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Implizite Fkt: Frage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:05 Di 28.06.2005
Autor: Faenol

Hi !

Hmm, so ganz blick ich da noch net durch !
Hab zwei Aufgaben zu impliziten Funktionen !

Hab mich mal an diese Lektüre hier gehalten: []Lektüre

1) f(x,y) = [mm] e^{x}*cos(y)-e^{-y}*cos(x) [/mm]

Ich soll nun zeigen, dass f(x,y) in (0,0) nach y aufgelöst werden kann !
Und dann soll ich y'(x) in der Nähe von (0,0) bestimmen !

Nun ja, der Punkt (0,0) ist ja erstmal eine Nullstelle also gilt: f(0,0)=0
(was ja auch guuut ist, weil man ja eben genau so einen Punkt sucht!

Weiter folgt für die partiellen Ableitungen

[mm] \bruch{f(0,0)}{ \partial x}=1 \not= [/mm] 0
[mm] \bruch{f(0,0)}{ \partial y}=-1 \not= [/mm] 0

Es gibt also weitere Lösungspunkte in der Umgebung von (0,0) die die Gleichung f(x,y)=0 erfüllen !

Und es gibt die lokale Auflösungsfunktion y=h(x) mit h(0)=0 und f(y,h(x))=0

Aber wie bestimme ich hier nun y'(x) in der Nähe von (0,0) ?
Ich denke mal mit dem y'(x) ist mein h'(x) gemeint ?
Muss ich das mit Taylor machen ?

Warum kann ich nicht y'=- [mm] \bruch{F_x}{F_y}=1 [/mm] rechnen ?

2) Die Frage hier ist, wo man [mm] x^2+x*y+y^2=6 [/mm] nach y auflösen kann ! Dort soll man "explizit" nach y auflösen und y' bestimmen !


Es gilt ja
[mm] \bruch{f(x,y)}{ \partial x}=2x+y [/mm]
[mm] \bruch{f(x,y)}{ \partial y}=2y+x [/mm]

Damit man nach y also auflösen kann, muss 2y+x [mm] \not=0 [/mm] => y [mm] \not=- \bruch{x}{2} [/mm]

Des weiteren sind doch implizite Funktionen immer in der Form F(a,b)=0  gegeben, also setze ich mal F(x,y)= [mm] x^2+x*y+y^2-6 [/mm]

Nullstellen hat das Ding viele ! Es muss nur  y= [mm] \bruch{1}{2}(-x \pm \wurzel{3}* \wurzel{8-x^2}) [/mm] gelten !

Wenn nun aber [mm] x^2=8 [/mm] gilt, so wird [mm] y=-\bruch{x}{2}, [/mm] was es aber nicht sein darf, weil man dann nicht nach y auflösen kann !

Daher würd ich jetzt eigentlich sagen, für alle [mm] x^2 \not=8 [/mm] kann man nach y auflösen !

Habe ich dich denn nun schon explizit nach y aufgelöst ? Eigentlich ja, oder? Und y' ist doch wieder y'=- [mm] \bruch{F_x}{F_y}= [/mm]

Warum stimmt das net ?

Gruß & Danke

Faenôl

        
Bezug
Implizite Fkt: Hinweise
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:32 Di 28.06.2005
Autor: MathePower

Hallo Faenol,

> 1) f(x,y) = [mm]e^{x}*cos(y)-e^{-y}*cos(x)[/mm]
>  
> Ich soll nun zeigen, dass f(x,y) in (0,0) nach y aufgelöst
> werden kann !
>  Und dann soll ich y'(x) in der Nähe von (0,0) bestimmen !
>  
> Nun ja, der Punkt (0,0) ist ja erstmal eine Nullstelle also
> gilt: f(0,0)=0
>  (was ja auch guuut ist, weil man ja eben genau so einen
> Punkt sucht!
>  
> Weiter folgt für die partiellen Ableitungen
>  
> [mm]\bruch{f(0,0)}{ \partial x}=1 \not=[/mm] 0
>   [mm]\bruch{f(0,0)}{ \partial y}=-1 \not=[/mm] 0
>  
> Es gibt also weitere Lösungspunkte in der Umgebung von
> (0,0) die die Gleichung f(x,y)=0 erfüllen !
>  
> Und es gibt die lokale Auflösungsfunktion y=h(x) mit h(0)=0
> und f(y,h(x))=0

