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| Aufgabe | Sei [mm] \parallel [/mm] · [mm] \parallel [/mm] eine Norm auf einem reellen Vektorraum V . Und es gilt die Parallelogrammidentität : [mm] \parallel [/mm] x + y [mm] \parallel [/mm] ² + [mm] \parallel [/mm] x − y [mm] \parallel [/mm] ² =
[mm] 2(\parallel [/mm] x [mm] \parallel [/mm] ² + [mm] \parallel [/mm] y [mm] \parallel [/mm] ²).
Beweisen Sie:
a) Wenn ein Skalarprodukt auf V mit (·, ·) = [mm] \parallel [/mm] · [mm] \parallel [/mm] ² existiert, dann gilt die Parallelogrammidentität.
b) Wenn eine Norm [mm] \parallel [/mm] · [mm] \parallel [/mm] von einem Skalarprodukt (·, ·) abgeleitet ist, in dem Sinne, dass gilt (x, x) = [mm] \parallel x\parallel [/mm] ² , x aus V , so gilt die Beziehung
(x, y) =1/4 [mm] (\parallel [/mm] x + y [mm] \parallel [/mm] ² − [mm] \parallel [/mm] x − y [mm] \parallel [/mm] ²).
c) Die in b) definierte Abbildung (·, ·) : V ×V => R ist ein Skalarprodukt, falls die Parallelogrammidentität gilt.
Das heißt es gibt genau dann ein Skalarprodukt auf V , wenn die Parallelogrammidentität gilt. |
Guten Tag,
habe noch nicht so viele Fragen hier gestellt, hoffe ich mach es richtig.
Also ich habe die Frage nur hier in dem Forum gestellt.
zu a)
zunächst steht (·, ·) = [mm] \parallel [/mm] · [mm] \parallel [/mm] ² für das Skalarprodukt aus beispielsweise (x,x) = [mm] \parallel [/mm] x [mm] \parallel [/mm] ² ?
was wäre wenn ich 2 Vektoren x und y habe (x,y) ?
muss ich in die Parallelogramm-Identität dann einfach für [mm] \parallel [/mm] x [mm] \parallel [/mm] ² => (x,x) ² einsetzen und nachrechnen ?
dann stünde da ja [mm] \parallel [/mm] (x,x) + (y,y) [mm] \parallel [/mm] ² + [mm] \parallel [/mm] (x,x) - (y,y) [mm] \parallel [/mm] ² und dann einfach mit dem binomischen lehrsatz auflösen und fertig ?
das kann ich mir noch nicht so ganz vorstellen.
zu b)
hier verstehe ich einfach die schreibweise nicht.
(x, x) = [mm] \parallel x\parallel [/mm] ² ok.
aber wie sieht denn dann (x,y) aus ?
zu c)
die lass ich erstmal weg,
bis hierhin sind das wohl erstmal genug fragen :(
Danke.
Albert
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:06 Sa 16.04.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
in a) musst du das schon mit ||x+y||=(x+y,x+y) zeigen, und dabei die eigenschaften des Skalarprodukts (x,y)=(y,x) und (a+b,c)=(a,c)+(b,c) benutzen.
informier dich einfach nochmal welche eigenschaften ein skalarprodukt hat.
entsprechend bei b)
aber dann ist es stures Nachrechnen.
gruss leduart
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danke,
also steht dann da
[mm] \parallel [/mm] x+y [mm] \parallel [/mm] ² + [mm] \parallel [/mm] x-y [mm] \parallel [/mm] ² = (x+y , x+y)² + (x-y , x-y )² ?
und dann mit Hilfe der Linearität in der 1.Komponente
((x+y,x) + (x+y,y))² + ((x-y,x) - (x-y,y))²
das selbe für die 2. Komponente also:
((x,x)+(y,x)+(x,y)+(y,y))² + ((x,x)-(y,x)-(x,y)+(y,y))²
und das dann weiter umgeformt, solange bis da
2*((x,x)²+(y,y)²) steht ?
und bei der b)
setze ich in den rechten Teil der Parallelogrammidentiät für [mm] \parallel [/mm] x [mm] \parallel [/mm] ² einfach (x,x) und entsprechendes für y ein?
und versuche auf den linken Teil zu schließen ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:26 Sa 16.04.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
> danke,
> also steht dann da
> [mm]\parallel[/mm] x+y [mm]\parallel[/mm] ² + [mm]\parallel[/mm] x-y [mm]\parallel[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
² =
> (x+y , x+y)² + (x-y , x-y )² ?
die Quadrate bei den Skalarprodukten sind falsch.
> und dann mit Hilfe der Linearität in der 1.Komponente
> ((x+y,x) + (x+y,y))² + ((x-y,x) - (x-y,y))²
>
> das selbe für die 2. Komponente also:
> ((x,x)+(y,x)+(x,y)+(y,y))² + ((x,x)-(y,x)-(x,y)+(y,y))²
>
> und das dann weiter umgeformt, solange bis da
> 2*((x,x)²+(y,y)²) steht ?
im Prinzip ja, aber du kannst ja direkt (x+y)*(x+y) rechnen und bitte überall die quadrate bei den skp weglassen (x,x)={x|^2
>
> und bei der b)
> setze ich in den rechten Teil der Parallelogrammidentiät
> für [mm]\parallel[/mm] x [mm]\parallel[/mm] ² einfach (x,x) und
> entsprechendes für y ein?
