Indextransformation < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:51 So 25.05.2008 | | Autor: | chrisi99 |
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[mm] \summe_{i=-n}^{n} a^i
[/mm]
[mm] \summe_{i=n+2}^{2n+1} \bruch{(1+x)^i}{3^i}
[/mm]
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Hallo Leute!
ich habe eine Frage! Könnte mir vielleicht jemand ein Beispiel geben (Sonst stehen oben zwei), wie das systematische Vorgehen bei Indextransformation ist. Alle Beispiele die wir im Tutorium gerechnet haben sind schlicht und ergreifend falsch .. :(
ein Link mit einer guten Erklärung würde mir auch helfen, aber ergoogelt habe ich nichts Brauchbares ...
lg
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Hallo chrisi,
schonmal zur 1.Summe 
>
> [mm]\summe_{i=-n}^{n} a^i[/mm]
Die kannst du aufteilen in [mm] $\sum\limits_{i=-n}^na^{i}=\sum\limits_{i=-n}^0a^{i} [/mm] \ + \ [mm] \sum\limits_{i=1}^na^{i}$
[/mm]
Die hintere Summe ist ne endliche geometrische Reihe, geht aber erst bei $i=1$ und nicht bei $i=0$ los, also müssen wir [mm] a^0=1 [/mm] vom Wert wieder abziehen...
[mm] $=\sum\limits_{i=-n}^0a^{i} [/mm] \ + \ [mm] \frac{1-a^{n+1}}{1-a}-1$
[/mm]
Bei der ersten Reihe machen wir nun ne Indexverschiebung.
Wir würden gerne die Reihe bei $i=0$ loslaufen lassen. Dazu müssen wir den Laufindex um $n$ erhöhen und das in der Summe durch Erniedrigen des Index um n ausgleichen, also
[mm] $=\sum\limits_{i=0}^na^{i-n} [/mm] \ + \ [mm] \frac{1-a^{n+1}}{1-a}-1$
[/mm]
Nun Potenzgesetze:
[mm] $=\sum\limits_{i=0}^n\frac{a^{i}}{a^n} [/mm] \ + \ [mm] \frac{1-a^{n+1}}{1-a}-1$
[/mm]
[mm] $=\frac{1}{a^n}\cdot{}\sum\limits_{i=0}^na^{i} [/mm] \ + \ [mm] \frac{1-a^{n+1}}{1-a}-1$
[/mm]
Nun wieder die Formel für die endliche geom. Reihe:
[mm] $=\frac{1}{a^n}\cdot{}\frac{1-a^{n+1}}{1-a} [/mm] \ + \ [mm] \frac{1-a^{n+1}}{1-a}-1$
[/mm]
Das nun nur noch nett zusammenfassen...
Über die andere Summe denke ich noch nach, aber vllt. reichen dir ja auch schon die Hinweise zur 1. Summe..
Ich stell's derweil mal auf teilw. beantwortet...
LG
schachuzipus
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Hallo nochmal,
bei der 2.Summe machen wir ganz ähnlich ne Indexverschiebung
Wir wollen sie bei $i=0$ loslaufen lassen, anstatt bei $i=n+2$
Also erniedrigen wir den Laufindex um $n+2$ und gleichen das aus, indem wir den Index unter der Summe erhöhen um $n+2$
Damit bekommen wir
[mm] $\sum\limits_{i=n+2}^{2n+1}\left(\frac{1+x}{3}\right)^{i}=\sum\limits_{i=0}^{2n+1-(n+2)}\left(\frac{1+x}{3}\right)^{i+(n+2)}$
[/mm]
Wieder Potenzgesetze anwenden...
[mm] $=\sum\limits_{i=0}^{n-1}\left(\frac{1+x}{3}\right)^{n+2}\cdot{}\left(\frac{1+x}{3}\right)^{i}$
[/mm]
[mm] $=\left(\frac{1+x}{3}\right)^{n+2}\cdot{}\sum\limits_{i=0}^{n-1}\left(\frac{1+x}{3}\right)^{i}$
[/mm]
Nun wieder die Formel für die endliche geometr. Reihe bemühen und vereinfachen...
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:16 So 25.05.2008 | | Autor: | chrisi99 |
danke für deine schnelle und ausführliche Antwort!
muss bei der Indextransformation immer jeder vorkommende Index betroffen sein?
im 2. Beispiel erniedrigst du ja den Zählindex "obere Grenze" und "untere Grenze" und in der Summe selbst. Ich hatte bei meiner Umformung das "Innere" vergessen, daher war alles Folgende dann natürlich falsch ;)
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Hallo nochmal,
> danke für deine schnelle und ausführliche Antwort!
>
> muss bei der Indextransformation immer jeder vorkommende
> Index betroffen sein?
Die Hilfsvariable, die du als Laufindex nimmst musst du durchgehend verändern: "am Summenzeichen" und in/unter der Summe, also bei den Summanden, bei denen der Index auftritt
>
> im 2. Beispiel erniedrigst du ja den Zählindex "obere
> Grenze" und "untere Grenze" ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") und in der Summe selbst. ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Nein, in der Summe habe ich den Index entsprechend erhöht!
Wenn du an der Summe den Index erniedrigst, musst du ihn in der Summe erhöhen.
Wenn du den Index an der Summe erhöhst, musst du ihn in der Summe erniedrigen
Wenn du beim Laufindex die untere Grenze änderst, musst du natürlich auch die obere Grenze entsprechend anpassen.
Du willst ja nach der Indexverschiebung die gleiche Anzahl an Summanden haben
> Ich hatte bei meiner Umformung das "Innere" vergessen, daher
> war alles Folgende dann natürlich falsch ;)
>
Jo, das passiert schnell
LG
schachuzipus
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