Indexmengen, Abbildungen < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:07 Di 16.11.2010 | | Autor: | extasic |
| Aufgabe 1 | Seien X,Y beliebige nichtleere Mengen und $f: X [mm] \rightarrow [/mm] Y$ eine Abbildung. Weiter seien $I$ eine beliebige Indexmenge und [mm] $B_i \subset [/mm] Y$ für alle $i [mm] \in [/mm] I$.
Zu zeigen:
a) [mm] $f^{-1}(Y) [/mm] = [mm] X\\$
[/mm]
b) [mm] $f^{-1}(\bigcup_i B_i) [/mm] = [mm] \bigcup_i f^{-1}(B_i)\\$
[/mm]
c) [mm] $f^{-1}(\bigcap_i B_i) [/mm] = [mm] \bigcap_i f^{-1}(B_i)\\$
[/mm]
d) [mm] $f^{-1}(B_{i1}\setminusB_{i2}) [/mm] = [mm] f^{-1}(B_{i1})\setminus f^{-1}(B_{i2})$ [/mm] für bel. [mm] $i_1,i_2 \in [/mm] I$ |
| Aufgabe 2 | | Beweisen Sie: Sind die [mm] $B_i$ [/mm] von Aufgabe 1 disjunkt, so auch die [mm] $f^{-1}(B_i)$ [/mm] |
Leider ist mir überhaupt nicht klar, was hier gezeigt werden soll. Was eine Indexmenge ist, haben wir nicht definiert (und wie sich das in die Stochastik einordnet auch nicht, aber es soll dazu gehören..).
Könnt ihr mir vielleicht an einer der Teilaufgaben von 1) zeigen was genau zu zeigen ist, und wie man da am sinnvollsten vorgehen kann?
Für die Aufgabe 2 benötige ich auch die Information wie $I$ definiert ist, um zu verstehen was die [mm] $B_i$'s [/mm] sind.
Vielen Dank im Voraus!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:54 Mi 17.11.2010 | | Autor: | luis52 |
Moin,
$I_$ koennte beispielsweise die Menge [mm] $\{1,2,3.\dots,10\}$ [/mm] oder [mm] $\IN$. [/mm] Im ersten Fall ist [mm] $\{B_i\mid i\in I\}={B_1,\dots,B_{10}\}$ [/mm] im letzteren [mm] $\{B_1,B_2,B_3,\dots\}$. [/mm] $I_$ koennte auch das Intervall (0,1) sein. Kurzum: [mm] $\{B_i\mid i\in I\}$ [/mm] ist eine Teilmenge der Potenzmenge von $Y_$.
Fuer eine Menge [mm] $B\subset [/mm] Y$ ist [mm] $f^{-1}(B)=\{x\mid x\in X, f(x)\in B\}$. [/mm] Jetzt schreib dir fuer a) mal diese Definition auf mit [mm] $f^{-1}(Y)$...
[/mm]
Beispielsweise bei c) ist eine Mengenidentitaet $M=N$ zu zeigen. Man muss also zeigen: [mm] $x\in M\Rightarrow x\in [/mm] N$ und [mm] $x\in N\Rightarrow x\in [/mm] M$.
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:29 Mi 17.11.2010 | | Autor: | extasic |
Danke für deine Antwort!
> [mm]I_[/mm] koennte beispielsweise die Menge [mm]\{1,2,3.\dots,10\}[/mm] sein.
> Im ersten Fall ist [mm]\{B_i\mid i\in I\}={B_1,\dots,B_{10}\}[/mm]
Und was genau stellt dann ein [mm] $B_j, [/mm] j [mm] \in [/mm] I$ dar? Was ist das für eine Menge?
Bedeutet dies, dass eine Indexmenge eine abzählbare Menge sein muss?
> Kurzum: [mm]\{B_i\mid i\in I\}[/mm] ist eine
> Teilmenge der Potenzmenge von [mm]Y_[/mm].
Wie genau kommst du darauf?
> Fuer eine Menge [mm]B\subset Y[/mm] ist [mm]f^{-1}(B)=\{x\mid x\in X, f(x)\in B\}[/mm].
> Jetzt schreib dir fuer a) mal diese Definition auf mit
> [mm]f^{-1}(Y)[/mm]...
a)
Das ist doch prinzipiell genau das, was du schon geschrieben hast, oder?
