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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:12 Mo 29.06.2009 | | Autor: | Doing |
Hallo an alle.
Ich grad ein Problem beim lösen von Differentialgleichungen, die nicht nach der höchsten Ableitung aufgelöst sind. Z.B. soll ich die DGL: [mm] y^2=y'^2-y'^3 [/mm] lösen. Ich hab jetzt versucht diese DGL über eine Parameterdarstellung mit y' als Parameter zu lösen, und bekomme auch y sowie x in Abhängigkeit dieses Parameters raus. Allerdings sind diese Darstellungen so komplex, dass das Eliminieren des Parameters ein hoffnungsloses Unterfangen würde.
Ich erhalte nämlich
[mm] y(p)=p*\sqrt{1-p} [/mm] sowie
[mm] x(p)=3*\sqrt{1-p}+ln(\bruch{\sqrt{1-p}-1}{\sqrt{1-p}+1}) [/mm]
Leider sind mir keine anderen Verfahren zum lösen solcher DGLen bekannt.
Ich wäre über jede Hilfestellung zur Lösung der Aufgabe sehr dankbar.
Beste Grüße,
Doing
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:49 Di 30.06.2009 | | Autor: | wauwau |
Wenn du die DG nochmal ableitest und y' [mm] \not= [/mm] 0 voraussetzt, dann hast du ein DG der Form
[mm]y = y'' - \bruch{3y'y''}{2}[/mm]
Vielleicht ist die ja dann leichter zu lösen ?
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Hallo,
ist die allgemeine Lösung der DGL verlangt
oder genügt es allenfalls, eine spezielle Lösung
herauszufinden ?
In diesem Fall könnte man z.B. für $\ y(x)$ einen
Polynomansatz versuchen. Die erste Frage ist
dabei, mit welchem Grad von Polynom es über-
haupt klappen könnte. Wenn $\ y(x)$ den Grad $\ n$
hat, dann hat $\ y'(x)$ den Grad $\ n-1$ und z.B. [mm] \left(y'(x)^3\right) [/mm]
den Grad $\ [mm] 3\,n-3$ [/mm] . Wenn der Grad feststeht, kann
man den Ansatz $\ [mm] y(x)\,=\,a*x^n+\,....$ [/mm] in die DGL ein-
setzen und durch Koeffizientenvergleich dann
wohl eine (spezielle) Lösung ermitteln.
LG Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:47 Di 30.06.2009 | | Autor: | Martinius |
Hallo,
ich habe eine alte Ausgabe (4. Auflage, 1942) von: Erich Kamke, Differentialgleichungen, Lösungsmethoden & Lösungen.
Darin finden sich etwa DGL wie:
$ay'^3+by'^2+cy'=y+d$
u. a.
Die letzten Ausgaben (letzte: wahrscheinlich 6. Auflage) wurden erweitert - möglicherweise könntest Du da fündig werden (Uni-Bib.).
LG, Martinius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:46 Di 30.06.2009 | | Autor: | Doing |
Hallo,
Vielen Dank zunächst einmal für die Antworten.
Es ist die allgemeine Lösung der DGL anzugeben. Die DGL zweiter Ordnung die man erhält wenn man die Ausgangs-Gleichung differenziert, krieg ich leider auch nicht vernünftig gelöst. Es ergibt sich eher ein ähnliches Problem, wie bei der Parameterdarstellung, nämlich dass ich die DGL einmal integrieren kann, dann aber wieder einen zu komplizierten Ausdruck erhalte, sodass man wieder nicht nach y' umstellen kann.
Naja, ich werd nochmal gleich in der Bib. vorbeischauen. Hoffentlich find ich was Erhellendes. Vielen Dank nochmal für die Bemühungen.
Beste Grüße,
Doing
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