Indifferenzkurve < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:44 Do 03.01.2008 | | Autor: | exit |
| Aufgabe | Es sind Pyramiden A,B,C gegeben mit der Seitenlänge von 2 bei A bzw. 3 cm bei B. Das Volumen aller drei Pyramiden beträgt jeweils 5 Volumeneinheiten. Also V(a,h)=1/3a^2h=5, wobei a die Seitenlänge des Basisquadrats und h die Pyramidenhöhe bezeichnet,- der Punkt (a,h) liegt also auf der Indifferenzkurve der Volumenfkt. V(a,h) zum Volumen 5.
a) Stellen Sie die Indifferenzkurve als Graph einer Fkt. h=f(a) in einem (a,h) Koordinatensystem dar, markieren Sie in dem Graphen die beiden Punkten, die den gezeichneten Pyramiden A und B entsprechen, und berechnen und zeichnen Sie die Tangente an die Indifferenzkurve in diesen beiden Punkten. |
Die Aufgabe geht natürlich auch unter b und c weiter.
Mein Problem ist, dass ich mir den Koordinatensystem (a,h) gar nicht vorstellen kann und darum die Aufgabe gar nicht anfangen kann.
Ich bitte um eine Lösung.
Danke.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:35 Do 03.01.2008 | | Autor: | Blech |
Du hast die Seitenlänge der Pyramide auf der waagrechten Achse und die Höhe der Pyramide auf der senkrechten. Damit kannst Du jeden Punkt (x;y) in der Ebene als Pyramide mit Seitenlänge x und Höhe y sehen, und die hat das zugehörige Volumen V(x,y).
(Stell's Dir mit Zahlen vor, wenn es Dir schwerfällt.
(1; 3) wäre eine Pyramide mit Seitenlänge 1, Höhe 3, also mit Volumen 1.
(2; 3/4) ist eine Pyramide mit größerer Grundfläche - doppelte Seitenlänge, also 4fache Grundfläche -, aber nur einem Viertel der Höhe, und sie hat auch Volumen 1.
Die Frage ist nun, welche Punkte haben alle das gleiche Volumen; zum Beispiel weil wir für ein gegebenes Volumen irgendwas anderes - Oberfläche, Kantenlängen, was auch immer - optimieren wollen)
Suchen wir nun die Menge aller Punkte, deren zugehörige Pyramiden Volumen 5 haben, so kriegen wir:
[mm] $V(a,h)=1/3a^2h\overset{!}{=}5$
[/mm]
[mm] $\Leftrightarrow h=\frac{3*5}{a^2}$
[/mm]
D.h. für jedes a>0 gibt es genau ein h, so daß die Pyramide mit Seitenlänge a und Höhe h das Volumen 5 hat, und damit kann man h als Funktion von a darstellen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:45 Fr 04.01.2008 | | Autor: | exit |
Ok. Jetzt habe ich Punkt A(2;3,75) und B(2,5;2,4) bekommen. Durch die zwei Punkte verläuft die Tangente die aud die Indifferenzkurve liegt.
Dafür habe ich die Ableitungen erster Ordnung nach a und h ausgerechnet, d.h. nach a=2/3ah und nach [mm] h=1/3a^2.
[/mm]
Eigentlich sollte man jetzt die Werte in allgemeine Tangentengleichung einsetzen und Problem gelösst. Aber welche Werte? Wie soll ich die bekommen?
Tangentengleichung:
[mm] te(x,y)=f(x_{0}y_{0})+fx(x_{0},y_{0})(x-x_{0})+fy(x_{0},y_{0})(y-y_{0})
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:32 Sa 05.01.2008 | | Autor: | Blech |
> Ok. Jetzt habe ich Punkt A(2;3,75) und B(2,5;2,4) bekommen.
Hatte B nicht eine Seitenlänge von 3cm?
Sonst stimmen die beiden Werte.
> Durch die zwei Punkte verläuft die Tangente die aud die
> Indifferenzkurve liegt.
Die Gerade durch die beiden Punkte ist keine Tangente an die Kurve.
