot\mathrm{e}^v=\mathrm{e}^{u+v}$ [/mm] schnell in sich zusammen und ergibt gerade [mm] $\sinh(x)-\sinh(y)$ [/mm] was ja zu beweisen war.
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Ja deshalb finde ich das bei mir auch so unübersichtlich und verlier schnell den Überblick und die ganzen Definitionen anzuwenden ist auch nicht leicht!!!
So wusste ich jetzt z.B. nicht, ob ich [mm] sinh(\bruch{x-y}{2}) [/mm] durch irgednwelche vorgegebenen Definitionen ersetze oder halt ganz normal ausmultipliziere und dann durch die bekannten Definitionen ersetze!!! Wobei letzteres ja nunmal richtig war!!!
Also ist die Aufgabe auch schon abgehakt dankeschön. ich probier nun noch eine einzige du musst mir ja nicht unbedingt helfen! Vielleicht findet sich auch jmd. anderes! Dankeschön aufjedenfall bis hierhin für alles.
Die Aufgabe lautet nun: [mm] cosh^2(x)+sinh^2(x)=cosh(2x)
[/mm]
Hier habe ich zuallererst ne frage ich habe definitionen zu [mm] cosh^2(x)-sinh^2(x)=1 [/mm] gefunden und eine zu [mm] cosh^2(x)+sinh^2(x)=cosh(2x). [/mm] Letztere beschreibt ja gerade unser Problem! Das wäre ja eigentlich zu einfach!
Desweiteren habe ich folegende definition gefunden zu sinh(2x)=2sinh(x)cosh(x). gibt es ähnliche definition auch für cosh(2x)=
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> Ja deshalb finde ich das bei mir auch so unübersichtlich
> und verlier schnell den Überblick und die ganzen
> Definitionen anzuwenden ist auch nicht leicht!!!
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> So wusste ich jetzt z.B. nicht, ob ich [mm]sinh(\bruch{x-y}{2})[/mm]
> durch irgednwelche vorgegebenen Definitionen ersetze oder
> halt ganz normal ausmultipliziere und dann durch die
> bekannten Definitionen ersetze!!! Wobei letzteres ja nunmal
> richtig war!!!
>
> Also ist die Aufgabe auch schon abgehakt dankeschön. ich
> probier nun noch eine einzige du musst mir ja nicht
> unbedingt helfen! Vielleicht findet sich auch jmd. anderes!
> Dankeschön aufjedenfall bis hierhin für alles.
>
> Die Aufgabe lautet nun: [mm]cosh^2(x)+sinh^2(x)=cosh(2x)[/mm]
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> Hier habe ich zuallererst ne frage ich habe definitionen zu
> [mm]cosh^2(x)-sinh^2(x)=1[/mm] gefunden und eine zu
> [mm]cosh^2(x)+sinh^2(x)=cosh(2x).[/mm] Letztere beschreibt ja gerade
> unser Problem! Das wäre ja eigentlich zu einfach!
Es handelt sich hier auch nicht um "Definitionen", sondern um Sätze: denn man kann diese Beziehungen aufgrund der Definitionen von [mm] $\sinh$ [/mm] und [mm] $\cosh$ [/mm] beweisen.
> Desweiteren habe ich folegende definition gefunden zu
> sinh(2x)=2sinh(x)cosh(x). gibt es ähnliche definition auch
> für cosh(2x)=
Zum Beweis von
[mm]cosh^2(x)+sinh^2(x)=cosh(2x)[/mm]
würde ich die linke Seite, durch Anwenden der Definitinonen von [mm] $\cosh$ [/mm] bzw. [mm] $\sinh$, [/mm] umschreiben zu
[mm]\left(\frac{\mathrm{e}^{x}+\mathrm{e}^{-x}}{2}\right)^2+\left(\frac{\mathrm{e}^{x}-\mathrm{e}^{-x}}{2}\right)^2[/mm]
dann die Quadrate ausmultiplizieren und die ganze Sache so umformen, dass ich die rechte Seite, also [mm] $\cosh(2x)$, [/mm] in der Form
[mm]\frac{\mathrm{e}^{2x}+\mathrm{e}^{-2x}}{2}[/mm]
erhalte.
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Ich bin dir echt dankbar für die Hilfe!!!
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Ja deshalb finde ich das bei mir auch so unübersichtlich und verlier schnell den Überblick und die ganzen Definitionen anzuwenden ist auch nicht leicht!!!
So wusste ich jetzt z.B. nicht, ob ich [mm] sinh(\bruch{x-y}{2}) [/mm] durch irgednwelche vorgegebenen Definitionen ersetze oder halt ganz normal ausmultipliziere und dann durch die bekannten Definitionen ersetze!!! Wobei letzteres ja nunmal richtig war!!!
Also ist die Aufgabe auch schon abgehakt dankeschön. ich probier nun noch eine einzige du musst mir ja nicht unbedingt helfen! Vielleicht findet sich auch jmd. anderes! Dankeschön aufjedenfall bis hierhin für alles.
Die Aufgabe lautet nun: [mm] cosh^2(x)+sinh^2(x)=cosh(2x)
[/mm]
Hier habe ich zuallererst ne frage ich habe definitionen zu [mm] cosh^2(x)-sinh^2(x)=1 [/mm] gefunden und eine zu [mm] cosh^2(x)+sinh^2(x)=cosh(2x). [/mm] Letztere beschreibt ja gerade unser Problem! Das wäre ja eigentlich zu einfach!
Desweiteren habe ich folegende definition gefunden zu sinh(2x)=2sinh(x)cosh(x). gibt es ähnliche definition auch für cosh(2x)?
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> Ja deshalb finde ich das bei mir auch so unübersichtlich
> und verlier schnell den Überblick und die ganzen
> Definitionen anzuwenden ist auch nicht leicht!!!
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> So wusste ich jetzt z.B. nicht, ob ich [mm]sinh(\bruch{x-y}{2})[/mm]
> durch irgednwelche vorgegebenen Definitionen ersetze oder
> halt ganz normal ausmultipliziere und dann durch die
> bekannten Definitionen ersetze!!! Wobei letzteres ja nunmal
> richtig war!!!
>
> Also ist die Aufgabe auch schon abgehakt dankeschön. ich
> probier nun noch eine einzige du musst mir ja nicht
> unbedingt helfen! Vielleicht findet sich auch jmd. anderes!
> Dankeschön aufjedenfall bis hierhin für alles.
>
> Die Aufgabe lautet nun: [mm]cosh^2(x)+sinh^2(x)=cosh(2x)[/mm]
>
> Hier habe ich zuallererst ne frage ich habe definitionen zu
> [mm]cosh^2(x)-sinh^2(x)=1[/mm] gefunden und eine zu
> [mm]cosh^2(x)+sinh^2(x)=cosh(2x).[/mm] Letztere beschreibt ja gerade
> unser Problem! Das wäre ja eigentlich zu einfach!
>
> Desweiteren habe ich folegende definition gefunden zu
> sinh(2x)=2sinh(x)cosh(x). gibt es ähnliche definition auch
> für cosh(2x)?
Diese Frage ist ein Duplikat, das vermutlich durch kurz hintereinander geklicktes "Senden" entstanden ist. Ich antworte nur, um den Fragestatus auf beantwortet zu setzen.
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