Implizite Funktion < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:05 Di 14.06.2011 | | Autor: | pyw |
| Aufgabe | Seien 0<r<R. Ein Körper im [mm] \IR^3 [/mm] wird implizit definiert durch
[mm] f(x,y,z)=(x^2+y^2+z^2+R^2-r^2)^2-4R^2(x^2+y^2)=0
[/mm]
Man zeige
(a) In jedem Punkt des Körpers ist die Gleichung nach einer der Variablen auflösbar. |
Hallo,
ich weiß leider gar nicht, wie ich mit so einer impliziten Funktion umgehe. Einfach umstellen stelle ich mir irgendwie schwierig vor.
Weiß jemand Rat?
Danke!
mfg,
pyw
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Hallo pyw,
> Seien 0<r<R. Ein Körper im [mm]\IR^3[/mm] wird implizit definiert
> durch
>
> [mm]f(x,y,z)=(x^2+y^2+z^2+R^2-r^2)^2-4R^2(x^2+y^2)=0[/mm]
>
> Man zeige
>
> (a) In jedem Punkt des Körpers ist die Gleichung nach
> einer der Variablen auflösbar.
> Hallo,
>
> ich weiß leider gar nicht, wie ich mit so einer impliziten
> Funktion umgehe. Einfach umstellen stelle ich mir irgendwie
> schwierig vor.
>
> Weiß jemand Rat?
Betrachte hier die partielle Ableitung
nach der aufzulösenden Variable.
Für die Auflösung nach z darf die
partielle Ableitung nach z nicht verschwinden.
Analog für x und y.
>
> Danke!
>
> mfg,
> pyw
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:26 Mo 20.06.2011 | | Autor: | pyw |
Hallo Mathepower,
vielen Dank für die Antwort.
> > Seien 0<r<R. Ein Körper im [mm]\IR^3[/mm] wird implizit definiert
> > durch
> >
> > [mm]f(x,y,z)=(x^2+y^2+z^2+R^2-r^2)^2-4R^2(x^2+y^2)=0[/mm]
> >
> > Man zeige
> >
> > (a) In jedem Punkt des Körpers ist die Gleichung nach
> > einer der Variablen auflösbar.
>
> Betrachte hier die partielle Ableitung nach der aufzulösenden Variable.
>
> Für die Auflösung nach z darf die partielle Ableitung nach z nicht verschwinden.
>
> Analog für x und y.
Ok:
[mm] D_x(f(x, [/mm] y, [mm] z))=4x(-r^2-R^2+x^2+y^2+z^2)
[/mm]
[mm] D_y(f(x, [/mm] y, [mm] z))=4y(-r^2-R^2+x^2+y^2+z^2)
[/mm]
[mm] D_z(f(x, [/mm] y, [mm] z))=4z(-r^2+R^2+x^2+y^2+z^2)
[/mm]
Die Gleichung ist also nur dann nicht nach z auflösbar, wenn entweder [mm] (-r^2+R^2+x^2+y^2+z^2)=0 [/mm] (dann folgt aus der Gleichung von f, dass x=y=0, also [mm] z^2=r^2-R^2) [/mm] oder wenn z=0 ...
Kann mir bitte jemand weiterhelfen?
Danke.
mfg, pyw
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Hallo pyw,
> Hallo Mathepower,
>
> vielen Dank für die Antwort.
> > > Seien 0<r<R. Ein Körper im [mm]\IR^3[/mm] wird implizit
> definiert
> > > durch
> > >
> > > [mm]f(x,y,z)=(x^2+y^2+z^2+R^2-r^2)^2-4R^2(x^2+y^2)=0[/mm]
> > >
> > > Man zeige
> > >
> > > (a) In jedem Punkt des Körpers ist die Gleichung nach
> > > einer der Variablen auflösbar.
> >
> > Betrachte hier die partielle Ableitung nach der
> aufzulösenden Variable.
> >
> > Für die Auflösung nach z darf die partielle Ableitung
> nach z nicht verschwinden.
> >
> > Analog für x und y.
