Implikation richtig? < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:10 Fr 23.11.2012 | | Autor: | mikexx |
| Aufgabe | Stimmt folgende Implikation?
[mm] $f\in L_2(\mathbb{R})\Rightarrow f\in L_1(\mathbb{R})$? [/mm] |
Ich müsste das eigentlich wissen, habe aber gerade einen totalen Blackout.
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Hallo mikexx,
> Stimmt folgende Implikation?
>
> [mm]f\in L_2(\mathbb{R})\Rightarrow f\in L_1(\mathbb{R})[/mm]?
> Ich
> müsste das eigentlich wissen, habe aber gerade einen
> totalen Blackout.
Hm. Ich sehe gerade keine Falle. Eine Funktion, die zweimal integriert werden kann, kann doch immer auch nur einmal integriert werden...
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:17 Fr 23.11.2012 | | Autor: | mikexx |
Die Frage ist doch nicht, wie oft man integrieren kann, sondern ob
das Integral über [mm] $\lvert f(x)\rvert$ [/mm] endlich ist, wenn das Integral über [mm] $\lvert f(x)\rvert^2$ [/mm] endlich ist.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:54 Fr 23.11.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Die Frage ist doch nicht, wie oft man integrieren kann,
> sondern ob
>
> das Integral über [mm]\lvert f(x)\rvert[/mm] endlich ist, wenn das
> Integral über [mm]\lvert f(x)\rvert^2[/mm] endlich ist.
genau das ist die Frage (keine Ahnung, was reverend da meinte).
Aber solche Antworten findest Du doch etwa ![[]](/images/popup.gif) hier (klick!):
Setze $f: [mm] \IR \to \IR$ [/mm] fest durch [mm] $f(x):=I_{[1,\infty)}(x)*1/x\,,$ [/mm] wobei
[mm] $I_{[1,\infty)}(x)$ [/mm] die Indikatorfunktion auf [mm] $[1,\infty)$ [/mm] ist.
Dann ist $f [mm] \in L_2\,,$ [/mm] denn es ist [mm] $\int_\IR |f(x)|^2dx=\Big[-1/x\Big]_{x=1}^{x=\infty}=-(-1/1^2)=1\,,$
[/mm]
aber es ist $f [mm] \notin L_1\,,$ [/mm] denn...?
Gruß,
Marcel
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