> und versuche auf den linken Teil zu schließen ?
genauso.
Gruss leduart
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Danke,
dann ist die a) ja in einer Zeile erledigt,
einfach nur mit der Linearität auf so auflösen das da steht
(x,x)+(y,x)+(x,y)+(y,y)+(x,x)-(y,x)-(x,y)+(y,y)
und dann steht das ja schon da.
stimmt denn mein Ansatz bei der b) ?
setze ich in den rechten Teil der Parallelogrammidentiät für $ [mm] \parallel [/mm] $ x $ [mm] \parallel [/mm] $ ² einfach (x,x) und entsprechendes für y ein?
und versuche auf den linken Teil zu schließen ?
ich versteh einfach nicht den unterschied zur a)
in der a steht doch das selbe nur statt (x,x) = [mm] \parallel [/mm] x [mm] \parallel [/mm] ² steht da (*,*) = [mm] \parallel [/mm] * [mm] \parallel [/mm] ²
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:13 Sa 16.04.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
ja, die b( ist einfach auch nur brav ausrechnen. bei der a) und b) solltest du dazuschreuben welche Gesetze für skalarprodukt du jeweil benutzt.
Gruss leduart
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Besten Dank.
dann sind die a) und b) ja wirklich nur stupides nachrechnen.
c) Die in b) definierte Abbildung (·, ·) : V ×V => R ist ein Skalarprodukt, falls die Parallelogrammidentität gilt.
Das heißt es gibt genau dann ein Skalarprodukt auf V , wenn die Parallelogrammidentität gilt.
hier muss ich nochmal die Parallelogrammidentität nachrechnen ?
aber das hat man in der a doch schon oder nicht?
wo ist denn der unterschied zwischen [mm] \parallel [/mm] * [mm] \parallel [/mm] = (*,*)
und [mm] \parallel [/mm] x [mm] \parallel [/mm] = (x,x) ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:58 So 17.04.2011 | | Autor: | fred97 |
Für x,y [mm] \in [/mm] V wird definiert:
(*) $(x, y): =1/4 [mm] (\parallel [/mm] x + y [mm] \parallel [/mm] ^2 − [mm] \parallel [/mm] x - y [mm] \parallel [/mm] ^2). $
Vorausgesetzt ist nun, dass die Parallelogrammidentität gilt. Wie lautet die ?
Zeigen sollst Du, dass dann durch (*) ein Skalarprodukt def. wird.
FRED
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nur wie setze ich das in die parallelogrammindentiät ein?
(x,y) = 1/4 [mm] (\parallel [/mm] x + y [mm] \parallel [/mm] ² − [mm] \parallel [/mm] x - y [mm] \parallel [/mm] ²)
und um zu zeigen, dass ein Skalarprodukt definiert wird, muss ich doch die Eigenschaften, wie Linearität, positive Definitheit und Symmetrie nachprüfen oder ?
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Hallo AlbertKeinstein,
> nur wie setze ich das in die parallelogrammindentiät ein?
Die ist nützlich beim Nachrechnen der Eingenschaften für das vermeintliche Skalarprodukt, das hier nachstehend definiert ist ...
> (x,y) = 1/4 [mm](\parallel[/mm] x + y [mm]\parallel[/mm] ² − [mm]\parallel[/mm] x
> - y [mm]\parallel[/mm] ²)
>
>
> und um zu zeigen, dass ein Skalarprodukt definiert wird,
> muss ich doch die Eigenschaften, wie Linearität,
Bilinearität!
> positive Definitheit und Symmetrie nachprüfen oder ?
Ja!
Gruß
schachuzipus
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> Hallo AlbertKeinstein,
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> > nur wie setze ich das in die parallelogrammindentiät ein?
>
> Die ist nützlich beim Nachrechnen der Eingenschaften für
> das vermeintliche Skalarprodukt, das hier nachstehend
> definiert ist ...
>
> > (x,y) = 1/4 [mm](\parallel[/mm] x + y [mm]\parallel[/mm] ² − [mm]\parallel[/mm] x
> > - y [mm]\parallel[/mm] ²)
> >
> >
Das heißt ich darf beides (die Parallelogrammidentität und natrl. die Definition für (x,y) vorraussetzen ?
Tut mir leid dann habe ich das eben in der Antwort falsch verstanden !
Danke
> > und um zu zeigen, dass ein Skalarprodukt definiert wird,
> > muss ich doch die Eigenschaften, wie Linearität,
>
> Bilinearität!
>
> > positive Definitheit und Symmetrie nachprüfen oder ?
>
> Ja!
>
> Gruß
>
> schachuzipus
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Hallo nochmal,
> Das heißt ich darf beides (die Parallelogrammidentität
> und natrl. die Definition für (x,y) vorraussetzen ?
> Tut mir leid dann habe ich das eben in der Antwort falsch
> verstanden !
Ja, vorausgesetzt ist, dass die P.I. gilt. Ferner wird def. [mm]\langle x,y\rangle :=\frac{||x+y||^2-||x-y||^2}{4}[/mm]
Du sollst nun zeigen, dass dieses so definierte Biest ein Skalarprodukt ist.
Dazu weise die o.E. Eigenschaften nach.
Beim Nachrechnen derselben hilft dann wohl die vorausgesetzte PI
Aber das steht doch alles schon glasklar in Freds Antwort oben ...
> Danke
>
Gruß
schachuzipus
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