Implizite Funktion < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:54 Fr 23.07.2010 | | Autor: | mausi8 |
| Aufgabe | Zeigen sie, dass das gleichungssystem
cos(uv)=vx+1-u
sin(u)=y+v
in der Nöhe von [mm] (x,y,u,v)^T=(0,-1,0,1) [/mm] nach [mm] (u,v)^T [/mm] aufgelöst werden kann und bestimmen sie [mm] \partial u/\partial [/mm] y und [mm] \partial v/\partial [/mm] y an der [mm] Stelle(0,-1)^T [/mm] |
Nun meine Frage das Auflösen ist kein Problem
zuerst muss man zeigen dass
[mm] f(0,-1,0,1)=\pmat{ cos(uv) & -vx & -1 & +u \\ sin(u) & -y & -v}
[/mm]
= [mm] \pmat{0 \\ 0}
[/mm]
dann bilden wir die Jacobimatirix und zeigen das [mm] f'(0,-1,0,1)=\pmat{ -1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 1 & -1}
[/mm]
[mm] det_u_v=\pmat{ 1 & 0 \\ 1 & -1}=-1\not=0
[/mm]
demnach läasst sich die Funktion auflösen mit
[mm] g(x)=\pmat{u'(x,y) \\ v'(x,y)}= -\pmat{ 1 & 0 \\ 1 & -1}^{-1} \pmat{-1 & 0 \\ 0 & -1} [/mm] =- [mm] \pmat{ 1 & 0 \\ 1 & -1}\pmat{-1 & 0 \\ 0 & -1}= \pmat{1 & 0 \\ 1 & -1}
[/mm]
so jetzt weiß ich leider nicht wie ich die partiellen Ableitungen bestimmen soll
ich weiß, dass
[mm] \partial u/\partial [/mm] y = [mm] -F_y/F_u [/mm] und [mm] \partial v/\partial [/mm] y= - [mm] F_y/F_v [/mm] ist, aber ich weiß nicht wie das bei einer Matrix machen soll.
Bin für jede Hilfe dankbar.
LG
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
Hallo mausi8,
> Zeigen sie, dass das gleichungssystem
> cos(uv)=vx+1-u
> sin(u)=y+v
> in der Nöhe von [mm](x,y,u,v)^T=(0,-1,0,1)[/mm] nach [mm](u,v)^T[/mm]
> aufgelöst werden kann und bestimmen sie [mm]\partial u/\partial[/mm]
> y und [mm]\partial v/\partial[/mm] y an der [mm]Stelle(0,-1)^T[/mm]
> Nun meine Frage das Auflösen ist kein Problem
> zuerst muss man zeigen dass
> [mm]f(0,-1,0,1)=\pmat{ cos(uv) & -vx & -1 & +u \\ sin(u) & -y & -v}[/mm]
>
> = [mm]\pmat{0 \\ 0}[/mm]
> dann bilden wir die
> Jacobimatirix und zeigen das [mm]f'(0,-1,0,1)=\pmat{ -1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 1 & -1}[/mm]
>
> [mm]det_u_v=\pmat{ 1 & 0 \\ 1 & -1}=-1\not=0[/mm]
> demnach läasst
> sich die Funktion auflösen mit
> [mm]g(x)=\pmat{u'(x,y) \\ v'(x,y)}= -\pmat{ 1 & 0 \\ 1 & -1}^{-1} \pmat{-1 & 0 \\ 0 & -1}[/mm]
> =- [mm]\pmat{ 1 & 0 \\ 1 & -1}\pmat{-1 & 0 \\ 0 & -1}= \pmat{1 & 0 \\ 1 & -1}[/mm]
>
> so jetzt weiß ich leider nicht wie ich die partiellen
> Ableitungen bestimmen soll
> ich weiß, dass
> [mm]\partial u/\partial[/mm] y = [mm]-F_y/F_u[/mm] und [mm]\partial v/\partial[/mm]
> y= - [mm]F_y/F_v[/mm] ist, aber ich weiß nicht wie das bei einer
> Matrix machen soll.
Nun, differenziere jede der Gleichungen:
[mm]\cos\left(\ u\left(x,y\right)*v\left(x,y\right) \ \right)=v\left(x,y\right)*x+1-u\left(x,y\right)[/mm]
[mm]\sin\left( \ u\left(x,y\right) \ \right)=y+v\left(x,y\right)[/mm]
nach x bzw. y.
Dann erhältst Du ein Gleichungssystem zur Bestimmung der
partiellen Ableitungen von u,v.
> Bin für jede Hilfe dankbar.