Gesucht sind denk ich die *beiden* Tangente*n*, in den Punkten A und B
> Dafür habe ich die Ableitungen erster Ordnung nach a und h
> ausgerechnet, d.h. nach a=2/3ah und nach [mm]h=1/3a^2.[/mm]
Du hast hier keine Funktion f(a,b)=c, sondern nur f(a)=b.
Du hast *keine* Funktion von a und h. Dafür bräuchten wir eine dritte Variable. z.B. wenn das Volumen nicht auf 5 festgelegt ist, haben wir $V(a,h)=1/3a^2h$ und dann kommt man auch auf Deine beiden Ableitungen und in Deiner Tangentengleichung wäre für A [mm] $x_0=2$, $y_0=3.75$ [/mm] oder andersrum, aber das ist hier *nicht* gefragt.
Die Aufgabenstellung fragt nach einer Funktion, die h in Abhängigkeit von a darstellt, wenn V(a,h)=5 festgehalten wird, und diese Funktion ist, wie ich schon in der letzten Antwort geschrieben habe,
[mm] $h=f(a)=\frac{15}{a^2}$
[/mm]
Hier suchst Du jetzt die Tangenten an den Graph für a=2 und a=3 (od. 2,5; was auch immer B war)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:59 Sa 05.01.2008 | | Autor: | exit |
stimmt! B hat die seitenlänge von 3cm. gestern war schon spät, war etwas müde.
wenn ich deine anweisungen gut verstanden habe, habe ich folgendes rausbekommen:
a=2, bekomme Punkt A(2;3,75) an die Indiff.kurve
[mm] h=f(a)=\bruch{15}{a^2}
[/mm]
Erste Ableitung nach a =-30a^-3
Allgemeine Tangentengleichung:
[mm] t(x)=y(x_{0})+\bruch{\partial{f}}{\partial{x}}/_{x=x_{0}}(x-x_{0})
[/mm]
also t(x)=11,25-3,75x
Und für a=3 B(3;1,66)
t(x)=4,99-1,11x
Ist das jetzt richtig?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:14 Sa 05.01.2008 | | Autor: | exit |
jetzt bin ich total durcheinander.
Aufgabe unter b lautet:
Berecnen Sie die in a) gefundenen Tangentenanstiege für Pyramiden A und B erneut mit Hilfe der Implizite Differentation:
[mm] f´(a)=\bruch{dh}{da}=-\bruch{\partial{V}}{\partial{a}}/\bruch{\partial{V}}{\partial{h}}
[/mm]
Hierbei sin d in der Formel nach der Berechnung der partiellen Ableitungen die Koordinaten des jeweiligen Pyramidenpunktes einzusetzen.
Habe ich doch erstmals gut gerechnet? Ich meine Ableitungen nach a und h, weil sie jetzt auch hier gesucht werden?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:45 Sa 05.01.2008 | | Autor: | Blech |
> Habe ich doch erstmals gut gerechnet? Ich meine Ableitungen
> nach a und h, weil sie jetzt auch hier gesucht werden?
In a) war aber der andere Weg gefragt. Du sollst ja jetzt zeigen, daß es das gleiche ist. =)
Ist es auch, da Deine partiellen Ableitungen richtig waren. Einfach die beiden einsetzen und dann h durch [mm] $15/a^2$ [/mm] ersetzen, und Du hast wieder [mm] $-30/a^3$.
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:37 Sa 05.01.2008 | | Autor: | Blech |
> Ist das jetzt richtig?
Ableitung und Tangentengleichung stimmen. Ich hab die Zahlenwerte nicht nachgerechnet, aber wenn war's nur ein Rechenfehler beim Einsetzen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:43 Sa 05.01.2008 | | Autor: | exit |
Ich hab alles nachgerechnet und mit der impliziten Differentation, bekomme ich gleiche Tangentenanstiege.
Ich danke dir ganz herzlich! Ohne dich hätte ich gar nicht weiter gekommen.
Ich versuche jetzt unter c) allein zu lösen.
Danke noch mal!
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