> Ok:
>
> [mm]D_x(f(x,[/mm] y, [mm]z))=4x(-r^2-R^2+x^2+y^2+z^2)[/mm]
> [mm]D_y(f(x,[/mm] y, [mm]z))=4y(-r^2-R^2+x^2+y^2+z^2)[/mm]
> [mm]D_z(f(x,[/mm] y, [mm]z))=4z(-r^2+R^2+x^2+y^2+z^2)[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Die Gleichung ist also nur dann nicht nach z auflösbar,
> wenn entweder [mm](-r^2+R^2+x^2+y^2+z^2)=0[/mm] (dann folgt aus der
> Gleichung von f, dass x=y=0, also [mm]z^2=r^2-R^2)[/mm] oder wenn
> z=0 ...
>
> Kann mir bitte jemand weiterhelfen?
Zunächst ist die Auflösung nach z in einer Umgebung eines
vorgegebenen Punktes [mm](x_{0},y_{0},z_{0})[/mm], der der Gleichung [mm]f\left(x_{0},y_{0},z_{0}\right)=0[/mm]
genügt, garantiert, wenn
[mm]z_{0}\not=0 \wedge (-r^2+R^2+x_{0}^2+y_{0}^2+z_{0}^2) \not=0[/mm].
Interessant sind nun die Fälle
i) [mm] z_{0}=0
[/mm]
ii) [mm]-r^2+R^2+x_{0}^2+y_{0}^2+z_{0}^2=0[/mm]
In beiden Fällen ist jeweils die partielle Ableitung
an dem vorgegebenen Punkt zu betrachten.
>
> Danke.
>
> mfg, pyw
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:03 Di 21.06.2011 | | Autor: | pyw |
Hallo,
> > [mm]D_x(f(x,[/mm] y, [mm]z))=4x(-r^2-R^2+x^2+y^2+z^2)[/mm]
> > [mm]D_y(f(x,[/mm] y, [mm]z))=4y(-r^2-R^2+x^2+y^2+z^2)[/mm]
> > [mm]D_z(f(x,[/mm] y, [mm]z))=4z(-r^2+R^2+x^2+y^2+z^2)[/mm]
> > Kann mir bitte jemand weiterhelfen?
>
>
> Zunächst ist die Auflösung nach z in einer Umgebung
> eines vorgegebenen Punktes [mm](x_{0},y_{0},z_{0})[/mm], der der
> Gleichung [mm]f\left(x_{0},y_{0},z_{0}\right)=0[/mm] genügt, garantiert, wenn
>
> [mm]z_{0}\not=0 \wedge (-r^2+R^2+x_{0}^2+y_{0}^2+z_{0}^2) \not=0[/mm].
>
> Interessant sind nun die Fälle
>
> i) [mm]z_{0}=0[/mm]
> ii) [mm]-r^2+R^2+x_{0}^2+y_{0}^2+z_{0}^2=0[/mm]
>
> In beiden Fällen ist jeweils die partielle Ableitung
> an dem vorgegebenen Punkt zu betrachten.
Ich versuche jetzt mal was und hoffe es ist das, was du meinst.
Angenommen ii) ist der Fall.
Dann Einsetzen: [mm] D_xf(x_0,y_0,z_0)=4x_0(-2R^2). [/mm] Also ist f im Punkt nur dann nicht nach [mm] x_0 [/mm] auflösbar, wenn [mm] x_0\neq0. [/mm] Weiterhin ist f in diesem Fall nur dann nicht nach [mm] y_0 [/mm] auflösbar, wenn [mm] D_yf(x_0,y_0,z_0)=4y_0(-2R^2)=0, [/mm] also [mm] y_0=0.
[/mm]
Das heißt es wäre zu zeigen, dass es für [mm] x_0=y_0=0 [/mm] mit Bedingung ii) keine Lösung für [mm] z_0 [/mm] gibt, sodass die Gleichung mit f erfüllt ist.
Das ist aber klar, denn
[mm] f(0,0,z_0)=(z_0^2+R^2-r^2)^2-0\neq0 [/mm] wegen [mm] R^2>r^2.
