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| Aufgabe | gegeben ist eine holomorphe fkt f im punktierten einheitskreis. von welchem typ ist die isolierte singularität 0 von f, wenn gilt:
[mm] $f(\frac{1}{n}) [/mm] = 0$ für alle $n [mm] \in [/mm] N [mm] \backslash \{1\}$ [/mm] und [mm] $f(\frac{i}{2}) [/mm] = 1$? |
hi,
der erste teil der lösung lautet nun:
wäre z = 0 hebbar, so wäre f holomorph in den nullpunkt fortsetzbar mit $f(0) = [mm] \lim_{x \to \infty} f(\frac{1}{n}) [/mm] = 0$. nach dem indentitätsprinzip wäre dann f identisch 0, im widerspruch zu [mm] f(\frac{i}{2}) [/mm] = 1.
hier verstehe ich nun nicht, warum ich das id.prinz. anwenden kann, da ich dachte, dass dazu der wert, gegen den die folge konvergiert, in dem gebiet enthalten sein muss, in dem f und g holomorph sind, aber null ist ja nicht im punktierten einheitskreis...
danke schonmal!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:03 Di 08.06.2010 | | Autor: | fred97 |
> gegeben ist eine holomorphe fkt f im punktierten
> einheitskreis. von welchem typ ist die isolierte
> singularität 0 von f, wenn gilt:
> [mm]f(\frac{1}{n}) = 0[/mm] für alle [mm]n \in N \backslash \{1\}[/mm] und
> [mm]f(\frac{i}{2}) = 1[/mm]?
> hi,
> der erste teil der lösung lautet nun:
> wäre z = 0 hebbar, so wäre f holomorph in den nullpunkt
> fortsetzbar mit [mm]f(0) = \lim_{x \to \infty} f(\frac{1}{n}) = 0[/mm].
> nach dem indentitätsprinzip wäre dann f identisch 0, im
> widerspruch zu [mm]f(\frac{i}{2})[/mm] = 1.
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> hier verstehe ich nun nicht, warum ich das id.prinz.
> anwenden kann, da ich dachte, dass dazu der wert, gegen den
> die folge konvergiert, in dem gebiet enthalten sein muss,
> in dem f und g holomorph sind, aber null ist ja nicht im
> punktierten einheitskreis...
Es wurde doch die Annhme gemacht, die Singularität 0 sei hebbar. Dann kannst Du f auf die ganze offene Einheitskreisscheibe holomorph fortsetzen.
Diese Fortsetzung nennen wir wieder f
aus $ [mm] f(\frac{1}{n}) [/mm] = 0 $ für alle $ n [mm] \in [/mm] N [mm] \backslash \{1\} [/mm] $ folgt dann mit dem Identitätssatz, dass f identisch 0 ist
FRED
> danke schonmal!
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:10 Di 08.06.2010 | | Autor: | w3rk3rhund |
ah, ok, vielen dank!
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