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| Aufgabe | Ist die Gleichung
[mm] $(x+y)^2+(y+z)^2+(z+x)^2=4096$
[/mm]
an jedem ihrer Lösungspunkte [mm] $(x,y,z)\in\mathbb{R}^3$ [/mm] lokal nach mindestens einer der drei reellen Variablen $x,y,z$ auflösbar? |
Hallo,
ich weiß nicht so ganz wie ich hier vorgehen soll. In unserem Skript steht:
$Es gebe [mm] $a\in\mathbb{R}^n,b\in\mathbb{R}^m$ [/mm] mit
$$f(a,b)=0$ und [mm] $det\frac{\partialf}{\partialx}(a,b)\not=0.$$
[/mm]
Dann existiert eine Umgebung [mm] $U=U(b)\subset\mathbb{R}^m$ [/mm] von $b$ und eine eindeutig bestimmte Abbildung [mm] $\phi \in C^1(U,\mathbb{R}^n)$ [/mm] mit:
[mm] $\forall [/mm] u [mm] \in [/mm] U: [mm] f(\phi(u),u)=0$
[/mm]
Also wenn ich das jetzt richtig verstanden habe muss ich doch hier prüfen für welche Punkte (a,b), bei unsere Beispiel (x,y,z), die Determinante der Ableitung gleich 0 wird?
Wenn ich die Funktion jetzt jeweils nach x,y und z ableite, erhalte ich ja die Jackobi-Matrix:
[mm] J_f(x,y,z)=\vektor{4x+2y+2z \\4y+2x+2z\\4z+2x+2y}
[/mm]
So was nun? In den Büchern in denen ich Aufgaben gerechnet habe, die alle nur 2 Variablen hatten, wurde einfach immer nur nach y abgeleitet und geschaut an welchen Punkten die Ableitung verschwindet und dann wurde gesagt, dass an diesen Punkten die Funktion nicht invertierbar ist.
Ok ich denke ich liege vollkommen falsch mit dem was ich hier mache... :)
Kann mir vlt einer einen Tipp geben wie ich anfangen soll?
Viel Dank :)
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:58 Mo 14.04.2014 | | Autor: | leduart |
Da die fkt in x,y,z symmetrisch ist musst du nur die Auflösbarkeit nach z.B y ansehen
also nur [mm] f_y [/mm] und ob das irgendwo L0 ist, für ein x,y,z für das dir Gle erfüllt ist.
Gruss leduart
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