[/mm]
Stimmt das schon soweit?
mfg
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Hallo pyw,
> Hallo,
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> > > [mm]D_x(f(x,[/mm] y, [mm]z))=4x(-r^2-R^2+x^2+y^2+z^2)[/mm]
> > > [mm]D_y(f(x,[/mm] y, [mm]z))=4y(-r^2-R^2+x^2+y^2+z^2)[/mm]
> > > [mm]D_z(f(x,[/mm] y, [mm]z))=4z(-r^2+R^2+x^2+y^2+z^2)[/mm]
> > > Kann mir bitte jemand weiterhelfen?
> >
> >
> > Zunächst ist die Auflösung nach z in einer Umgebung
> > eines vorgegebenen Punktes [mm](x_{0},y_{0},z_{0})[/mm], der der
> > Gleichung [mm]f\left(x_{0},y_{0},z_{0}\right)=0[/mm] genügt,
> garantiert, wenn
> >
> > [mm]z_{0}\not=0 \wedge (-r^2+R^2+x_{0}^2+y_{0}^2+z_{0}^2) \not=0[/mm].
>
> >
> > Interessant sind nun die Fälle
> >
> > i) [mm]z_{0}=0[/mm]
> > ii) [mm]-r^2+R^2+x_{0}^2+y_{0}^2+z_{0}^2=0[/mm]
> >
> > In beiden Fällen ist jeweils die partielle Ableitung
> > an dem vorgegebenen Punkt zu betrachten.
> Ich versuche jetzt mal was und hoffe es ist das, was du
> meinst.
>
> Angenommen ii) ist der Fall.
> Dann Einsetzen: [mm]D_xf(x_0,y_0,z_0)=4x_0(-2R^2).[/mm] Also ist f
> im Punkt nur dann nicht nach [mm]x_0[/mm] auflösbar, wenn [mm]x_0\neq0.[/mm]
Hier muss es doch heissen "ist nicht nach x auflösbar, wenn [mm]x_{0}=0[/mm]"
> Weiterhin ist f in diesem Fall nur dann nicht nach [mm]y_0[/mm]
> auflösbar, wenn [mm]D_yf(x_0,y_0,z_0)=4y_0(-2R^2)=0,[/mm] also
> [mm]y_0=0.[/mm]
>
Der Fall ii) fördert wiederum 2 Unterfälle mit sich:
a) [mm]x_{0}\not=0[/mm]
b) [mm]x_{0}=0[/mm]
Der Fall a) ist gleich erledigt.
Der Fall b) ist hier noch genauer zu untersuchen.
D.h. f müßte in diesem Fall nach y auflösbar sein.
Ist dies immer garantiert?
> Das heißt es wäre zu zeigen, dass es für [mm]x_0=y_0=0[/mm] mit
> Bedingung ii) keine Lösung für [mm]z_0[/mm] gibt, sodass die
> Gleichung mit f erfüllt ist.
> Das ist aber klar, denn
>
> [mm]f(0,0,z_0)=(z_0^2+R^2-r^2)^2-0\neq0[/mm] wegen [mm]R^2>r^2.[/mm]
>
> Stimmt das schon soweit?
>
> mfg
>
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:03 Mi 22.06.2011 | | Autor: | pyw |
Nochmals Danke, ich habe es jetzt gelöst. Die Fallunterscheidung ist zwar ziemlich umständlich, aber die Lösung zählt ja ...
Gruß
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> Seien 0<r<R. Ein Körper im [mm]\IR^3[/mm] wird implizit definiert
> durch
>
> [mm]f(x,y,z)=(x^2+y^2+z^2+R^2-r^2)^2-4R^2(x^2+y^2)=0[/mm]
>
> Man zeige
>
> (a) In jedem Punkt des Körpers ist die Gleichung nach
> einer der Variablen auflösbar.
Hallo pyw,
wenn ich dies richtig sehe, handelt es sich doch gar
nicht um einen (3-dimensionalen) Körper, sondern
um eine Fläche im [mm] \IR^3 [/mm] .
LG
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:02 Mi 22.06.2011 | | Autor: | pyw |
Hallo,
> Fläche im [mm]\IR^3[/mm] .
Stimmt. Wenn man die Gleichung auflöst, dann hat man ja eine Funktion von zwei Variablen, daher ist es eine Fläche. Das ist ein Fehler in der Aufgabenstellung.
Grußß
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