Sei $x [mm] \in [/mm] X,y [mm] \in [/mm] Y$
zu zeigen: $f(x) = y [mm] \Rightarrow f^{-1}(y) [/mm] = x$
[mm] $f^{-1}(y) [/mm] = [mm] \{x | f(x) = y\}$
[/mm]
Aber das ist doch noch kein formaler Beweis, oder? Wie kann man dieses zeigen? Was mich irritiert, ist, dass in der Aufgabe als Parameter die Menge (also X) und kein Element $x [mm] \in [/mm] X$ beschrieben wird. Habe ich hier irgendwo einen Denkfehler?
> Beispielsweise bei c) ist eine Mengenidentitaet [mm]M=N[/mm] zu
> zeigen. Man muss also zeigen: [mm]x\in M\Rightarrow x\in N[/mm] und
> [mm]x\in N\Rightarrow x\in M[/mm].
Tut mir Leid, aber was genau sind die Mengen M und N hier?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:53 Mi 17.11.2010 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Du musst beachten, dass Ausdrücke wie [mm] f^{-1}(A) [/mm] immer Mengen sind.
[mm] f^{-1}(A)=\{x \in X|f(x) \in A\}.
[/mm]
Daher ist [mm] $f^{-1}(Y)=\{x \in X|f(x) \in Y\}$. [/mm] Nun sieht man schon, dass das gleich X ist, denn es gilt ja gerade genau für jedes $x [mm] \in [/mm] X$, dass $f(x) [mm] \in [/mm] Y$ ist.
Genauer: Es ist [mm] $f^{-1}(Y) \subseteq [/mm] X$ per Definition, wegen $f: X [mm] \to [/mm] Y$. Bleibt noch zu zeigen, dass $X [mm] \subseteq f^{-1}(Y)$. [/mm] Sei also $x [mm] \in [/mm] X$. Dann ist aber $f(x) [mm] \in [/mm] Y$ (per Definition von f) [mm] \Rightarrow [/mm] $x [mm] \in f^{-1}(Y)$.
[/mm]
Für b), c), d) benutze nun immer die Definition [mm] f^{-1}(A)=\{x \in X|f(x) \in A\}.
[/mm]
Für Aufgabe 2 kannst du 1 c) nutzen und die Tatsache, dass [mm] f^{-1}(\emptyset)=\emptyset [/mm] (warum ist das so?).
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:44 Mi 17.11.2010 | | Autor: | extasic |
Danke für die schnelle Antwort - das hilft mir schon einmal weiter!
Mir ist nur noch nicht ganz klar, was der Zusammenhang zwischen I und den [mm] $B_i$'s [/mm] ist, bzw. was nun eine Indexmenge genau ist. Könnt ihr mir hier bitte noch einmal etwas auf die Sprünge helfen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:01 Do 18.11.2010 | | Autor: | Teufel |
Hmm, stell dir als Indexmenge einfach z.B. die natürlichen Zahlen vor. Die Indizes von deinen [mm] B_i [/mm] stammen dann aus dieser Menge.
Dann ist z.B. [mm] \bigcap_{i \in \IN}^{}B_i=B_0 \cap B_1 \cap B_2 \cap B_3 \cap [/mm] ...
oder [mm] \bigcup_{i \in \{1,2,3\}}^{}B_i=B_1 \cup B_2 \cup B_3
[/mm]
Heißt also jede Zahl der Indexmenge einmal für das i eingesetzt wird und alles vereinigt wird. Ist ähnlich wie bei Summen und Reihen, da hast du ja auch Ausdrücke der Form
[mm] \summe_{i=1}^{n}a_i, [/mm] was auch gleichbedeutend mit [mm] \summe_{i \in \{1,2,...,n\}}^{}a_i [/mm] ist.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 06:25 Do 18.11.2010 | | Autor: | extasic |
Gut, das ist einleuchtend - Danke!
Dann versuch ich mal weiter zu machen:
b) $ [mm] f^{-1}(\bigcup\limits_i B_i) [/mm] = [mm] \bigcup_i f^{-1}(B_i)\\ [/mm] $
[mm] $\left| f^{-1}(\bigcup\limits_i B_i)) \right| [/mm] = [mm] \left| \bigcup_i f^{-1}(B_i) \right| [/mm] = [mm] \left| \bigcup\limits_i B_i \right| [/mm] $ (Mengen gleichmächtig)
[mm] f^{-1}(\bigcup\limits_i B_i) [/mm] = [mm] $\{x \in X | f(x) = \bigcup\limits_i B_i\} [/mm] = [mm] \bigcup\limits_i \{x \in X | f(x) = B_i\} [/mm] = [mm] bigcup_i f^{-1}(B_i)$ [/mm]
Reicht das als Beweis? Eigentlich ist das ganze ja "offentsichtlich", aber ich tue mich gerade bei soetwas schwer, es mathematisch korrekt zu zeigen..