Die Bedingung für lokale Auflösbarkeit ist gegeben  durch:

[mm]F\left( {x_{0} ,\;y_{0} } \right)\; = \;0\; \wedge \;\frac{{\delta F}} {{\delta y}}\;\left( {x_{0} ,\;y_{0} } \right)\; \ne \;0[/mm]

>  
>  Aber wie bestimme ich hier nun y'(x) in der Nähe von (0,0)
> ?
>  Ich denke mal mit dem y'(x) ist mein h'(x) gemeint ?
>  Muss ich das mit Taylor machen ?
>  
> Warum kann ich nicht y'=- [mm]\bruch{F_x}{F_y}=1[/mm] rechnen ?

Um die Ableitung y'(x) zu berechnen gehst Du wie folgt vor:

[mm]\begin{gathered} F(x,\;y(x))\; = \;0 \hfill \\ F_x \; + \;F_y \;y'\; = \;0 \hfill \\ \Rightarrow \;y'(x_0 )\; = \; - \;\frac{{F_x \left( {x_0 ,\;y_0 } \right)}} {{F_y \left( {x_0 ,\;y_0 } \right)}} \hfill \\ \end{gathered} [/mm]


> 2) Die Frage hier ist, wo man [mm]x^2+x*y+y^2=6[/mm] nach y auflösen
> kann ! Dort soll man "explizit" nach y auflösen und y'
> bestimmen !
>  
>
> Es gilt ja
>   [mm]\bruch{f(x,y)}{ \partial x}=2x+y[/mm]
> [mm]\bruch{f(x,y)}{ \partial y}=2y+x[/mm]
>
> Damit man nach y also auflösen kann, muss 2y+x [mm]\not=0[/mm] => y
> [mm]\not=- \bruch{x}{2}[/mm]
>  
> Des weiteren sind doch implizite Funktionen immer in der
> Form F(a,b)=0  gegeben, also setze ich mal F(x,y)=
> [mm]x^2+x*y+y^2-6[/mm]
>
> Nullstellen hat das Ding viele ! Es muss nur  y=
> [mm]\bruch{1}{2}(-x \pm \wurzel{3}* \wurzel{8-x^2})[/mm] gelten !
>  
> Wenn nun aber [mm]x^2=8[/mm] gilt, so wird [mm]y=-\bruch{x}{2},[/mm] was es
> aber nicht sein darf, weil man dann nicht nach y auflösen
> kann !
>  
> Daher würd ich jetzt eigentlich sagen, für alle [mm]x^2 \not=8[/mm]
> kann man nach y auflösen !
>  
> Habe ich denn nun schon explizit nach y aufgelöst ?
> Eigentlich ja, oder? Und y' ist doch wieder y'=-
> [mm]\bruch{F_x}{F_y}=[/mm]
>  
> Warum stimmt das net ?
>  

Siehe oben stehende Bedingungen:

[mm]F\left( {x_{0} ,\;y_{0} } \right)\; = \;0\; \wedge \;\frac{{\delta F}} {{\delta y}}\;\left( {x_{0} ,\;y_0 } \right)\; \ne \;0[/mm]

Gruß
MathePower

Bezug
                
Bezug
Implizite Fkt: Hab ich das nicht gemacht ?
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:53 Di 28.06.2005
Autor: Faenol

Hi MathePower !

> Um die Ableitung y'(x) zu berechnen gehst Du wie folgt
> vor:

Was du jetzt geschrieben hast, hab ich meines Erkenntnisses ja gemacht !
(wenn ich mich nicht vertue oder ich bin so blind, dass ich nicht sehe, was ich anders gemacht habe ! *g*)

Es gilt:
[mm] y'(0)=-\bruch{F_x(0,0)}{F_y(0,0)}=1 [/mm]

Ist das damit dann die Antwort auf die Frage, bestimmen Sie y' in der Nähe von (0,0) ?

