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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:16 Mi 11.11.2009 | | Autor: | Anybody |
| Aufgabe | | Sei a= [mm] \pmat{ -1 & 0 \\ 0 & 1 } [/mm] und [mm] b=\pmat{ 1 & 1 \\ 0 & 1 } [/mm] und G=<a,b>. Bestimmen Sie den Index von <a> in G und von [mm] [/mm] in G für [mm] n\in\IN_{0.} [/mm] |
Hi,
also die Frage ist wirklich, was sollen wir tun?
Ich weiß, dass die Gruppe G mit <a,b> wie folgt aussehen müsste [mm] \pmat{ \pm1 & n \\ 0 & 1 }, [/mm] aber ich habe keine Ahnung wie das Ergebnis aussehen soll.
Sorry, ich stehe da heute total auf dem Schlauch.
Gruß
Any
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:29 Mi 11.11.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo Any!
> Sei a= [mm]\pmat{ -1 & 0 \\ 0 & 1 }[/mm] und [mm]b=\pmat{ 1 & 1 \\ 0 & 1 }[/mm]
> und G=<a,b>. Bestimmen Sie den Index von <a> in G und von
> [mm][/mm] in G für [mm]n\in\IN_{0.}[/mm]
>
> also die Frage ist wirklich, was sollen wir tun?
> Ich weiß, dass die Gruppe G mit <a,b> wie folgt aussehen
> müsste [mm]\pmat{ \pm1 & n \\ 0 & 1 },[/mm] aber ich habe keine
> Ahnung wie das Ergebnis aussehen soll.
Ueberleg dir doch erstmal, wie [mm] $\langle [/mm] a [mm] \rangle$ [/mm] und [mm] $\langle [/mm] b [mm] \rangle$ [/mm] aussehen: dazu ueberleg dir, wie fuer $n [mm] \in \IZ$ [/mm] die Matrizen [mm] $a^n$ [/mm] und [mm] $b^n$ [/mm] aussehen (zuerst fuer $n [mm] \ge [/mm] 1$, dann ueberleg dir wie du das auch fuer $n < 0$ beschreiben kannst).
Dann ueberleg dir, wie [mm] $\langle [/mm] a, b [mm] \range$ [/mm] aussieht; kannst du jedes Element eindeutig in der Form [mm] $a^n b^m$ [/mm] mit $n [mm] \in [/mm] I$, $m [mm] \in [/mm] J$ schreiben (wobei $I, J [mm] \subseteq \IZ$ [/mm] passende Teilmengen sind)?
Wenn du das hast, kannst du versuchen dir zu ueberlegen, wieviele Nebenklassen es von [mm] $\langle [/mm] a [mm] \rangle$ [/mm] bzw. [mm] $\langle b^n \rangle$ [/mm] in [mm] $\langle [/mm] a, b [mm] \range$ [/mm] gibt.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:29 Mi 11.11.2009 | | Autor: | Anybody |
Hallo Felix,
vielen Dank für die Ideen.
Ich habe dabei auch mein Problem entdeckt, ich kann mir einfach <a> für eine Matrix nicht vorstellen.
Kannst du mir dafür einen Tip dafür geben bzw. eine Seite wo ich mir mehr anschauen kann?
Viele Grüße
Any
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:20 Mi 11.11.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo Any!
> Hallo Felix,
>
> vielen Dank für die Ideen.
>
> Ich habe dabei auch mein Problem entdeckt, ich kann mir
> einfach <a> für eine Matrix nicht vorstellen.
Das ist doch einfach die Menge [mm] $\{ a^n \mid n \in \IZ \}$. [/mm] (Das gilt generell in Gruppen: die von einem Element erzeugte Untergruppe sieht immer so aus.)
Genauer gilt ja: zu $a [mm] \in [/mm] G$ gibt es einen Gruppenhomomorphismus [mm] $\IZ \to [/mm] G$, $n [mm] \mapsto a^n$: [/mm] das Bild ist [mm] $\langle [/mm] a [mm] \rangle$, [/mm] und wenn der Kern gleich $m [mm] \IZ$ [/mm] ist (mit $m [mm] \ge [/mm] 0$), dann ist nach dem Homomorphiesatz [mm] $\langle [/mm] a [mm] \rangle \cong \IZ [/mm] / m [mm] \IZ$. [/mm] Sprich: [mm] $\langle [/mm] a [mm] \rangle$ [/mm] ist zyklisch, und wenn $m > 0$ ist, dann "wiederholt" sich die Folge [mm] $a^1, a^2, a^3, \dots$, [/mm] und zwar ist [mm] $a^{m+n} [/mm] = [mm] a^n$ [/mm] fuer alle $n [mm] \in \IZ$.
[/mm]
Ich hoffe das hilft dir etwas weiter...
LG Felix
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