c) $ [mm] f^{-1}(\bigcap_i B_i) [/mm] = [mm] \bigcap_i f^{-1}(B_i)\\ [/mm] $
Kann ich hier nicht eigentlich analog zu b) argumentieren?
d) [mm] $f^{-1}(B_{i1}\setminus B_{i2}) [/mm] = [mm] f^{-1}(B_{i1})\setminus f^{-1}(B_{i2}) [/mm] $
kann ich für d) bitte noch einen Ansatztipp bekommen? Auch hier ist es "logisch", dass es so ist. Aber wie ich das jetzt mathematisch formuliere, ist mir nicht ganz klar
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:03 Do 18.11.2010 | | Autor: | luis52 |
> d) [mm]f^{-1}(B_{i1}\setminus B_{i2}) = f^{-1}(B_{i1})\setminus f^{-1}(B_{i2})[/mm]
>
> kann ich für d) bitte noch einen Ansatztipp bekommen? Auch
> hier ist es "logisch", dass es so ist. Aber wie ich das
> jetzt mathematisch formuliere, ist mir nicht ganz klar
Moin,
mit $M_$ und $N_$ sind Mengen gemeint. Mengenidentitaeten zeigt man, indem man zeigt, dass gilt [mm] $x\in M\Rightarrow x\in [/mm] N$ und [mm] $x\in N\Rightarrow x\in [/mm] M$, kurz [mm] $x\in N\iff x\in [/mm] M$.
Setze also [mm] $M=f^{-1}(B_{1})$ [/mm] und [mm] $N=f^{-1}(B_{2})$ [/mm] (vereinfachte Indices) und waehle [mm] $x\in [/mm] X$. Dann ist [mm] $x\in f^{-1}(B_{1}\setminus B_{2})$ $\iff$ $f(x)\in B_{1}\setminus B_{2}$ $\iff$ $f(x)\in B_{1}$ [/mm] und [mm] $f(x)\not\in B_{2}$ $\iff$ $x\in f^{-1}(B_{1})$ [/mm] und [mm] $x\notin f^{-1}(B_{2})$ $\iff$ $x\in f^{-1}(B_{2})\setminus f^{-1}(B_{2})$.
[/mm]
Jetzt versuche mal die anderen Teilaufgaben auf diese Weise zu loesen.
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:56 Do 18.11.2010 | | Autor: | extasic |
> > d) [mm]f^{-1}(B_{i1}\setminus B_{i2}) = f^{-1}(B_{i1})\setminus f^{-1}(B_{i2})[/mm]
>
> Setze also [mm]M=f^{-1}(B_{1})[/mm] und [mm]N=f^{-1}(B_{2})[/mm]
> (vereinfachte Indices) und waehle [mm]x\in X[/mm]. Dann ist [mm]x\in f^{-1}(B_{1}\setminus B_{2})[/mm]
> [mm]\iff[/mm] [mm]f(x)\in B_{1}\setminus B_{2}[/mm] [mm]\iff[/mm] [mm]f(x)\in B_{1}[/mm] und
> [mm]f(x)\not\in B_{2}[/mm] [mm]\iff[/mm] [mm]x\in f^{-1}(B_{1})[/mm] und [mm]x\notin f^{-1}(B_{2})[/mm]
> [mm]\iff[/mm] [mm]x\in f^{-1}(B_{2})\setminus f^{-1}(B_{2})[/mm].
>
> Jetzt versuche mal die anderen Teilaufgaben auf diese Weise
> zu loesen.
gut, ich versuche das mal auf die c) zu übertragen
$ [mm] f^{-1}(\bigcap_i B_i) [/mm] = [mm] \bigcap_i f^{-1}(B_i)\\ [/mm] $
auch hier ist es "offensichtlich", aber beim Vorgehen bin ich mir nicht wirklich sicher..