>
> LG
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:09 Fr 23.07.2010 | | Autor: | mausi8 |
danke für die schnelle antwort:)
hoffe , dass das mal stimmt, hatte etwas schwierigkeiten dabei:
nach x :
-sin(u(x,y))u'(x,y)-sin(v(x,y))v'(x,y)-v(x,y)+v'(x,y)v(x,y)x-u'(x,y)u(x,y)=0
cos(u(x,y))u'(x,y)-v(x,y)v'(x,y)=0
nach y:
-sin(u(x,y))u'(x,y)-sin(v(x,y))v'(x,y)-v'(x,y)v)x,y)-u(x,y)u'(x,y)=0
cos(u(x,y))u'(x,y)-1-v(x,y)v'(x,y)=0
so und jetzt nach u' bzw. nach v'auflösen?? ich glaub ich habe etwas falsch gemacht :(
|
|
|
| |
|
Hallo mausi8,
> danke für die schnelle antwort:)
> hoffe , dass das mal stimmt, hatte etwas schwierigkeiten
> dabei:
> nach x :
>
> -sin(u(x,y))u'(x,y)-sin(v(x,y))v'(x,y)-v(x,y)+v'(x,y)v(x,y)x-u'(x,y)u(x,y)=0
> cos(u(x,y))u'(x,y)-v(x,y)v'(x,y)=0
> nach y:
>
> -sin(u(x,y))u'(x,y)-sin(v(x,y))v'(x,y)-v'(x,y)v)x,y)-u(x,y)u'(x,y)=0
> cos(u(x,y))u'(x,y)-1-v(x,y)v'(x,y)=0
>
> so und jetzt nach u' bzw. nach v'auflösen?? ich glaub ich
> habe etwas falsch gemacht :(
Diese Gleichungen musst nochmal nachrechnen.
Und verwende für die partiellen Ableitung nach x: [mm]u_{x}, \ v_{x}[/mm]
Analog für die partielle Ableitung nach y: [mm]u_{y}, \ v_{y}[/mm]
Für die Differentiation der Gleichung
[mm]\cos\left( \ u\left(x,y\right)*v\left(x,y\right) \ \right) = v\left(x,y\right)*x+1-u\left(x,y\right)[/mm]
ist auch die Produktregel zu verwenden (hier z.B.: [mm]\cos\left( \ u\left(x,y\right)*v\left(x,y\right) \ \right)[/mm])
Differenziert nach x ergibt diese Gleichung:
[mm]-\left(u\left(x,y\right)*v\left(x,y\right)\right)_{x}*\sin\left( \ u\left(x,y\right)*v\left(x,y\right) \ \right)=\left(v\left(x,y\right)*x\right)_{x}-u_{x}\left(x,y\right)[/mm]
Analog für die Differentiation nach y:
[mm]-\left(u\left(x,y\right)*v\left(x,y\right)\right)_{y}*\sin\left( \ u\left(x,y\right)*v\left(x,y\right) \ \right)=\left(v\left(x,y\right)*x\right)_{y}-u_{y}\left(x,y\right)[/mm]
Und das Ganze ist auch für die Gleichung:
[mm]\sin\left( \ u\left(x,y\right) \ \right)=y+v\left(x,y\right)[/mm]
zu machen.
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:18 Fr 23.07.2010 | | Autor: | mausi8 |
ok danke!!
für [mm] \sin(u(x,y))-y+v(x,y)=0
[/mm]
sieht das nach differenziert nach x wie folgt aus:
[mm] (u(x,y))_x cos(u(x,y))+v_x(x,y)=0
[/mm]
nach y differenziert:
[mm] (u(x,y))_ycos(u(x,y))+v_y(x,y)=0
[/mm]
wie geht man weiter vor??
LG
|
|
|
| |
|
Hallo mausi8,
> ok danke!!
> für [mm]\sin(u(x,y))-y+v(x,y)=0[/mm]
> sieht das nach differenziert nach x wie folgt aus:
> [mm](u(x,y))_x cos(u(x,y))+v_x(x,y)=0[/mm]
>
> nach y differenziert:
> [mm](u(x,y))_ycos(u(x,y))+v_y(x,y)=0[/mm]
Hier fehlt doch etwas:
[mm](u(x,y))_ycos(u(x,y))\red{-1}+v_y(x,y)=0[/mm]
>
> wie geht man weiter vor??
Nun, wir haben ja noch die Gleichungen
[mm] -\left(u\left(x,y\right)\cdot{}v\left(x,y\right)\right)_{x}\cdot{}\sin\left( \ u\left(x,y\right)\cdot{}v\left(x,y\right) \ \right)=\left(v\left(x,y\right)\cdot{}x\right)_{x}-u_{x}\left(x,y\right) [/mm]
[mm]-\left(u\left(x,y\right)\cdot{}v\left(x,y\right)\right)_{y}\cdot{}\sin\left( \ u\left(x,y\right)\cdot{}v\left(x,y\right) \ \right)=\left(v\left(x,y\right)\cdot{}x\right)_{y}-u_{y}\left(x,y\right)[/mm]
Hier sind die Klammern
[mm]\left(u\left(x,y\right)\cdot{}v\left(x,y\right)\right)_{x}, \ \left(u\left(x,y\right)\cdot{}v\left(x,y\right)\right)_{x}, \ \left(v\left(x,y\right)\cdot{}x\right)_{x}, \ \left(v\left(x,y\right)\cdot{}x\right)_{y}[/mm]
noch aufzulösen.
Ist das geschehen, so kannst Dun Dich daran machen die partiellen Ableitungen
[mm]u_{x}, \ u_{y}, \ v_{x}, \ v_{y}[/mm]
in dem vorgegebenen Punkt zu ermitteln.
> LG
Gruss
MathePower
|
|
|
|