Und bei der 2 ten Aufgaben ebenso:

[mm] y_0=\bruch{1}{2}(-x_0 \pm \wurzel{3}\cdot{} \wurzel{8-x_0^2}) [/mm]
Das ist die explizite Auflösung nach y !

Mit den Einschränkungen für das [mm] x_0^2, [/mm] also das man dafür sorgt, das immer notwendigerweise [mm] F_y(x_0,y_0)\not=0 [/mm] gilt !

Demnach bestimme ich [mm] y'(x_0)= [/mm] - [mm] \bruch{F_x(x_0,y_0)}{F_y(x_0,y_0)} [/mm]

Also [mm] y'(x_0)= \bruch{-2*x_0+y_0}{2*y_0+y_0} [/mm] und dann [mm] y_0 [/mm] einsetzen...

Dann habe ich einen Ausdruck [mm] y'(x_0) [/mm] der nur von [mm] x_0 [/mm] abhängt !

[mm] y'(x_0)= \bruch{-2,5*x_0 \pm \wurzel{3}\cdot{} \wurzel{8-x_0^2}}{\pm \wurzel{3}\cdot{} \wurzel{8-x_0^2}} [/mm]

Was habe ich hier falsch angewandt ? Ich hab doch genau die Definitionen angewandt wie du...
Bzw. Ist damit die Aufgabenstellung schon beendet ?

Faenôl

Bezug
                        
Bezug
Implizite Fkt: Faktor 0,5 vor der Wurzel
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:03 Do 30.06.2005
Autor: MathePower

Hallo Faenol,

> > Um die Ableitung y'(x) zu berechnen gehst Du wie folgt
> > vor:
>  
> Was du jetzt geschrieben hast, hab ich meines Erkenntnisses
> ja gemacht !
>  (wenn ich mich nicht vertue oder ich bin so blind, dass
> ich nicht sehe, was ich anders gemacht habe ! *g*)
>  
> Es gilt:
>  [mm]y'(0)=-\bruch{F_x(0,0)}{F_y(0,0)}=1[/mm]
>  
> Ist das damit dann die Antwort auf die Frage, bestimmen Sie
> y' in der Nähe von (0,0)

Im Prinzip schon.

> Und bei der 2 ten Aufgaben ebenso:
>  
> [mm]y_0=\bruch{1}{2}(-x_0 \pm \wurzel{3}\cdot{} \wurzel{8-x_0^2})[/mm]
>  
> Das ist die explizite Auflösung nach y !
>  
> Mit den Einschränkungen für das [mm]x_0^2,[/mm] also das man dafür
> sorgt, das immer notwendigerweise [mm]F_y(x_0,y_0)\not=0[/mm] gilt
> !
>  
> Demnach bestimme ich [mm]y'(x_0)=[/mm] -
> [mm]\bruch{F_x(x_0,y_0)}{F_y(x_0,y_0)}[/mm]
>  
> Also [mm]y'(x_0)= \bruch{-2*x_0+y_0}{2*y_0+y_0}[/mm] und dann [mm]y_0[/mm]
> einsetzen...
>  
> Dann habe ich einen Ausdruck [mm]y'(x_0)[/mm] der nur von [mm]x_0[/mm]
> abhängt !
>  
> [mm]y'(x_0)= \bruch{-2,5*x_0 \pm \wurzel{3}\cdot{} \wurzel{8-x_0^2}}{\pm \wurzel{3}\cdot{} \wurzel{8-x_0^2}}[/mm]
>  
> Was habe ich hier falsch angewandt ? Ich hab doch genau die
> Definitionen angewandt wie du...

Der Faktor 0,5 vor der Wurzel im Zähler ist wohl verlorengegangen.

>  Bzw. Ist damit die Aufgabenstellung schon beendet ?

Da musst Du ja noch genauer sagen, für welche Paar (x,y) die Funktionsgleichung nach y auflösbar ist.

Gruß
MathePower

Bezug
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