Sei M = $ [mm] f^{-1}(\bigcap_i B_i)$, [/mm] $N = [mm] \bigcap_i f^{-1}(B_i), [/mm] x [mm] \in [/mm] X$
zu zeigen: $x [mm] \in [/mm] N [mm] \Leftrightarrow [/mm] x [mm] \in [/mm] M$
Ansatz: M = N
Beweis:
M = [mm] $\{x \in X | f(x) = \bigcap_i B_i\} [/mm] = [mm] \bigcap_i \{x \in X | f(x) = B_i\} [/mm] = N$
Ist das so ausreichend und korrekt?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:08 Do 18.11.2010 | | Autor: | fred97 |
> > > d) [mm]f^{-1}(B_{i1}\setminus B_{i2}) = f^{-1}(B_{i1})\setminus f^{-1}(B_{i2})[/mm]
>
> >
> > Setze also [mm]M=f^{-1}(B_{1})[/mm] und [mm]N=f^{-1}(B_{2})[/mm]
> > (vereinfachte Indices) und waehle [mm]x\in X[/mm]. Dann ist [mm]x\in f^{-1}(B_{1}\setminus B_{2})[/mm]
> > [mm]\iff[/mm] [mm]f(x)\in B_{1}\setminus B_{2}[/mm] [mm]\iff[/mm] [mm]f(x)\in B_{1}[/mm] und
> > [mm]f(x)\not\in B_{2}[/mm] [mm]\iff[/mm] [mm]x\in f^{-1}(B_{1})[/mm] und [mm]x\notin f^{-1}(B_{2})[/mm]
> > [mm]\iff[/mm] [mm]x\in f^{-1}(B_{2})\setminus f^{-1}(B_{2})[/mm].
> >
> > Jetzt versuche mal die anderen Teilaufgaben auf diese Weise
> > zu loesen.
>
> gut, ich versuche das mal auf die c) zu übertragen
>
> [mm]f^{-1}(\bigcap_i B_i) = \bigcap_i f^{-1}(B_i)\\[/mm]
>
> auch hier ist es "offensichtlich", aber beim Vorgehen bin
> ich mir nicht wirklich sicher..
>
> Sei M = [mm]f^{-1}(\bigcap_i B_i)[/mm], [mm]N = \bigcap_i f^{-1}(B_i), x \in X[/mm]
>
> zu zeigen: [mm]x \in N \Leftrightarrow x \in M[/mm]
>
> Ansatz: M = N
???? Das sollst Du doch zeigen !!
> Beweis:
> M = [mm]\{x \in X | f(x) = \bigcap_i B_i\} = \bigcap_i \{x \in X | f(x) = B_i\} = N[/mm]
Du hast wieder nur die behauptung hingeschrieben !
>
> Ist das so ausreichend und korrekt?
Weder noch
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:18 Do 18.11.2010 | | Autor: | extasic |
> > Sei M = [mm]f^{-1}(\bigcap_i B_i)[/mm], [mm]N = \bigcap_i f^{-1}(B_i), x \in X[/mm]
>
> >
> > zu zeigen: [mm]x \in N \Leftrightarrow x \in M[/mm]
> >
> > Ansatz: M = N
>
> ???? Das sollst Du doch zeigen !!
> > Beweis:
> > M = [mm]\{x \in X | f(x) = \bigcap_i B_i\} = \bigcap_i \{x \in X | f(x) = B_i\} = N[/mm]
>
> Du hast wieder nur die behauptung hingeschrieben !
> >
> > Ist das so ausreichend und korrekt?
>
> Weder noch
Also, in "Prosa" gesprochen ist es letztendlich egal, ob ich direkt die Kunjunktion aller [mm] $B_i$'s [/mm] nehme, oder ob ich alle [mm] $B_i$'s [/mm] nehme, und dann von diesen Mengen die Konjunktion bilde. Und genau das ist es, womit ich mich bei der Mathematik so schwer tue: Beweise, die direkt "trivial" erscheinen. Denn mir fällt kein Zwischenschritt ein, um von meinem "M" nach "N" zu kommen. Die Konjunktion nach Vorne ziehen ersscheint logisch. Wie kann man das noch detaillierter begründen?
Bitte zeigt mir, wie man dies darstellen kann.
Vielen Dank!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:09 Fr 19.11.2010 | | Autor: | luis52 |
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> Bitte zeigt mir, wie man dies darstellen kann.
>
[mm] $x\in f^{-1}(\bigcap_i B_i)$ $\iff$ [/mm] $f(x) [mm] \in\bigcap_i B_i$ $\iff$ [/mm] $f(x) [mm] \in B_i$ [/mm] fuer alle $i_$ [mm] $\iff$ $x\in f^{-1}(B_i)$ [/mm] fuer alle $i_$ [mm] $\iff$ [/mm] $x [mm] \in\bigcap_i f^{-1}(B_i)$.
[/mm]
Prima, bald haben wir alle Aufgaben geloest.
vg Luis
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